Уравнение переноса излучения и основные методы его решения

Уравнение переноса излучения и его общие свойства

Проникновение и распределение лучистой энергии под водой определяется процессами поглощения и рассеяния, которые рассматривались в предыдущих главах. С помощью измерений яркости, выявляющих изменения светового поля, можно получить полную информацию о первичных оптических свойствах воды.

При распространении света на большие глубины селективное поглощение оказывает чрезвычайно сильное влияние, а рассеивающие объемы получаются столь большими, что все самые тонкие детали процесса многократного рассеяния имеют существенное значение.

Теория переноса излучения в мутных средах базируется на фотометрических представлениях и формулируется в терминах лучевой оптики. Объектом исследования теории являются фотометрические величины, т. е. величины, квадратичные относительно векторов электромагнитного поля и осредненные во времени и пространстве. При этом время осреднения (постоянная по времени приемника света) должно намного превышать период волны, а линейный масштаб осреднения (размер приемника) — длину световой волны.

В основе теории переноса излучения лежит уравнение (или система уравнений), описывающее изменение фотометрических характеристик вдоль светового пучка. Важно отметить, что точные условия применимости классической теории переноса, накладывающие ограничения на оптические параметры среды и волнового поля, могут быть получены при более общем рассмотрении процесса рассеяния света в рамках статистической квантовой электродинамики^[1].

Уравнение переноса излучения устанавливает связь между значениями спектральной яркости излучения L (t, r, Q) в двух близлежащих точках пространства r, r + dr с учетом поглощения и рассеяния света в элементарном объеме среды dV ~(dr)³. В общем случае нестационарного светового поля с произвольно заданными источниками уравнение переноса излучения без учета состояния поляризации светового пучка имеет вид.

Здесь с — скорость света в среде, s=cr+a, в, о и a — показатели ослабления, рассеяния и поглощения света в среде; x (f2,Q') — индикатриса рассеяния, удовлетворяющая условию нормировки.

q — плотность источников излучения, которая определяется как количество энергии dW, излучаемой объемом dV в единицу времени в элементарный телесный угол dQ:

Интегро-дифференциальное уравнение (10.1.1) может быть подвергнуто различным математическим преобразованиям. Возможность описания с его помощью светового поля в море исследовалась в Лаборатории видимости (Сан-Диего) с учетом многократного рассеяния ограниченного порядка.

Для получения решения уравнения (10.1.1) необходимо задание начальных и граничных условий. Можно показать, что при q = 0 решение в некотором заданном объеме V, ограниченном поверхностью G, определяется единственным образом по начальному условию и заданному распределению излучения, падающего на V извне:

Уравнение (10.1.1), содержащее член с производной по времени, описывает общий случай нестационарного поля излучения. Если характерное время пребывания фотона в среде t оказывается много меньше времени изменения светового поля Г, то в среде в каждый данный момент времени успевает установиться квазистационарный режим, соответствующий заданным внешним условиям в этот момент времени. В этом случае в уравнении (10.1.1) можно пренебречь членом, содержащим производную по времени. Для морской воды в качестве t следует принять время нахождения фотона в среде до его поглощения.

Нестационарное уравнение переноса всегда может быть сведено формально к стационарному с помощью преобразования Лапласа по времени:

Применяя преобразование Лапласа к уравнению (10Л.1) имеем:

s где? = ?±.

с Важную роль в решении задачи расчета переноса излучения в океане играют фундаментальные решения или функции Грина, в общем случае описывающие реакцию системы на 5 — импульс на входе. В рамках модели светового поля, задаваемой уравнением переноса (10.1.1), функцией Грина называется решение этого уравнения для единичного мгновенного мононаправленного точечного источника при нулевых граничных условиях. Функция Грина G (t₀, r₀, Q₀; t, r, Q) является решением уравнения (10.1.1) при задании источников в виде:

Решение задачи с произвольным распределением источников q (t, r, Q) выражается через функцию Грина интегралом:

Рассмотрим стационарное уравнение переноса излучения и будем полагать, что индикатриса рассеяния x (Q, Q') зависит только от угла рассеяния, то есть x (Q, Q^,)=^(^-^^/), где x (QQ') — скалярное произведение векторов QhQ'. Это предположение можно считать выполненным для океанской воды. Пусть VI,-(г, Q), i = 1, 2 — два решения уравнения переноса:

при граничных условиях L_t (р, Q)=L_i0, п ( 0, р е G (где п — внешняя нормаль к поверхности G, ограничивающей объем среды V).

Рассмотрим функцию L₂ (г, — Q), которая удовлетворяет уравнению.

с граничным условием L₂ (р, -Q) =L₀₂, п) 0, р е G.

Умножим уравнение (10.9) для i = l на I₂(r,-Q), а уравнение (10.10) на Lj (r, Q), проинтегрируем по объему V и всем направлениям Q. и вычтем одно уравнение из другого:

Преобразуем левую часть уравнения (10.1.11) в интеграл по поверхности и заметим, что в силу условия x (Q, 0')=*(-Д, -Q') интеграл в правой части, содержащий индикатрису рассеяния, обращается в нуль. Окончательное соотношение получаем в виде.

В случае, когда и 1₂ — функции Грина: из (10.1.13) получаем.

Соотношение (10.1.14) выражает известный частный случай проявления оптического принципа взаимности: яркость света, регистрируемая приемником в некоторой точке г₂ в направлении Q₂ ^от точечного мононаправленного источника, расположенного в точке г_} и излучающего в направлении С1_Ь равна яркости света от источника, расположенного в точке г₂ и излучающего в направленииГ2₂, ^ПР^И регистрации излучения приемником в точке г₂ в направленииQ_a.

Иными словами, яркость света, регистрируемая приемником, не изменится, если мононаправленные приемник и источник поменять местами.

Интегро-дифференциальное уравнение (10.1.1) может быть преобразовано в интегральное уравнение. Перепишем (10.1) в виде.

где функция.

может рассматриваться как плотность источника в широком смысле, то есть независимо от того, являются ли фотоны действительно испущенными источником или появились в результате рассеяния других фотонов. Выражение (10.15) представляет собой уравнение в частных производных и его решение имеет вид:

Решение (10.1.17) выражает тот факт, что фотоны с направлением движения ?2, которые в момент времени t находятся в точке г, должны были возникнуть в некоторой точке r-lQ в момент t—. Экспонента с.

под интегралом в (10.1.17) определяет вероятность для фотона достичь точки г из точки г-Ю.

• [1] Шифрин К. С., Копелевич О. В., Козлянинов М. В. Оптика океана.