О догматическом доказательстве

Теперь поставим вопрос, может ли категорический силлогизм служить доказательством в нашем смысле, т. е., иными словами, может ли силлогизм устранить возможность разумно мотивированных сомнений?.. На этот вопрос придется ответить отрицательно: категорический силлогизм не может служить доказательством, так как он содержит в себе petitio principii.

Как известно, из противников силлогизма, указывавших именно на petitio principii, которое в нем заключается, наиболее сильные аргументы привел Д. С. Милль. Критики Милля пришли к следующему заключению: если рассматривать, как это Делал Милль, общие ю посылки «все, А суть В» просто как коллективные единства, в которых суммируются единичные суждения «АА_г есть В»,"АА₂ есть В" и т. д., иными словами, если общие суждения только заменяют в сокращенном выражении перечисление отдельных Случаев, — тогда аргументация Милля неопровержима. Но эта аргументация совершенно теряет силу, по мнению критиков, как только мы признаем, что смысл большей посылки заключается не в простом суммировании единичных случаев, а в утверждении необходимости связывать с субъектом предикат — А необходимо есть В (Sigwart: «Logik», Bd. 1, § 55, 3; также проф. Лосский: «Логика проф. А. И. Введенского», 35 стр.). Однако это не так. Можно утверждать, что действительная сила аргументации Милля далеко еще не оценена и не прочувствована. Приведем эти аргументы:

«Надо согласиться, что во всяком силлогизме, если его считать доказательством заключения, содержится petitio principii.

Так, когда мы говорим:

Все люди смертны, Сократ — человек, след., Сократ — смертен, то противники силлогистической теории неопровержимо правы, говоря, что предложение «Сократ смертен» уже предполагается в более общем утверждении: «все люди смертны». Они правы, говоря, что мы не можем быть уверены в смертности всех людей, пока мы не уверились в смертности каждого отдельного человека, что если бы было сомнительным, смертен ли Сократ или любой другой человек, то в такой же степени недостоверным было бы и утверждение «все люди смертны». Общее положение не только не может доказывать частного случая, но и само не может быть признано истинным без всяких исключений, пока Доказательством aliunde (из другого источника) не рассеяна всякая тень сомнения относительно каждого частного случая данного рода. А если это так, то что же остается доказать силлогизму?.." («Система логики» пер. Ивановского, 2-е изд., 165 стр.).

Необходимо согласиться, что мысль Милля выражена в приведенном отрывке не с тою резкостью и определенностью, с какою она должна быть выражена. По моему мнению, Милль стремится указать на то свойство силлогизма, что истинность заключения есть условие истинности посылок и, следовательно, не может быть доказана посылками. Если мысль Милля такова, то его аргумент неопровержим. В самом деле, сомневаться в чем-либо — значит находить возможными суждения, несовместимые с объектом сомнения. Сомневаться в следствии — значит находить возможными суждения, несовместимые со следствием. Но эти же самые суждения несовместимы и с основанием. Значит, сомнение в следствии есть вместе с тем также сомнение в основании. Поэтому, приводить догматически основание в доказательство следствия — значит впадать в ошибку, известную под именем petitio principii. В частности, в примере Милля сомнение в смертности Сократа, означает в то же время сомнение в том, что все люди смертны, или же в том, что Сократ — человек.

Традиционное применение силлогизма в качестве доказательства основывается на следующем правиле: если истинны посылки, то истинны и все выводы из них. Правило это несомненно, но применение его на практике весьма ограниченно, что можно доказать следующими тремя положениями:

1) Выводы всегда достовернее, нежели, по крайней мере, одна из посылок.

В самом деле, вывод будет во всяком случае справедлив, если справедливы посылки; таким образом его достоверность не может быть ниже достоверности посылок. Но выводы могут быть справедливы и в том случае, если посылки ошибочны. Например, сумма углов некоторого треугольника может быть равна 2d даже и в том случае, если не истинны постулаты Евклида. Это положение о большей достоверности выводов по сравнению с посылками, взятое само по себе, впрочем, ничего еще не говорит против употребления силлогизма как доказательства.

