Определение постоянных интегрирования в классическом методе

Как известно из предыдущего, любой свободный ток (напряжение) можно представить в виде суммы экспоненциальных слагаемых. Число членов суммы равно числу корней характеристического уравнения.

При двух действительных неравных корнях при трех действительных неравных корнях.

Для любой схемы с помощью уравнений Кирхгофа и законов коммутации можно найти: 1) числовое значение искомого свободного тока при t = 0₊, обозначим его i_CB(0₊); 2) числовое значение первой, а если понадобится, то и высших производных от свободного тока, взятых при t = 0₊. Числовое значение первой производной от свободного тока при t = 0₊ обозначим i’c_B(0₊); второй — i" _B(0₊) и т. д.

Рассмотрим методику определения постоянных интегрирования А_г, А₂,…, полагая известными ?_св(0₊), ^_в(0₊), i^_B(0₊) и значения корней р_г, Р₂> ••• •.

Если характеристическое уравнение цепи представляет собой уравнение первой степени, то ?_св =AeP^t. Постоянную интегрирования, А определяют по значению свободного тока ?_св(0₊):

Если дано характеристическое уравнение второй степени и его корни действительны и не равны, то.

Продифференцируем это уравнение по времени:

Запишем уравнения (8.18) и (8.19) при t = 0 (учтем, что е№ =е^ =1 при t = 0).

В результате получим:

В этой системе уравнений известными являются ?_св(0₊), i’c_B(0₊), р₁ и р₂; неизвестными —А_} и А₂.

Совместное решение (8.20) и (8.21) дает.

Если корни характеристического уравнения являются комплексносопряженными, то в (8.18) сопряжены не толькоир₂ (р_{2 2} = -8 ±jw₀), но и А_: и А₂. Поэтому свободный ток

Угловая частота w₀ и коэффициент затухания 8 известны из решения характеристического уравнения.

Определение двух неизвестных А и v производят и в этом случае по значениям 1_св(0₊)и z^_B(0₊).

Продифференцировав по времени уравнение (8.23), получим.

Запишем уравнение (8.24) при t = 0₊ :

Таким образом, для нахождения неизвестных А иг имеем два уравнения:

Для цепи, имеющей характеристическое уравнение третьей степени, свободный ток.

Найдем первую, а затем вторую производную от левой и правой частей уравнения (8.26):

Запишем (8.26)—(8.28) при t = 0₊:

Система уравнений (8.29) представляет собой систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными: А_ь А₂ и А₃. Все остальные входящие в нее величины (p_l3 р₂, р₃, i_CB(0₊), i'_CB(Q+), известны.

Сначала, пока еще не накоплено опыта в решении задач, для облегчения расчета величины и ее производной (производных) при t = 0₊ рекомендуется решать задачу относительно тока через L или напряжения на С и только затем, используя законы Кирхгофа, определять любую другую величину через найденную.

Рассмотрим несколько примеров расчета переходных процессов классическим методом в цепях первого и второго порядков с источниками постоянной и синусоидальной ЭДС при ненулевых начальных условиях.

В схеме на рис. 8.19 до замыкания ключа был установившийся режим: = R[ = R₃ = 50 Ом; С = 100 мкФ; Е = 150 В. Требуется найти: 1) полные, принужденные и свободные составляющие токов i_v i₂, i₃ и и_с при t = 0₊, а также начальное значение производной от свободного напряжения на конденсаторе; 2) токи ij, i₂, i₃ и напряжение и_с в функции времени.

Рис. 8.19.

Решение первой части задачи. До коммутации i₂(0J = 0 и.

Напряжение на конденсаторе равно напряжению на резисторе R₃: Найдем принужденные значения токов и напряжений после коммутации:

По второму закону Кирхгофа составим уравнение для контура, образованного первой и второй ветвями при t = 0₊:

Поэтому.

Из уравнения u_c(0₊) = i₃(0₊)i?₃ получим.

По первому закону Кирхгофа ii (0₊) = i₂(0₊) +i₃(0₊).

Следовательно,.

Свободные составляющие тока и напряжения при t= 0₊ определим как разности между полными и принужденными величинами:

^^Ссв du^ св i.

