Третья. 
МАТЕМАТИКА И ОПЫТ

Метод математики

Идеалом математики со времени Евклида является дедуктивная система, в которой все предложения строго логически вытекают из первых предложений — постулатов или аксиом. Система Евклида продолжительное время считалась таким идеалом, и только исследования последнего времени показали, насколько она далека от совершенства в данном отношении. Главным недостатком геометрии Евклида является неполнота списка аксиом, вследствие чего строго дедуктивное развитие системы становится невозможным, и при выводе заключений время от времени приходится обращаться к интуиции. Это придает системе чувственно-наглядный характер; вместо строгих выводов получается постоянное внесение неявных подсознательных допущений.

В настоящее время мы имеем системы геометрических аксиом, удовлетворяющие требованию полноты, из которых, следовательно, все дальнейшие выводы могут быть сделаны при помощи только логических законов тождества, противоречия и исключенного третьего. Все выводы получаются путем чисто формальных преобразований, при чем не только нет необходимости прибегать к интуиции, но и является совершенно излишним, по крайней мере принципиально, — параллельно дедукции наглядно представлять образы тех фигур, о которых ведется рассуждение.

Математическая теория идет и дальше по пути абстракции. Так как никакие наглядные представления не принимаются во внимание при строго логическом развитии системы, то геометрия, стало быть, не является необходимо связанной с какими-либо наглядными представлениями; последние лишь могут иметь значение случайных, конкретных истолкований геометрической системы; в своей же сущности геометрическая система должна представлять собою чисто абстрактное учение о соотношениях. Один из основателей абстрактной геометрии, Паш, говорит следующее:

«В самом деле, если только геометрия действительно должна быть дедуктивной, процесс умозаключения должен быть повсюду независим от смысла геометрических понятий, как он должен быть независим от фигур: в рассмотрение должны приниматься только отношения между геометрическими понятиями, встречающимися в употребленных положениях или же определениях» («Vorlesungen liber neuere Geometrie»).

Спрашивается, как далеко можно идти по пути, указанному Пашем, и к чему мы в конечном счете придем? Без сомнения, по пути абстракции можно идти еще значительно далее. Паш указывает, что умозаключения не зависят от смысла понятий; но умозаключения, равным образом, не зависят и от смысла отношений, так что и последние точно так же можно не принимать в рассмотрение.

Мы видели, что всякие умозаключения сводятся к трем законам мышления, и что умозаключать возможно только из отношений существования, сосуществования и тождества; следовательно, всякие другие отношения можно не принимать в рассмотрение при совершении умозаключений. В самом деле, только транзитивность отношения сосуществования и тождества может быть выведена аналитически (путем подстановки и проч. См. II, 4.) Что касается остальных отношений, то их транзитивность можно установить только при помощи интуиции. Чтобы ввести подобные отношения в математическую систему, необходимо высказать, в качестве постулата, необходимую связь существования между двумя данными отношениями и третьим, напр.: «если существует отношение, а > b и b > с, то существует также отношение, а > с». Однако, при совершении умозаключений мы не можем принимать во внимание смысл отношений, но только необходимую связь существования между терминами. Мы умозаключаем совершенно так же, как если бы мы имели постулат: «Если дано М, то дано также и N» (см. II, 5). Таким образом, возможно не только отвлечься от смысла понятий, но и от смысла всех отношений, кроме отношений сосуществования и тождества.

Доведя до логического конца абстрагирование дедуктивной системы, мы приходим к знакомой уже нам истине, что все умозаключения совершаются при помощи чисто формальных преобразований, основанных на трех законах мышления, при чем материал суждений, взятых в качестве посылок, не принимается во внимание.

Здесь существует некоторое недоразумение: математики полагают, что особенности материала их науки делают возможным абстрактное развитие арифметической или геометрической системы; в действительности же таково свойство всяких умозаключений, и оно объясняется тем, что законы мышления относятся безразлично к материалу суждений.

Всякую дедуктивную теорию можно абстрагировать от смысла понятий и отношений, оставив только схему последовательных преобразований, но далеко не во всех случаях это может быть целесообразным. При каких же условиях полезно заменять конкретную теорию абстрактной, и как далеко следует производить подобное абстрагирование? Очевидно, что абстрагирование теории уместно в тех случаях, когда мы находим несколько различных систем конкретных образов, удовлетворяющих тем же самым постулатам, и которые поэтому могут обслуживаться тождественной системой дедукции. Если же мы не находим подобных конкретных и различных между собою интерпретаций теории, то абстрагирование теории является совершенно бесцельным. Из этих соображений вытекает, что, например, геометрия действительно должна быть преобразована в подобную абстрактную систему соотношений.