2) Достоверность выводных суждений не зависит от достоверности безусловно общих посылок.

Д. С. Милль, отвергая силлогизм в качестве доказательства, утверждал, что выводы возможно делать прямо от одних наблюденных случаев к другим, «от частного к частному». Последующая критика показала, что Милль в данном случае ошибался. В частных наблюденных фактах не дана никакая связь с ненаблюденными случаями, и поэтому от голых частных случаев к другим частным случаям, без помощи каких-либо общих предпосылок, вывод абсолютно невозможен. Но подобною предпосылкой вовсе не должно непременно быть безусловно общее суждение традиционной логики. Вывод в действительности делается по аналогии, из позитивно достоверных предпосылок. Для вывода частного случая достаточно допустить существование некоторой остающейся неопределенной закономерности, которая обладает некоторою устойчивостью и распространяется на сходные и смежные случаи. Именно в силу своей неопределенности такое допущение будет достовернее всякого определенного, не допускающего исключений общего суждения. Безусловно общее суждение характеризуется тем, что оно исключает возможность отрицательного суждения. Но в этом отрицании отрицания заключается источник недостоверности. Воздерживаясь от него, мы получаем позитивно достоверную предпосылку. Например, из общего причинного закона мы можем вывести, что и в данном отдельном случае действие не происходит без причины. Но последний вывод может быть с большей достоверностью сделан по аналогии с прежними наблюденными частными случаями. Вывод к отдельному случаю по аналогии будет позитивно достоверным суждением, тогда как общий причинный закон будет лишь постулатом. В самом деле, если число наблюденных случаев причинного закона равно п, то вероятность того, что и в данном единичном случае действие имеет n + 1.

причину, равна-, т. е. дроби, чрезвычайно мало отличной от еди;

п + 2.

ницы или полной достоверности, а практически совпадающей с ней при достаточно большем значении п. Заключения теории вероятности основываются на неопределенных, но вполне достоверных позитивных предпосылках, как-то, что весьма невероятно, чтобы во всех наблюденных случаях мы имели лишь кажущуюся причинность — простое совпадение, а не закономерную связь; слишком невероятно также, чтобы эта закономерность, какова бы ни была ее природа, не распространялась и на случаи, смежные с наблюденными, и т. п.; при этом посылки теории вероятности вовсе не требуют полного исключения возможности отрицательных суждений. Пусть среди п наблюденных случаев были, например, два несомненные исключения из причинного закона; вероятность того, что причинный закон имеет место в данном единичном случае, будет равна ———, т. е. величине, при большем числе п нечувп + 2.

ствительно отличающейся от прежней.

Отсюда очевидно, что достоверность единичного вывода по аналогии совершенно не зависит от общего постулата; достаточно знать, что случаи, где причинность не имеет места, весьма редки, чтобы наличность причинности в отдельном случае была выведена с достоверностью.

То же самое справедливо и по отношению к частным суждениям. Допустим, что мы хотим установить некоторое суждение о птицах севера Европейской России и выводим это суждение из суждения о птицах вообще. Если у нас есть материал наблюдений над птицами севера России, то из этого материала предполагаемое частное суждение можно вывести с большей достоверностью, нежели из общего суждения. Далее, будучи раз выведено, частное суждение не зависит от достоверности общего суждения, так как контрадикторное наблюдение над птицами, например, Австралии ничуть его не опровергает. С другой стороны, если у нас нет материала наблюдений над птицами Северной России, то и общее суждение о птицах является проблематичным до производства указанных наблюдений и не может служить источником достоверности.

