Сущность математики — заключительные выводы

Бертран Рессел так определяет математику — и это определение считается, по-видимому, общепризнанным: «Чистая математика целиком состоит из утверждений следующего типа: если такое-то предложение справедливо в применении к какому-нибудь объекту, то в применении к тому же объекту справедливо такое-то предложение. Здесь существенно, во-первых, что не подлежит обсуждению вопрос о том, справедливо ли на самом деле первое предложение, и, во-вторых, что не должно быть указано, что представляет из себя тот объект, в применении к которому первое предложение предполагается справедливым. Таким образом, математика может быть определена, как наука, в которой мы никогда не знаем, о чем мы говорим и никогда не знаем, верно ли то, что мы говорим».

В наших терминах это будет означать следующее: математика состоит в выведении отношений сосуществования между отношениями сосуществования. Из предыдущего следует, однако, что далеко не всякая данная система отношений сосуществования может быть рассматриваема, как математика, так как математика вовсе не есть область чистого интеллектуального спорта, абсолютно оторванного от действительности. На самом деле всякая аксиоматическая система получается путем тщательного выбора, упорной работы абстракции, проделываемой над наглядными представлениями, при чем вопрос ставится так: какие соотношения необходимы и достаточны для того, чтобы можно было охватить свойства реальной протяженности? Так, например, аксиомы Гильберта получены путем абстракции из представлений Евклидовой геометрии. Аксиомы Гильберта не наглядны; но все те отношения сосуществования, которые имеют место между наглядными образами, в них вполне точно скопированы. Но интуитивные представления, как мы видели, отображают свойства объектов; следовательно, и абстрактные аксиомы точно так же отображают некоторые, наиболее постоянные свойства реальных объектов.

Отсюда вытекает возможность того, что математик может оставаться в сфере абстрактных соотношений до тех пор, пока он этого хочет; но выводы чистой математики он в любой момент может применить к эмпирической действительности просто путем соответственной интерпретации терминов. Излишне было бы прибавлять, что переход от абстрактно-математических отношений к эмпирическим вовсе не означает метафизического «обоснования» последних посредством чистой мысли, так как здесь дело значительно проще и реальности возвращается только то, что ранее у нее был взято в процессе абстракции.

Но мы не можем установить, с абсолютной ли точностью Евклидова геометрия отображает свойства реального пространства. Отсюда, — а вовсе не из понимания дедукции, как спорта, — возникает интерес к неевклидовым геометриям, причем последние выступают в качестве гипотез, в качестве претендентов, оспаривающих права Евклидовой геометрии на абсолютно-точное отображение реального пространства.

Математики обычно указывают, что, интерпретируя геометрически те или иные физические объекты, — напр., интерпретируя луч света, как прямую, или масштаб, как неизменяющуюся длину, — мы совершаем акты произвола. Правильно отметив самый факт существования произвола, математики избегают анализировать его значение. Между тем произвол здесь носит тот же самый характер, как и произвол в выборе гипотез. Всякая интерпретация физического объекта посредством геометрического образа с логической стороны имеет значение гипотезы. Такой произвол имеет весьма относительный характер и бывает ограничен требованием наилучшего совпадения следствий теории с фактами.

Итак, из предыдущего вытекает, что математика есть наука о наиболее всеобщих и постоянных свойствах реальных объектов, при чем в ней эти свойства выражены в наиболее абстрактной форме.

Однако Пуанкаре рассматривает геометрию Евклида как геометрию абсолютно-твердых тел, признавая ее, очевидно, только приблизительно точной по отношению к телам, которые не являются абсолютно твердыми.

Эйнштейн утверждает, что положения математики верны только постольку, поскольку они не относятся к действительности; поскольку же они относятся к действительности, постольку они не верны.

Но раз существует метод умозаключений от следствий к причинам, то мы не связаны безусловно с необходимостью непосредственной проверки приложимости математических аксиом к действительности и можем базироваться на косвенной проверке.

Поэтому замечания Пуанкаре и Эйнштейна, несмотря на весь авторитет указанных авторов, теряют какое-либо методологическое значение. Мы можем допустить, что между всякими материальными точками существуют все те соотношения, которые исследует геометрия, и сообразно такому допущению строить практические расчеты. Так как гидродинамические и аэродинамические расчеты, основанные на геометрических соотношениях, оправдываются не менее точно, нежели расчеты, относящиеся к твердым телам, то этим исключается особое отношение геометрии к твердым телам. Можно говорить лишь о том, что геометрические соотношения легче обнаружить и непосредственно проверять на примере твердых тел. Точно так же можно говорить лишь о том, что геометрические соотношения не существуют в действительности в том чистом изолированном виде, в каком их трактует геометрия, но только в комплексе со многими другими свойствами. Однако утверждение, что положения математики не верны, поскольку они относятся к действительности, остается ни на чем не основанным.

Критерием ценности всякой математической системы является возможность естественнонаучных применений. Давно известно, что математика развивается в тесной связи с естествознанием и что те задачи, которые выдвигают перед математиками физики и астрономы, направляют развитие математики по единственно плодотворному руслу и дают стимул для усовершенствования математических методов и конструкции новых.