Данные в интуиции точки, прямые и плоскости удовлетворяют некоторой системе постулатов; но той же системе постулатов удовлетворяет множество других линейных многообразий. Поэтому весьма целесообразно «точки», «прямые», «плоскости» и проч. понимать в абстрактном, не чувственном смысле. Мы имеем в этом случае одну абстрактную теорию, общую для всех линейных многообразий, и выведя какую-нибудь одну абстрактную теорему, мы тем самым получаем неопределенно большее число теорем, связанных с абстрактной теоремой, как ее конкретные истолкования. При этом выступает также важность строго дедуктивного развития теории; в самом деле, если бы доказательство зависело от интуитивного рассмотрения какого-либо образа, то перенесение сделанного вывода из одной системы в другую путем простого перевода терминов не было бы возможным. В подобных случаях преимущество абстрактной дедуктивной системы очевидно.

Теперь допустим, что подобное отделение формы математических суждений от материи произведено полностью; мы имеем в качестве первых предложений несколько отношений существования, сосуществования и тождества, причем термины, являющиеся членами отношений, не имеют никакого определенного смысла. Возникает вопрос, как возможно, чтобы подобная система была неисчерпаемой в своих следствиях, чтобы она могла заполнять своими выводами целые томы? Надо принять во внимание, что все в такой системе должно быть выведено исключительно из первых предложений; внесение каких-либо посылок, не зависящих от первых предложений, решительно недопустимо. Условия теорем, которые берутся в качестве посылок при выведении тех или иных заключений, сами, в свою очередь, должны быть выведены из первых предложений. Так, например, для того, чтобы вывести какие-либо теоремы о квадрате, необходимо сперва вывести из первых предложений существование соответствующей фигуры.

Для некоторых исследователей представляется парадоксальной возможность без конца развивать геометрическую систему путем комбинации небольшого числа одних и тех же основных постулатов; они видят в этом (как, например, Милль) серьезную трудность, препятствующую признать геометрию строго дедуктивной системой. Однако, никто не признает парадоксальной возможность делать бесконечное число построений при помощи трех предметов: листа бумаги, карандаша и линейки, и при помощи двух простых операций: — постановки точек и проведения прямых. Но указанные предметы мы можем заменить понятиями, а операции — постулатами существования. Существование точек, существование прямых, определяемых каждой парой точек, существование плоскости, определяемой тремя точками, — вот постулаты; представляющие, так сказать, логический эквивалент бумаги, карандаша и линейки; и всевозможные комбинации и выводы из этих постулатов имеют значение логических эквивалентов построений на бумаге.

Геометрию возможно строить, во-первых, как чисто эмпирическую систему: тогда мы при помощи линейки и карандаша делаем на бумаге построения и затем при помощи измерений и т. п. эмпирических приемов определяем их свойства. Геометрия может быть развиваема и как дедуктивная система; построения при этом заменяются выводами из постулатов. Всякий раз, когда мы берем точку вне линии, мы должны ссылаться на постулат, что вне линии существуют точки; когда мы проводим прямую линию через две данные точки, мы должны ссылаться на постулат, что через всякие две точки возможно провести прямую и, т. д. Но в дедуктивной системе достаточно только ссылаться на постулаты, причем самое выполнение конкретных построений становится излишним. Всякая ссылка на постулаты, таким образом, аналогична построению фигуры или эксперименту над ней. В качестве следствий из постулатов мы можем получить неопределенно большое число абстрактных построений, которые служат посылками при выводе теорем. Развивая далее указанные посылки, мы определяем ближе свойства и соотношения различных классов отношений или абстрактных фигур, аналогичных конкретным образам.

Итак, ничто не препятствует математике быть строго дедуктивной системой, которая развивается формально из немногих основных посылок. Однако, существенную роль в математике играют также обобщения, настолько существенную, что, не прибегая к ним, буквально невозможно сделать ни шагу. Например, исходя из того, что некоторая теорема справедлива для треугольника, четырехугольника, пятиугольника и т. д., мы делаем обобщение и умозаключаем, что данная теорема справедлива для всякого многоугольника; исходя из того, что некоторое свойство принадлежит 1, 2, 3… мы выводим, что оно принадлежит всякому целому числу, и т. д.

Из логики нам известно, что заключение силлогизма ни в каком случае не может быть более общим, нежели посылки; очевидно также, что невозможно получить действительное обобщение путем чисто формальных преобразований. Поэтому возникает вопрос, как возможны обобщения в строго дедуктивной системе?

Принцип всяких обобщений в математике называется математической индукцией; следовательно, ним необходимо рассмотреть, в чем заключается природа математической индукции.

Пуанкаре утверждает, что математическая индукция представляет собою обращение к интуиции. По мнению Пуанкаре, математическая индукция является необходимым коррективом для абстрактной дедуктивнои системы математики, тем коррективом, который оплодотворяет сухое схематическое мышление и превращает его в живую мысль.