В естествознании постоянно прибегают к выводам из общих посылок и эти выводы считают достоверными. Но не надо обманываться относительно источника указанной достоверности; последняя проистекает не из посылок, а из аналогии, из сравнения с ранее наблюденными сходными случаями. Так, в астрономии с точностью предсказывается движение небесных светил. Но в существе дела лежит аналогия, позитивное умозаключение от прежних движений к будущим. Общие же теоретические посылки служат лишь для удобства вывода, а не для сообщения последнему достоверности. Во многих вопросах астрономии удобнее всего брать заведомо ложные посылки Птоломея и делать на основании их точные предсказания. Но брать ли предпосылки Птоломея или Ньютона сущность дела заключается в позитивно-достоверных заключениях по аналогии и не зависит от достоверности теоретических посылок. Нет такого, признаваемого достоверным, вывода из безусловно общих посылок, который не мог бы быть получен путем аналогии.

В таком случае возникает вопрос, для чего же служат общие суждения?

Выражать наши познания в виде общих формул и общих суждений необходимо, во вовсе не для того, чтобы благодаря общим суждениям сделать достоверными частные случаи. Общие суждения выражают наши познания в краткой, законченной и удобной форме; от общих суждений можно и переходить не только к ближайшим, но и к весьма отдаленным следствиям, чего нельзя сделать по аналогии. Но при этом достоверными признаются только те выводы из общих суждений, которые одновременно можно получить и по аналогии.

Общие формулы приводят иногда к необычным, парадоксальным следствиям, не имеющим ничего аналогичного среди наблюденных данных, которых нельзя предвидеть при помощи каких-либо позитивно достоверных предпосылок, как, например, некоторые явления дифракции, вытекающие из предпосылок теории Френеля, или световое давление, вытекающее из предпосылок Клерка Ааксвелля. Но в таких случаях никто и не считает следствий доказанными или достоверными. Подобные парадоксальные следствия из теории заинтересовывают всех, но самую теорию, из которой сделан вывод, ставят под сомнение, и только после экспериментальной проверки теория признается выдержавшей испытание; дальнейшие же результаты снова могут быть выведены по аналогии с наблюденными случаями. Электромагнитную теорию света можно считать окончательно восторжествовавшей не раньше как с момента экспериментального обнаружения Лебедевым давления света.

3) Всякое безусловно общее суждение есть постулат, в котором допускается истинность всех его следствий.

Общее суждение может быть получено или путем индукции или априорным путем. Рассмотрим сначала первое. Из ряда наблюдений, из того, что неопределенно-большое число наблюденных, А все оказались В, без одного исключения, нельзя вывести, как позитивно достоверное суждение, что подобное исключение вообще невозможно. Также нельзя вывести на основании теории вероятности, что неопределенно-большое количество других, ненаблюденных, А все окажутся В. Теория вероятности может утверждать с достоверностью лишь то, что ограниченное число А, смежных с наблюденными, число небольшое, по сравнению с числом наблюденных А, также окажутся В. Таким образом, суждение «всякое, А есть В» не есть позитивно достоверное утверждение, но только допущение.

Что касается априорных суждений, например, суждений математики, то из них могут быть выведены следствия, относящиеся к эмпирической действительности. Если в действительности явления происходят иначе, нежели предсказывает априорная теория, то последняя не может быть признана истинной. Следовательно, признавая истинной какую-либо систему аксиом, мы допускаем совпадение с действительностью всех ее следствий.

Из трех приведенных положений несомненно следует, что допускать основания мы можем только в тех случаях, если не сомневаемся в следствиях. Традиционная логика, как раз наоборот, не обращая внимания на указанные свойства основания и следствия, считает невозможным отрицать следствие или сомневаться в нем, если основание почемулибо принимается. Дело в том, что все авторы сочинений по логике, исключая Милля и его направление, молчаливо принимают, как само собою подразумеваемое, следующие постулаты:

«Утверждать что-либо — значит наперед принимать все следствия утверждаемого, каковы бы они ни были».

«Доказать что-либо — значит найти требующее доказательства положение в числе следствий принятых».

