Многоликий мир теорем

Знание — сила!

Роджер Бэкон

Наряду с понятиями, идеями, методами и конструкциями основным результатом математического познания являются теоремы — доказанные факты о математических объектах^[1].

Попытаемся всмотреться в методологические «лики» теорем.

Условно математические объекты разделяются на абстрактные (скажем, группа) и конкретные (аддитивная группа целых чисел). В идеале цель изучения данного класса математических объектов — их полное описание, т. е. перечисление с точностью до изоморфизма конкретных представителей этого класса объектов: в каждом классе изоморфности выбирается по одному конкретному объекту. Такое описание сводится к хорошо известным простейшим математическим объектам, «склеиваемым» с помощью определенных математических конструкций, или к полной системе инвариантов (координатизация).

Например, любая конечная абелева группа изоморфна прямому произведению нескольких примарных циклических групп (их порядки суть степени простых чисел). Если каждой конечной абелевой группе сопоставить набор порядков ее примарных сомножителей, то получим полную систему инвариантов для конечных абелевых групп. Произвольный конечный набор степеней простых чисел служит системой инвариантов некоторой конечной абелевой группы. Две конечные абелевы группы изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые системы инвариантов.

Полностью описаны циклические группы, конечные поля, простые поля, конечные булевы алгебры, конечномерные векторные пространства над данным телом. Усилиями интернационального «коллектива» алгебраистов разных поколений получена классификационная теорема о строении конечных простых групп (ее формулировка и доказательство занимают около 15 тысяч страниц). Напомним, что группа называется простой, если она имеет ровно две (тривиальные) нормальные подгруппы. Простыми являются циклические группы простого порядка. Примером некоммутативной простой группы служит группа всех четных подстановок пятой степени; она содержит 60 элементов. Названные теоремы — это теоремы о строении абстрактных алгебраических структур. Теоремы о строении представляют собой вершину математического познания, совершенный тип структурных теорем.

Структурные теоремы зачастую описывают математические объекты из некоторого класса «по модулю» его специальных подклассов. Так, любая абелева группа есть расширение периодической абелевой группы при помощи абелевой группы без кручения. Абелева группа называется периодической, если все ее элементы имеют конечный порядок, и группой без кручения, если в ней только нейтральный элемент имеет конечный порядок. В широком смысле структурные теоремы являются теоремами об абстрактных свойствах математических объектов.

В противоположном направлении выступают теоремы абстрактной характеризации (аксиоматизации) конкретных (уникальных) математических объектов или их классов.

В качестве примера укажем систему Пеано натуральных чисел, определяемую как алгебра (N,', 1) с одной унарной операцией' (взятие последующего числа) и выделенным элементом 1, удовлетворяющим трем естественным аксиомам: 1) число 1 не имеет «предшествующего» элемента; 2) операция ' инъективна; 3) аксиома индукции, утверждающая отсутствие собственных подалгебр в системе Пеано. Заметим, что в системе Пеано можно сразу определить отношение порядка, превращающее ее во вполне упорядоченное множество. Это позволяет доказать теорему об индуктивном построении функций на натуральном ряде, после чего вводятся операции сложения, умножения и возведения в степень над натуральными числами, доказывается изоморфность любых двух систем Пеано (категоричность содержательной аксиоматики Пеано).

Назовем также аксиоматизацию Гильберта евклидовой геометрии и теорему Фробениуса о строении ассоциативных конечномерных действительных алгебр с делением. Последняя показывает уникальность поля комплексных чисел и тела кватернионов «по модулю» системы действительных чисел, которая характеризуется как непрерывное линейно упорядоченное поле. Абстрактно булеаны — это полные атомные булевы алгебры (теорема Стоуна). Напомним, булеаном называется булева алгебра всех подмножеств некоторого множества (с операциями объединения, пересечения и дополнения).

Теоремы абстрактной характеризации входят в список теорем характеризации — теорем о характеристических свойствах объектов, необходимых и достаточных условиях, критериях. Скажем, для линейного оператора, действующего в конечномерном векторном пространстве, равносильны свойства инъективности, сюръективности и биективности. Каждое из этих свойств является характеристическим для того, чтобы данный линейный оператор был изоморфизмом. В свою очередь, теоремы характеризации входят в состав теорем об абстрактных свойствах математических объектов.

Далее, теоремы существования и теоремы единственности являются проявлениями теорем множественности (об объеме понятий). Теорема существования математических объектов с заданными свойствами утверждает существование хотя бы одного такого объекта. Теорема единственности означает, что существует не более одного объекта, удовлетворяющего определенным условиям: либо существует один-единственный с точностью до изоморфизма объект, либо подобных объектов нет (они заданы противоречивым множеством условий). Вспомним теоремы существования и единственности основных числовых систем, решения дифференциального уравнения, пополнения метрического пространства.