Однако, такое мнение ошибочно; математическая индукция не должна непременно быть обращением к интуиции; она целиком укладывается в рамки дедуктивной системы. Кроме того, математическая индукция принадлежит к кажущимся обобщениям; в действительности это есть дедукция. Математическая индукция представляет собою способ рассуждения при помощи общих понятий. Мы расчленяем единичное понятие на его признаки и исследуем зависимость признаков друг от друга; когда мы найдем, что некоторое свойство не зависит от специфических признаков частного понятия, мы делаем обобщение. Например, когда мы докажем, что некоторое существенное свойство треугольника не связано необходимо с числом его сторон, этим самым мы убедимся, что указанное свойство принадлежит общему понятию многоугольника. В этом и заключается сущность математической индукции.

Принцип математической индукции обыкновенно формулируется так: «Если теорема справедлива для значения 1, и если можно доказать, что она верна для n + 1, приняв ее справедливость для п, то она справедлива для всякого целого положительного числа».

Этот принцип может быть выведен следующим образом: пусть мы докажем, что если теорема верна для п, то она верна и для n + 1. Подобное доказательство есть применение общих постулатов математики к некоторому частному случаю. Вывод обладает безусловно общностью: п — всякое число, обладающее заданным свойством, 1 — всякая единица, прибавляемая к какому бы то ни было числу. Обладание заданным свойством не зависит от прибавления единицы — вот к чему сводится доказательство. Из прежде допущенных посылок мы знаем, что последовательное прибавление единицы к п образует неограниченный ряд целых чисел. Следовательно, указанное свойство принадлежит к понятию всякого числа, начиная с п. Если п равняется 1, то указанное свойство принадлежит к понятию целого числа. Таким образом, математическая индукция основывается непосредственно на интуиции только один раз, когда определяется ряд целых чисел. Пуанкаре оказывается прав в том отношении, что в конце концов мы основываемся на интуитивной предпосылке; но если он хотел сказать, что мы обращаемся к интуиции всякий раз, когда прибегаем к математической индукции, то это не верно.

От п — к п + 1 мы заключаем дедуктивно, основываясь на постулатах и аксиомах. Подобный вывод будет переходом к частному по отношению к тем первым предложениям, из которых выводится; он будет обобщением только по отношению к тем частным суждениям, которые мы имели до применения математической индукции.

Итак, всякое обобщение в математике есть только кажущееся обобщение. В действительности повсюду менее общее выводится из более общего. Принятые первые предложения являются наиболее общими, и, следовательно, какое бы то ни было обобщение могло иметь место только до того, как была окончательно принята какая-либо система первых предложений. Действительным обобщением в математике может быть только переход от одной системы первых предложений к другой, — например, замена системы интуитивных предпосылок абстрактными.

Необходимо сказать еще несколько слов о способе употребления общих понятий в математике.

В математике существуют два способа употребления общих понятий. Во-первых, традиционный способ, описанный в классической логике; он состоит в том, что ведут рассуждение при помощи общих понятий, например, при помощи понятий «точка», «прямая», «плоскость», «между» и проч., а также при помощи понятий производных от первых. Этот способ применяется в тех случаях, когда необходимо развить какую-либо систему абстрактных соотношений. Под понятиями, как показано, должно подразумевать совокупности условий, которым могут удовлетворять внешние объекты и наглядные представления (II, 1).

Но в некоторых случаях такой способ оперирования над общими понятиями не приводит к цели; тогда прибегают к введению переменных величин и функций.

Переменную величину можно определить как фиктивный член некоторого ряда величин, обладающий только теми свойствами, которые общи для всех членов ряда. Вследствие этого переменная величина служит представителем для всех членов ряда и может быть любым членом замещена; каждый член ряда называется частным значением переменной, а весь ряд в целом — областью изменения переменной. Неупорядоченное множество, т. е. множество, не расположенное правильным образом, согласно некоторому принципу, не может быть областью изменения переменной. Областью изменения переменной служит обычно упорядоченное множество одного измерения. Множество, упорядоченное по двум измерениям, является уже сложной переменной величиной или функцией двух переменных. Таким образом, согласно определению, переменная величина предполагает существование общего понятия, имеющего объем, упорядоченный по одному измерению.

Функция в популярном понимании есть величина, изменения которой зависят от изменений некоторой другой величины. Определяя более строго, можно сказать, что функция есть математическое выражение, заключающее в своем составе одну или несколько переменных величин. Очевидно, что частные значения подобного выражения будут изменяться в зависимости от частных значений переменных, которые входят в его состав. С логической стороны функция есть не что иное, как сложная переменная величина, и следовательно, функция точно также указывает на существование общего понятия с упорядоченным объемом.

Переменную и функцию можно, по произволу рассматривать или как общие понятия или как фиктивные члены некоторого ряда. Отсюда следует, что введение в рассуждение переменных величин и функций есть только особый способ употребления общих понятий, свойственный математике.