Так как свободный ток через конденсатор ^ = С—-—, то-= —. В рас;

dt dt С

сматриваемом примере.

Решение второй части задачи. Характеристическое уравнение для послекоммутационной схемы pR^C + R₁+R₃ = 0 имеет один корень.

Каждый ток равен сумме принужденной и свободной составляющей АеР где, А равно значению свободной составляющей при t = 0₊ (рис. 8.20):

Рис. 8.20.

Пример 81.

В схеме (рис. 8.21) до замыкания ключа был установившийся режим: Ri = R₂ = 2 Ом; ooL = 3 Ом; e (t) = 127sin (cot — 50°) В; со = 314 рад/с. Требуется определить: 1) i_CB(0₊); 2) закон изменения тока в цепи после коммутации.

Решение первой части задачи. Комплексная амплитуда тока в цепи до коммутации.

Мгновенное значение тока до коммутации i = 25,4sin (cot — 86°50') А.

Рис. 8.21.

В момент коммутации (при cot = 0)

Принужденный ток после коммутации.

Мгновенное значение принужденного тока.

По первому закону коммутации i (0J = i (0₊) = -25,35 А. Но ?(0₊) = t_np(0₊) + + i_CB(0₊). Следовательно, i_CB(0₊) = i (0₊) — i_np(0₊) = -25,35 + 33,8 = 8,45 A.

Решение второй части задачи. Характеристическое уравнение pL+R₂ = 0 имеет корень.

По данным первой части задачи ток в цепи до коммутации (кривая 1 на рис. 8.22 до cot = 0).

Рис. 8.22.

Мгновенное значение принужденного тока после коммутации (кривая 2 на рис. 8.22)

Следовательно,.

Кривая 3 на рис. 8.22 определяет характер изменения свободного тока, кривая 4 — полного тока после коммутации (ординаты кривой 4 при cot > 20 равны сумме ординат кривых 2 и 3).

Пример 82.

Конденсатор емкостью С, заряженный до напряжения п_с(0), при замыкании ключа К разряжается на L и R (рис. 8.23, а). Вывести формулы и построить графики изменения во времени и_с, i, u_L, когда корни характеристического уравнения: а) действительные; б) комплексно-сопряженные.

Рис. 8.23 R 1.

Решение. Корни уравнения р² + р— + — = 0 равны.

Они действительны при и комплексно-сопряжены при j <

1 (R 1.

< —. При — = — корни равны. Соответствующее этому случаю R назы;

LC I 2L J LC

вают критическим. При решении учтем, что i (0) = 0, i_np = 0, и_Спр = 0. а) Полагаем р_{х> 2} — действительные корни. Тогда.

Составим два уравнения для определения А₁ и А₂:

Отсюда.

Следовательно,.

Графики и_с, i, u_L для случая а) даны на рис. 8.23, б.

Для случая б) корни р_{г 2} ⁼ ~$ -Що> ^гД^е S — R/(2L); со₀ = • Напряжение и_Ссв =Ae^_5tsin (o)₀t + v).

Ток.

Здесь tg (3 = со₀/(-8), угол (3 находится во второй четверти. Из начальных условий.

Отсюда.

Постоянная.

Графики.

изображены на рис. 8.23, е; u_L(0₊) = -п_с(0).

Пример 83.

В схеме (рис. 8.24) ключ замыкается в третьей ветви. До этого был установившийся режим: e (t) =? = 120 В. Требуется найти: 1) 1₂св (0+); (di_2cB/dt)₀+, ц_Ссв(0+), (du_CcB/dt)₀₊; 2) i₂(t), если!?! = 50 Ом, R₂ = 10 Ом, L₂ = 2 Гн, R₃ = 50 Ом, С -150 мкФ.

Рис. 8.24.

Решение первой части задачи. До замыкания ключа.

Принужденный ток после коммутации i_lnp = i_2np = 2 А. Постоянный ток через конденсатор не проходит, поэтому ?_3пр = 0.

От постоянного тока на индуктивном элементе нет падения напряжения, следовательно, u_L2пр = 0.