К теоремам существования относятся теоремы чистого существования (уже упоминавшееся доказательство Кантора существования трансцендентных чисел без конкретного их предъявления) и теоремы о построении моделей (конструктивное существование), примеров и контрпримеров (существование некоммутативного тела, неевклидовых геометрий).

Теоремы множественности часто указывают мощность множества математических объектов данного рода, рассматриваемых с точностью до изоморфизма. Назовем результаты о счетности множества конечных групп, континуальности булеана счетного множества, числе п-элементных упорядоченных множеств.

Разнообразные теоремы координатизации сопоставляют одним математическим объектам X другие А (X); при этом исходные объекты X обычно имеют геометрическую или топологическую природу, а производные объекты AQ0 — арифметическую или алгебраическую природу. Данное соответствие должно быть инвариантным: изоморфным объектам X и Y отвечают изоморфные объекты Л (Х) и Л (У) (теоремы инвариантности). Примерами могут служить теория размерности и теория гомологий топологических пространств.

На следующем этапе исследований могут появиться теоремы определяемости и теоремы функториалъности. Теорема функториальности устанавливает, что соответствие X —> Л (Х) является функтором из категории исходных объектов в категорию производных объектов. Теорема определяемости объектов из данного класса К утверждает, что изоморфность объектов ЛСЮ и Л (У) влечет изоморфность объектов X и Y из класса К.

Теоремы определяемости доказываются одним из трех способов: либо по данному изоморфизму Л СЮ = Л (У) непосредственно строится изоморфизм Х= Y, зачастую индуцирующий данный изоморфизм; либо по производному объекту Л (Ю восстанавливается сам объект X (с точностью до изоморфизма); либо дело сводится к уже полученным результатам (через третьи объекты, известные классификации). Первыми двумя способами доказывается определяемость любого тихоновского пространствах топологическим кольцом С_р(Х) всех непрерывных действительнозначных функций на X с топологией поточечной сходимости (теорема Нагаты).

Более слабыми, но не менее важными и интересными, чем теоремы определяемости, являются теоремы о сохранении (переносе) свойств

исходных объектов при изоморфизмах соответствующих производных объектов. Для примера возьмем тихоновские пространства. Пространства X и 7 называются t-эквивалентными, если топологические пространства С (X) ^и С_р(7) гомеоморфны, и l-эквивалентными, если топологические векторные пространства С_р(Х) и С_р(7) изоморфны (линейно гомеоморфны). Оказывается, t-эквивалентность сохраняет свойство дискретности пространств: если X дискретно и Y t-эквивалентно ему, то и 7 дискретно. Свойства локальной компактности и метризуемости не сохраняются при /-эквивалентности пространств.

К теоремам о сохранении свойств примыкают теоремы о связи свойств исходных и производных математических объектов. Например, конечность тихоновского пространства X равносильна нетеровости кольца непрерывных функций CQQ. Нетеровостъ кольца означает, что в нем не существует бесконечных строго возрастающих цепей идеалов.

Вершиной теорем координатизации служат теоремы двойственности, т. е. результаты об эквивалентности категории исходных объектов и категории производных объектов. К ним относятся двойственности Понтрягина, Стоуна, Гельфанда, Хьюитта, двойственности между конечными упорядоченными множествами, конечными дистрибутивными решетками и конечными Г₀-пространствами, двойственность Нагаты между категорией всех тихоновских пространств X и их непрерывных отображений и категорией топологических колец вида С_р(Х) с непрерывными гомоморфизмами, сохраняющими 1.

Существуют различные теоремы представления абстрактных математических объектов в конкретных математических объектах: числовые, матричные, функциональные. В предыдущем параграфе мы отмечали значение пучковых представлений для колец и полуколец. Наряду с классическими теорией Стоуна и преобразованием Гельфанда имеются пучковые представления Гротендика, Даунса-Гоффмана, Ламбека, Малви, Голана. Заметим, что теоремы координатизации и теоремы представления иногда приводят к теоремам о строении (например, в случае конечных булевых алгебр).

Существенную роль в развитии математики играют теоремы изоморфности и, особенно, разнообразные теоремы эквивалентности. В первых из них решаются вопросы об условиях изоморфности математических объектов. Теоремы эквивалентности дают более грубую, нежели изоморфизм, классификацию математических объектов данного класса по некоторой системе инвариантов. Их можно считать разновидностью теорем координатизации. Теоремы эквивалентности часто встречаются в теории множеств, в общей алгебре и топологии, в алгебраической и дифференциальной геометрии (равномощность, Морита-эквивалентность, t-эквивалентность и Z-эквивалентность, гомотопическая эквивалентность, бирациональная эквивалентность и т. д.).

