Преобразования Лоренца. 
Основы механики

Постулаты Эйнштейна требовали коренного пересмотра представлений о свойствах пространства, времени и движения. Покажем это на простом примере.

Представим себе, что движущейся системой отсчета K', является поезд. Пусть в момент, когда его хвостовой вагон поравнялся со стрелочником (система отсчета K), стоящим на насыпи, из этого вагона был послан световой сигнал машинисту. Через время машинист этот сигнал регистрирует, тогда скорость света, где — длина поезда в системе K'.

Обозначим через время, отсчитываемое стрелочником. Что касается пути, пройденного светом с точки зрения стрелочника, то он состоит из длины поезда, движущегося со скоростью V, и расстояния Vdt, на которое за время хвостовой вагон отъедет от стрелочника.

Итак, с точки зрения стрелочника.

.

Очевидно, что (7).

несовместимо с условиями .

Нужно либо считать, что, т. е. поезд с точки зрения стрелочника стал короче, либо время в движущейся системе идет медленнее, т. е.. Оказывается, имеет место и то и другое одновременно.

Покажем, что движущиеся часы идут медленнее. Для этого рассмотрим две инерциальные системы отсчета K и K'. Систему K будем считать покоящейся, а систему K' - движущейся со скоростью V, (см. рис. 2).

Предположим, что в системе K находятся часы в виде двух параллельных зеркал и источника света. Они неподвижны в системе K'. Свет включается на короткое время и начинает двигаться вверх и вниз, попеременно отражаясь от верхнего и нижнего зеркал, (см. рис. 2.). В таких часах качающимся маятником является луч света.

Рассмотрим один из полупериодов, когда свет движется сверху вниз. Пусть с точки зрения наблюдателя системы K' это происходит за время t', тогда расстояние между зеркалами будет, причем оно будет поперечным, как по отношению системы K', так и системы K, и поэтому одинаковым в этих системах. Однако с точки зрения наблюдателя системы K свет распространяется наклонно, т. е. свет будет снесен вправо на расстояние Vt.

Из рис. 3 по теореме Пифагора находим.

откуда.

(8).

где ,.

т. е. движущиеся часы идут медленнее, чем неподвижные.

Подтверждением этого служит время жизни движущихся мюонов; собственное время их жизни мкс, а по часам неподвижным относительно Земли — значительно больше:

(9).

где V — скорость мюона относительно Земли,.

— коэффициент Лоренца, .

Подобным образом можно показать, что размеры тел в направлении движения сокращаются, т. е.

. (10).

Исходя из двух постулатов, Эйнштейн в 1905 г. вывел преобразования Лоренца (полученные Лоренсом в 1904 г. как преобразования, по отношению к которым уравнения классической микроскопической электродинамики — уравнения ЛоренцаМаксвелла сохраняют свой вид).

Напишем их подобно преобразованиям Галилея:

(11).

. (12).

Для медленных движений, когда преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. Используя соотношения (11), (12), можно показать, что пространственные расстояния при преобразованиях Лоренца изменяются, т. е., где.

(13).

. (14).

Этот эффект называется лоренцевым сокращением длины.

Неизменным (инвариантным) при преобразованиях Лоренца остается так называемый интервал между событиями.

. (15).