Центральная предельная теорема

Закон больших чисел устанавливает факт приближения средних большого числа случайных величин к определенным постоянным. Но этим не ограничиваются закономерности, возникающие в результате суммарного действия случайных величин. Оказывается, что при некоторых условиях совокупное действие случайных величин приводит к определенному, а именно — к нормальному закону распределения.

Центральная предельная теорема представляет собой группу теорем, посвященных установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения. Среди этих теорем важнейшее место принадлежит теореме Ляпунова.

Теорема Ляпунова. Если X_t, Х₂, …, Х_п — независимые случайные величины, у каждой из которых существует математическое ожидание М [.Y,] = й,-, дисперсия D^X^ = oг,², абсолютный центральный момент третьего порядка М Х_:— - а_;|³ = m_t и

то закон распределения суммы Y_n = Х₁ + Х₂ +… + Х_п при п —> со неограниченно приближается к нормальному закону с математическим.

п п

ожиданием ?//, и дисперсией Х<�т, •.

1=1 (=1.

Теорему примем без доказательства.

n

Смысл условия (7.19) состоит в том, чтобы в сумме Y_n = не.

/=1.

было слагаемых, влияние которых на рассеяние Y_n подавляюще велико по сравнению с влиянием всех остальных, а также не должно быть большого числа случайных слагаемых, влияние которых очень мало по сравнению с суммарным влиянием остальных. Таким образом, удельный вес каждого отдельного слагаемого должен стремиться к нулю при увеличении числа слагаемых.

Следствие. Если Х, Х₂, …, Х_п — независимые случайные величины, у которых существуют равные математические ожидания MXj = a, дисперсии Z)[X₍-] = сг² и абсолютные центральные момен-

ты третьего порядка М Xj — а_;| = /",• (/ = 1,2, …, и), то закон рас

пределения суммы Y_n = Х_х + Х₂ +… + Х_п при п —> оо неограниченно приближается к нормальному закону.

Замечание. Опираясь па центральную предельную теорему, можно утверждать, что рассмотренные нами ранее случайные величины, имеющие законы.

у

распределения (биномиальный, Пуассона, равномерный, % («хи-квадрат»), t (Стьюдента)), при п —> со распределены асимптотически нормально.

ПРИМЕР 2. Определить вероятность того, что средняя продолжительность 100 производственных операций окажется в пределах от 46 до 49 с, если математическое ожидание одной операции равно 47,4 с, а среднее квадратичное отклонение — 4,9 с.

РЕШЕНИЕ. В этой задаче X — продолжительность наугад взятой производственной операции, а = М [Л/] = 47,4 с, сг = yjD[X] = 4,9 с, — 1 «.

X = —2]Xj, «= 100. Здесь X — средняя продолжительность 100 наугад п ы взятых производственных операций, причем М[х] = 47,4с, ^[^] ⁼ = а² /» = 4,9² /100 с². Теперь вычислим соответствующую вероятность.

Р (46<�Х<49) = р[~— < ^~^47,4 < —1 = Р (-2,857 <3,265) = ^{v ;} I, 0,49 0,49 0,49) ^v '

= Ф* (3,265) + Ф* (2,857) -1 = 0,9973.

При решении задачи на основании следствия из теоремы Ляпунова распределение центрированного и нормированного среднего (X — 47,4) / 0,49 приближенно заменено на распределение стандартной нормальной случайной величины Z ~ /V (0, 1).