Вывод закона Фика

Изучить какое-либо явление — это значит, в первую очередь, установить законы, которым оно подчиняется. Для установления законов диффузии рассмотрим длинный и узкий сосуд, разделенный перегородкой на две части (рис. 5.5). В разных отделениях этого сосуда содержатся различные газы. Если перегородку убрать, то газы начнут перемешиваться вследствие диффузии молекул. Для описания этого процесса введем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ось х была направлена вдоль самой длинной стороны сосуда. Начало координат поместим в том месте, где находилась перегородка. Пусть.

есть концентрация молекул газа, который находился в левом отделении сосуда, ап — концентрация другого газа.

Предположим, что температура и давление в обоих отделениях сосуда до того, как убрали перегородку, были одинаковыми. В таком случае они останутся таковыми, если перегородку убрать. Так сумма парциальных давлений, будет всюду одинаково и не будет зависеть от времени:

Вследствие этого сумма концентраций газов также будет постоянной величиной:

Произведем поперечное сечение сосуда с газами воображаемой плоскостью 5, уравнение которой х = const (рис. 5.9). Пусть S есть площадь этого сечения. Согласно формуле (3.20) число молекул первого газа, пересекающих плоскость 5 в положительном направлении оси х (т.е. слева направо) за время от t до / + dt_y равно.

где п 1 — концентрация молекул в этом потоке. Так как эти молекулы движутся слева направо, а последнее соударение до того, как пересечь плоскость 5, каждая из них испытала где-то в среднем на расстоянии, А слева от этой плоскости; концентрацию ni следует положить равной значению функции (5.38), которое соответствует координате х — А:

Аналогично число молекул, пересекающих плоскость S в направлении справа налево за время dt, будет где.

Рис. 5.9.

К выводу закона Фика

В результате число dN молекул, пролетающих через сечение S за время dt_} равное разности чисел N+ и N- молекул, летящих в противоположных направлениях, будет.

Приращение функции приближенно равно произведению производной на приращение аргумента. Согласно этому правилу.

где Используя эти формулы, получим следующее выражение для числа молекул dN, которые пересекают поверхность S за время d1:

где плотность потока молекул.

где коэффициент диффузии Таким образом, пришли к закону Фика Используя выражения (3.44) и (5.8) для средней квадратичной скорости молекулы (v) и длины ее свободного пробега Л, получим:

т.е. коэффициент диффузии прямо пропорционален корню квадратному из абсолютной температуры и обратно пропорционален концентрации молекул.

Так как функция (5.38) есть концентрация молекул газа, который находился слева от перегородки, эта функция будет убывающей (рис. 5.6). При этом ее производная будет отрицательной п' < 0. Следовательно, по закону Фика (5.40) проекция J_x на ось х вектора J плотности потока молекул будет положительной: J_x > 0. Это означает, что вектор J направлен в ту сторону, где концентрация молекул меньше (рис. 5.9).