Некоторые математические преобразования, используемые при обработке изображений

Анализ в частотном пространстве

Изображения в РИД представляют собой пространственные распределения зарегистрированной эмиссии р/н. Такой способ часто называют представлением в пространственном домене (области). Вместе с тем нередко возникает необходимость преобразовать данные изображения в так называемый частотный домен. Это преобразование основывается на фундаментальном факте, что любую математическую функцию можно представить в виде суммы синусоидальных и косинусоидальных функций различной частоты и различных фаз (термин фаза относится к начальной точке этих функций) (Фурье, 1807 г.). Такая математическая операция называется преобразованием Фурье, при этом исходная информация преобразуется в другую более удобную форму. Как только это сделано, изменяются перспективы исследований, появляется возможность более глубокого понимания объекта. Особенно важное значение такое преобразование приобретает при модификации и фильтрации изображений.

Имея математическое описание изображения в виде двумерной функции f (x, у), ее двумерное Фурье преобразование можно выразить в следующем виде:

где и и v — декартовые координаты в комплексной плоскости; i = V^l (уравнение Эйлера устанавливает: е^ =cosx + isinx).

Обратное преобразование Фурье имеет вид:

Таким образом, измеренное изображение может быть представлено в виде зарегистрированных отсчетов в каждой пространственной позиции или в виде амплитуд и фаз для каждой частоты. Высокочастотная составляющая изображения в частотном домене содержит информацию о краях и быстро изменяющихся районах (т. е. с большой разницей плотности счета между близко расположенными объектами), в то время как низкочастотная составляющая содержит информацию о районах с относительно медленно меняющейся плотностью счета.

На рис. 4.7 показан пример преобразования Фурье поперечного изображения головного мозга. Единицы измерения вдоль осей и иг обычно являются числом циклов на сантиметр или циклов на пиксель.

Рис. 4.7. Поперечное изображение мозга и его соответствующее двумерное преобразование Фурье [4].