Из этих постулатов вытекает традиционный взгляд на силлогизм, выражаемый известным правилом «dictum de omni et nullo». В самом деле, если следствия какого-либо суждения принимаются заранее, то они уже не могут считаться условиями его истинности. Наоборот, их можно отрицать только при том условии, если мы сперва откажемся от основания. Но это характеризует традиционную логику как логику догматического мышления.

В «Логике» Канта мы находим следующее примечание: «Следовательно, во всяком заключении разума нужно сначала исследовать истинность посылок и лишь потом правильность вывода». — «При опровержении заключения разума никогда не следует сначала отвергать следствие, но всегда сначала или предпосылки или способ вывода». (Кант: «Логика», пер. Маркова, стр. 113.) —Правило, очевидно, неприменимое в тех случаях, когда следствие заключений разума противоречит фактам. При помощи указанных постулатов и примечания Канта можно, например, оправдать того ученого схоласта, современника Галилея, который отказался смотреть в астрономическую трубу, издеваясь над кривыми стеклами Галилея и над тем, что можно видеть в эти кривые стекла. В самом деле, в его душе отсутствовали сомнения в основаниях философии Аристотеля. Но в таком случае было бы нелогично сомневаться и в следствиях. Последним убежищем догматизма является признание критерием истины чувства очевидности или сознания необходимости, сопровождающего некоторые априорные суждения. Все следствия очевидных или представляющихся a priori необходимыми положений принимаются наперед, каковы бы они ни были. Из психологического факта немыслимости противоречия или отсутствия сомнений в очевидных суждениях выводится незакономерность сомнений в следствиях. Это последнее убежище догматизма носит название критической философии.

Но каким образом должны мы относиться к математическим теоремам? Без сомнения, невозможно отождествить понятия «теорема» и «доказательство». Математическая теория занимается вовсе не тем, что устраняет какие-либо сомнения. Ее задача заключается в том, чтобы проследить непрерывную цепь оснований и следствий, указывая отдельным положениям определенное место в этой цепи. Подобная цепь оснований и следствий может, конечно, разъяснить те или иные сомнения по поводу отдельных положений, но это побочная и прикладная роль математических теорем. В математике выводится все, что может быть выведено, а что не может быть выведено, — принимается в качестве аксиом или постулатов. Математика стремится не к тому, чтобы вывести все теоремы из положений наиболее очевидных, но к тому, чтобы вывести всю систему из наименьшего числа положений; при этом признается совершенно случайным, очевидны или не очевидны те или иные теоремы или аксиомы. Поэтому нередко очевидные положения «доказываются» посредством столь же очевидных; можно найти примеры, где более очевидное выводится из менее очевидного. Представить одно очевидное положение в качестве следствия другого, столь же очевидного, понятно, не имеет ничего общего с доказательством в нашем смысле. Далее, теоремы могут устранять только немотивированные сомнения, основанные на незнакомстве с предметом: научные же сомнения не могут быть таким образом устранены, так как они распространяются на основные постулаты.

Итак, дедукция не может быть рассматриваема как доказательство следствий, во-первых, потому, что достоверность следствий не зависит от достоверности посылок, и, во-вторых, потому, что подобное доказательство собственно постулирует то, что требуется доказать. Но это не значит, что силлогизм и вообще дедукция не имеют в высшей степени важного значения в процессе доказательства; но только дедукция является не полным доказательством, а частью доказательства и служит не для доказательства следствий, а для доказательства общих посылок.

Именно следствия, а не основания могут служить критерием истины, и именно посылки, а не выводы нуждаются в доказательстве. Всякое доказательство должно исходить из данных, установленных фактов и идти от них индуктивным путем к обобщениям. В частности, силлогизм должен строиться с конца. К фактам, рассматриваемым как следствия, должны подбираться или же изобретаться возможные посылки. Такое построение силлогизма по данным заключениям и должно быть начальной стадией доказательства. Затем должна следовать дедукция новых заключений из взятых посылок с целью проверки последних путем сопоставления следствий с фактами.