Переход от изучаемой системы к направленному графу

Для того чтобы от какой-либо электрической цепи перейти к соответствующему ей направленному графу, применяют различные методы в зависимости от того, каким образом записывают уравнения для этих цепей; на основании законов Кирхгофа, используя метод узловых потенциалов или метод контурных токов и т. д.

Направленный граф содержит ту же информацию, что и система уравнений. Только информация эта выражена графически.

Если за основу взять уравнения, составленные на основании законов Кирхгофа, то узлами графа являются токи ветвей и напряжения на элементах схемы. В том случае, когда за основу взяты уравнения, составленные методом узловых потенциалов, узлы графа будут выражать собой потенциалы узловых точек схемы, узловые и искомые токи (напряжения).

При некотором навыке граф вычерчивают, даже не записывая самих уравнений, послуживших основой для его составления.

Упорядоченный переход от заданной электрической схемы к направленному графу, минуя этап составления уравнений, рассмотрим, положив в основу метод контурных токов (переход от рис. П1.2 к рис. П1.3, а).

Рис. П 1.2

Рис. П1.3

Направления контурных токов во всех контурах выбираем одинаковыми, например по часовой стрелке. Число узлов в графе равно числу контурных токов плюс число, не равных нулю контурных ЭДС, плюс выходная величина.

Каждому контурному току, каждой контурной ЭДС и выходной величине соответствует свой узел. Так, схеме на рис. П1.2, в которой три контурных тока — /_п, 1₂2> 1зз> одна контурная ЭДС и выходная величина — ток /₅, соответствует граф на рис. П1.3, а, в котором имеется пять узлов.

Узлы i_kk располагаем в серединах соответствующих контуров, а узлы Ё_к и узел выходной величины выносим на периферию рисунка. Соединим нарисованные узлы ветвями, указываем на них стрелки и записываем значения передач ветвей. Каждый узел i_kk соединен с узлом Ё_к ветвью с передачей Ь_кк = 1/^fcfc, где Z_kk — собственное сопротивление k-контура. Стрелка на этой ветви направлена к узлу 1_кк. Числовое значение Ё_к может быть и положительным, и отрицательным. Оно положительно, если суммарная ЭДС контура, подсчитанная согласно направлению контурного тока i_kk, положительна. Кроме того, каждый узел i_kk соединен с каким-то другим узлом i_pp (если между контурами к и р на схеме есть общая ветвь) двумя ветвями. Одна ветвь имеет стрелку, направленную к узлу i_kk, и передачу Ъ_кр = Z_kp/Z_kk, где Z_kp— сопротивление смежной ветви между к- ир-контурами. На другой ветви стрелка направлена к узлу 1_рр. Ее передача b_pk = Z_kp/Z_pp, где Z_pp — собственное сопротивление р-контура.

При согласном направлении всех контурных токов передачи всех ветвей между узлами кир положительны.

По методу узловых потенциалов граф строят так же, как и по методу контурных токов, только узлами графов являются потенциалы узлов схемы, узловые токи и выходная величина.

Если в электрической схеме узлы кир соединены ветвью с проводимостью Y_kp, а суммарная проводимость ветвей, сходящихся в узлах к и р, обозначена соответственно через Y_kk и Y_pp, то на графе между узлами кир имеется две ветви (рис. П1.3, б). На одной из них стрелка направлена к узлу ф_ь а ее передача а_кр = Y_kp/Y_kk. На другой стрелка направлена к узлу ф_р, а ее передача а_рк = Y_pk/Y_pp. Так, на рис. П1.3, б при к = 1, р = 2 а₁₂ = Y₁₂/Y_u, а₂₁ = Y₂₁/Y₂₂. Первый индекс у а указывает узел, к которому направлена стрелка, второй — узел, от которого направлена стрелка. Если узлы к и р на схеме не соединены ветвью с проводимостью Y_kp, то и на графе узлы <�р_к и ф_р не соединены ветвями. Узел ф^ соединен с узлом узлового тока 1_кк ветвью с передачей а_кк = 1 /Y_kk, направленной к узлу ф_к. Искомому току 1_кр в ветви с проводимостью Y_kp (полагаем его направленным от узла к к узлу р) на графе соответствует узел выходной величины i_kp.

В соответствии с законом Ома для участка цепи к узлу графа i_kp должны подходить две ветви, стрелки на которых направлены к узлу i_kp. Передача от узла ф*. равна Y_kp, передача от узла ф_р равна -Y_kp. Если какойлибо из этих узлов заземлен, то этот узел и передача от него будут отсутствовать.

Если граф составляют для цепи постоянного тока, то комплексное сопротивление Z следует заменить на резистор сопротивлением R, комплексную проводимость Y — на активную проводимость G, а точки над ф, Е, I, свидетельствующие о синусоидальном характере изменения этих величин во времени, не ставят.

Пример 169.

Составить граф для лестничной схемы рис. П1.2, считая входной величиной ЭДС Ё_ъ а выходной ток /₅;

Решение. Граф на рис. П1.3, а составлен по методу контурных токов для уравнений, записанных в комплексной форме:

Передача от узла /₃₃ к узлу /₅ равна единице, так как /₅ = 1 • 1₃₃.

Пример 170.

Составить граф для схемы на рис. П1.2 методом узловых потенциалов. Решение. Обозначим У₀ = 1/Z₀; У₃ = 1/Z_X Y₂ = 1 /Z₂; У₃ = 1/Z₃; У₄ = 1/Z₄; У₄₅ = = 1/(Z₄ + Z₅); У_п = У₀ + У_х + У₂; У₂₂ = *2 + + *4- Запишем систему уравнений:

На рис. П1.3, б а_и = 1/Уц; ^а12 = y₂/y_u; ^a2i = Y₂/Y₂2- Предполагается, что ни один из знаменателей выражений Ъ_рк, Ъ_кр, а_рк, а_кр для значений параметров схемы, находящихся в рабочем диапазоне, не равен нулю.

Порядок расположения узлов на чертеже может быть любым (расположение узлов входа и выхода уже рассматривалось), однако рекомендуется это делать таким образом, чтобы последовательность при движении слева направо в наибольшей степени соответствовала фактическому прохождению сигнала (информации) от входа к выходу.

В зависимости от того, какие величины выбраны в качестве узлов, для одной и той же схемы граф имеет различную структуру и различную сложность. Заметим, что если в схеме имеется несколько источников сигнала (несколько источников тока или ЭДС), то пользуются принципом наложения, т. е. сначала определяют выходную величину для графа, в котором сигнал действует от первого источника, затем выходную величину для графа, в котором сигнал действует от второго источника, и т. д. После этого суммируют выражения для выходной величины. Однако можно поступить и иначе, а именно граф с несколькими источниками сигналов одинаковой частоты свести к графу с одним источником (рис. П1.4). С этой целью один из сигналов, например сигнал Ё на рис. П1.4, а, примем за базисный. Узлы остальных сигналов (в примере узел тока J) объединяют с базисным, так изменяя передачи от этих узлов к остальным, чтобы сигналы, подходящие к ним, остались неизменными.

В рассматриваемом примере объединяем узел j с узлом Ё (рис. П 1.4, б) и изменяем передачи и b_3JHa b^ и Ь_ЗЕ исходя из условий Ъ_2ЕЁ = q_2Jj,

Ъ_ЗЕЁ = q_3Jj. Отсюда Ъ_2ЕЁ = b_2Jj; Ъ_ЗЕЁ = b_3Jj.

Входной сигнал называют истоком, выходной — стоком. Когда граф составлен, его используют для определения передачи от истока к стоку.

Рис.т.4