Отображения и функции

Пусть X и У — некоторые множества и.

причем Пр_}Г = Х.

В этом случае тройка множеств (X, У, Г) определяет соответствие, обладающее тем свойством, что его область определения Пр_гГ совпадает с областью отправления X, и, следовательно, это соответствие определено всюду наХ. Другими словами, для каждогохе Xсуществует у е У, так что (х, у) е Г.

Соответствие (X, У, Г), определенное всюду в области отправления соответствия X, называется отображением X на У.

Часто такое отображение записывают Г: X —> Y и говорят, что оператор Г отображает множество X на множество Y.

Под словом «отображение» иногда понимают однозначное отображение. Однако здесь не будем придерживаться этого правила и будем считать, что каждому элементу х е X отображение ставит в соответствие некоторое подмножество Гхс 7, называемое образом элементах.

Сам элемент х в этом случае называется прообразом подмножества Гх. Закон, в соответствии с которым осуществляется соответствие, определяется множеством Г.

Пример 1.30.

Является ли отображением соответствие q = (А, В, Q), если Л = {1, 9,15, 23} и В = {2, 7, 16} и известно, что четные элементы В соответствуют элементам, делящимся на 3 из А? Если нет, то привести пример множества А, при котором данное соответствие является отображением.

Решение. Нет, не является, так как элементы 1 и 23 из множества А не имеют образа в множестве В. Если бы множество А имело вид, например, А = {9,15}, то данное соответствие было бы отображением. ?

Отображение называется функцией, если оно однозначно, т. е. каждому прообразу ставится в соответствие единственный элемент — образ.

Если отображение является функцией, то обычно вместо символа Г используют/. Из определения функции следует, что.

если х_г = х₂, то у! =у₂, для любых пар

Если функция / :Х —> 7 такова, что для любого элемента / е Y существует единственный прообраз х е X, то говорят, что /устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами X и Y.

Отношения

Отношение — это особый вид соответствия, заданный на одном и том же множестве, т. е. это соответствие вида (А, А, R). Элемент а е А находится в отношении R к элементу b е А тогда и только тогда, когда (a, b) е Я.

Обычно если элемент, а находится в отношении R к элементу Ь, то пишут a Rb. При этом существенен порядок элементов. То есть элемент а может находиться в отношении R к элементу b и в то же время элемент Ъ может не находится в отношении R к элементу а. Принято обозначать одной и той же буквой R и само отношение, и его график.

Пример 1.31

Пусть имеются 4 мужчины, обозначенные а, Ъ, с, d. При этом b — сын а, а с и d — сыновья b. R — отношение «быть сыном». Найти график этого отношения.

Решение. Ясно, что b R а, с R b и d R Ь. Следовательно, R = {(Ь, а), (с, Ь),.

М, «}.?

Пример 1.32

Для условий предыдущего примера построить график отношения R — «быть дедушкой».

Решение. R = {(а, с), (а, d). ?

Отношение R на множестве, А называется:

• 1) рефлексивным, если для любого элемента а е А —> a R а;
• 2) симметричным, если для любых элементов а, ЬеА из aRb^> b Ra;
• 3) транзитивным, если для любых элементов а, Ь, с е, А из a R b и bRc^^aRc.

Очевидно, что использованные в примерах отношения «быть сыном» и «быть дедушкой» нерефлексивны, несимметричны и нетранзитивны.

В математике важную роль играют два вида специальных отношений: отношение эквивалентности и отношение порядка.

Говорят, что элементы множества находятся в отношении эквивалентности по некоторому признаку, если с точки зрения этого признака один элемент может быть заменен другим.

Пример 1.33

Отношения эквивалентности:

• — отношение, характеризуемое признаком «быть на первом курсе» на множестве студентов юридического факультета. Действительно, если первокурсника Иванова заменить первокурсником Петровым, то с точки зрения рассматриваемого признака ничего не изменится;
• — отношение, характеризуемое признаком «иметь остаток 2 при делении на 3» на множестве натуральных чисел N. С точки зрения этого признака числа 5 и 26 эквивалентны;
• — отношение, характеризуемое признаком «быть прямой, параллельной данной» на множестве прямых плоскости. Для этого признака неважно, какая из прямых плоскости параллельных данной прямой будет выбрана. ?

В математике принята формулировка, что термин «отношение эквивалентности» применяется только в том случае, когда отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно. Обычно для обозначения эквивалентности применяют символ =.

Тогда математическое определение эквивалентности можно получить, записав эти три условия в виде следующих соотношений:

• 1) х = х (рефлексивность);
• 2) х=у—>у = х (симметричность);
• 3) x=yny = z^>x = z (транзитивность).

Отношения порядка определяют некоторый порядок расположения элементов множества. Если элементы множества являются числами, то отношение порядка характеризуется понятиями «больше» (>), «меньше» (), «меньше или равно (не больше)» (<).

Первые два отношения называются отношениями строгого порядка, а вторые два — отношениями нестрогого порядка.

Очевидно, что отношения строгого порядка нерефлексивны, несимметричны и транзитивны. Отношения же нестрогого порядка рефлексивны и транзитивны. Что касается симметричности этих отношений, то для них принято использовать термин «антисимметричность», что означает, что из х<�у следует у < х тогда и только тогда, когда х=у.

Пример 1.34

Дано множество А = {2, 3, 5}. Найти график R отношения порядка (А, А, Я), характеризующегося понятием «меньше».

Решение. R = {(2, 3), (2, 5), (3, 5)}. ?

Вопросы и задания для самоконтроля

• 1. Что называется множеством; элементами множества?
• 2. Какие множества называются конечными; равными?
• 3. Дайте определение подмножества.
• 4. Какое множество называется пустым; универсальным?
• 5. Какие существуют способы задания множеств? Опишите их.
• 6. Перечислите и опишите основные операции над множествами. Изобразите диаграммы Эйлера — Венна, иллюстрирующие операции над множествами.

• 7. Какие существуют числовые множества? Дайте определение основных подмножеств множества действительных чисел.
• 8. Что называется кортежем; компонентами кортежа; длиной кортежа?
• 9. Что называется прямым произведением множеств; степенью множества?
• 10. Дайте определение соответствия, отображения, функции.

Задачи для самостоятельного решения

1. Дано универсальное множество / = {1, 2, 12}, а также множества.

А = {1, 2, 5, 7}, В = {3, 4, 5, 8, 9, 11}, С = {1, 4, 6, 7, 12}. Найти множество D = (AvB)(BnC).

• 2. Даны множества А = {3, 4, 6} и В = {1, 4}. Найти А х В.
• 3. Даны множества А с Я, В с Я. А = (2, 3]; В = (-2,1) и [2, 4). Найти Л х В.
• 4. Даны множества А = {1, 5,10,12} и В = {3, 6, 8}. Составить график Q соответствия q = (Л, В, Q), если известно, что нечетные элементы В соответствуют элементам, делящимся на 5 из Л.
• 5. Дано множество Л = {2, 3, 5, 9, 10, 12, 15, 20}. Найти график R отношения (Л, А, Я), характеризующегося признаком «частное — натуральное число, делящееся на 3».