Принужденное напряжение на конденсаторе равно падению напряжения на Я₂ от тока i_2np: и_с= 2 ? 10 = 20 В. По первому закону коммутации 1₂(0_) = i₂(0₊) = 2 А. Но i₂(0₊) = i_2пр(0₊) + i_2cB(0₊), откуда.

или.

Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, образованного первой и третьей ветвями:

Так как и_с(0₊) = 0 и ij (0₊) = 2 + i₃(0₊), то Свободная составляющая.

Чтобы определить п_1св(0₊), составим уравнение для свободных составляющих по контуру, образованному первой и второй ветвями:

откуда.

Но u_LcB =² • Следовательно,.

Свободное напряжение на конденсаторе при t = 0₊ подсчитаем по второму закону коммутации:

отсюда и_Ссв(0₊) = -20 В.

Определим скорость изменения свободной составляющей напряжения.

du_{c св}

на конденсаторе при t = 0₊. С этой целью воспользуемся тем, что ?_3св = С-.

dt

Следовательно,.

Решение второй части задачи. Характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня:

Поэтому свободная составляющая должна быть взята в виде Ae"^8tsin (to₀t + v), где 5 = 42,1; со₀ = 15,2; А и v определяем по значению свободной составляющей и ее первой производной при t = 0₊. По данным первой части задачи, i_2np = 2 А; 12св (°+) = 0; 12св (0+) = -5 А/с; u_Cnp = 20 В; и_Ссв(0₊) = -20 В; Uc_CB(0₊) = 1333 В/с.

При t = 0 Ae^_8tsin (оо₀ + v) = Asin v. Производная функция Ae^_8fsin (со₀ + v):

Значение этой производной при t = 0 равноSAsinv + (OqAcosv.

Найдем значения, А и v для свободной составляющей тока i₂. Для этого составим два уравнения:

Совместное решение их дает, А = -0,328 А и v = 0. Следовательно,.

Верхняя на рис. 8.25 выражает собой график х₂ -fit). Найдем, А и v для свободной составляющей напряжения и_с:

Puc. 8.25.

Отсюда, А = 37,9; v = 31°52.

Таким образом,.

Нижняя кривая на рис. 8.25 изображает и_с =/(t).

В схеме на рис. 8.24 e (t) = 127sin (314e + 40°) В. Параметры схемы те же, что и в примере 83. До замыкания ключа в схеме был установившийся режим. Требуется найти: 1) *2св (°+); (di_2cB/dt)₀₊, и_ссв(0₊), (du_CcB/df)₀₊; 2) i (t), u_c(t).

Решение первой части задачи. До коммутации.

Определим принужденные токи и напряжения на конденсаторе после коммутации. Входное сопротивление цепи.

Тогда.

Мгновенное значение принужденного тока после коммутации.

Комплексное сопротивление параллельно соединенных второй и третьей ветвей.

Комплексное напряжение на параллельном участке.

Отсюда.

Мгновенные значения принужденных токов i₂ и i₃ после коммутации:

Принужденное напряжение на конденсаторе.

Мгновенное значение принужденного напряжения на конденсаторе после коммутации.

По первому закону коммутации.

Свободное напряжение на конденсаторе н_Ссв(0₊) найдем по второму закону коммутации:

Для определения i_3cB(0₊) составим уравнение по контуру, образованному первой и третьей ветвями:

Заменим в нем й_св(0₊) на (-0,0487 + i_3cB(0₊)), и, учтя, что п_Ссв(0₊) = = 15,57 В, получим.

Чтобы найти u_LcB(0₊) = 1₂ ^^2св, составим уравнение для контура, обра;

^dt о₊

зованного первой и второй ветвями: откуда.

Решение второй части задачи. По данным, полученным при решении первой части,

Корни характеристического уравнения те же, что и в предыдущем примере. Определим Л и v для i_2cB, составим два уравнения:

откуда А — 0,184 A; v = -15°20'.

Следовательно,.

Найдем, А и v для и_Ссв, составим два уравнения:

Их совместное решение дает, А = 21,3; v = 136°50^/.

Таким образом,