Метаматематические теоремы содержат результаты о свойствах формальных аксиоматических теорий, описывающих математические структуры. Это теоремы о независимости аксиом, о выразимости математических теорий на том или ином логико-математическом языке (скажем, на языке логики первого порядка), о конечной аксиоматизируемости, категоричности, полноте и разрешимости формальных математических теорий. Они изучаются в теории моделей.

Поясним указанные термины. Понятие периодической абелевой группы не выразимо в логике первого порядка. Теории полных абелевых групп и абелевых групп без кручения аксиоматизируемы (выразимы) в логике первого порядка, но не являются конечно аксиоматизируемыми (не могут быть представлены конечным множеством аксиом, записанным на языке первого порядка). В строгом смысле категоричность означает изоморфизм любых двух моделей формальной теории. Но, по теореме Левенгейма—Сколема, всякая теория первого порядка, имеющая бесконечную модель (непротиворечивая), обладает и моделью любой бесконечной мощности, в частности счетной моделью. Поэтому всякая формализация теории действительных чисел в логике первого порядка не категорична: она имеет стандартную несчетную и счетную модели, кроме того, существует нестандартное расширение стандартной модели действительных чисел. Аналогично обстоит дело и с формальной арифметикой. Следовательно, имеет смысл говорить только о категоричности в данной мощности — изоморфности любых моделей теории, имеющих эту мощность.

Полнота непротиворечивой формальной теории означает, что для любого ее высказывания (т. е. замкнутой формулы) либо само высказывание, либо его отрицание является теоремой данной теории. Формальная теория называется разрешимой, если имеется алгоритм, выясняющий, является ли произвольное высказывание теории теоремой. Примером разрешимой теории служит исчисление высказываний. Примеры полных теорий: плотный линейный порядок без концов; безатомные булевы алгебры; алгебраически замкнутые поля фиксированной характеристики. Эти результаты основаны на следующем признаке полноты Лося—Воота: если формальная теория не имеет конечных моделей и категорична в некоторой бесконечной мощности, то она полна.

Теоремами являются и математически оформленные законы логики (тавтологии, общезначимые формулы, правила вывода). Можно продолжить этот список более специальными видами теорем, скажем, теоремами о вложении и расширении однотипных математических структур.

Итак, можно предложить следующую «мягкую» классификацию математических теорем:

• • теоремы о строении (полное описание объектов данного класса);
• • структурные теоремы (об абстрактных свойствах объектов);
• • теоремы абстрактной характеризации (аксиоматизация конкретных, в том числе уникальных, математических объектов);
• • теоремы характеризации (получение необходимых и достаточных условий, критериев для математических свойств);

• • теоремы множественности для абстрактных объектов (выясняющих объем класса изучаемых объектов, в том числе результаты об их существовании и единственности);
• • теоремы координатизации одних объектов (обычно геометрической природы) другими объектами (как правило, арифметико-алгебраическими);
• • теоремы определяемости исходных (координатизируемых) объектов производными (координатизирующими) объектами;
• • теоремы о сохранении (переносе) абстрактных свойств объектов при переходе от них к производным объектам в процессе координатизации;
• • теоремы двойственности (эквивалентности категории исходных и категории производных объектов);
• • теоремы представления абстрактных математических объектов в конкретных объектах;
• • теоремы о вложении и расширении математических структур;
• • метаматематические теоремы (о свойствах формальных аксиоматических теорий, описывающих математические структуры).

Заметим, что перечисленные виды теорем не дают классификацию в строгом смысле слова, но подлежат выделению. Скажем, теоремы о строении образуют идеальный подкласс класса структурных теорем. Теоремы абстрактной характеризации входят в класс теорем характеризации. Теоремы двойственности предполагают координатизацию и определяемость.

Теоремы можно классифицировать и по другим основаниям и видам:

• • по методам доказательства (логические, арифметические, алгоритмические, аналитические, комбинаторные и др.);
• • по предмету (алгебраические, геометрические, топологические, теоретико-числовые, теоретико-вероятностные и т. д.);
• • по важности и глубине (аксиомы, простейшие свойства, вспомогательные утверждения — леммы, легко усматриваемые предложения, основополагающие результаты, их следствия);
• • по роли и значению в математике и практике (исходные свойства, фундаментальные утверждения, прикладные результаты).

Литература: [55, 62, 96, 102, 153, 197, 244, 383, 427, 428, 447, 458, 514, 541, 554].

• [1] См. также Приложение Б книги: Вечтомов Е. М. Основные математические структуры. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2013.