Структурные формулы. 
Электротехника и электроника

Представление структурных формул. Структурными формулами будем называть логические функции, полученные гем или иным способом для аналитического описания конкретных комбинационных устройств. Структурные формулы однозначно определяют структуру логической схемы комбинационного устройства. Рассмотрим способ получения структурных формул на основании таблицы истинности. При этом способе в структурных формулах выходной сигнал У" (п = О, I,…, N — 1) на любом из выходов комбинационного устройства может быть выражен через входные сигналы Хм-и Х_т,…, Хо с помощью рассмотренных выше основных логических операций в двух алгебраических формах:

=> в совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ). Структурная формула в СДНФ представляет собой логическую сумму, членами которой являются логические произведения всех входных сигналов в прямой или инверсной форме;

=> в совершенной конъюнктивной нормальной форме (СКНФ). Структурная формула в СКНФ представляет собой логическое произведение, членами которого являются логические суммы всех входных сигналов в прямой или инверсной форме.

Для наглядности проиллюстрируем способ получения структурных формул в СДНФ на примере комбинационного устройства с двумя входами (М = 2) и одним выходом (N = 1), описание которого приведено в табл. 1.

Таблица 1.

Верхний индекс «/» в обозначениях величин отражает номер набора, которому соответствует значение этой величины.

Ml

Для перехода от табличного описания комбинационного устройства к алгебраическому описанию в СДНФ каждому /-му набору входных переменных ставится в соответствие минтерм т" который представляет собой логическое произведение всех входных переменных. При этом переменная входит в минтерм в прямом виде, если ее значение для /-го набора равно 1, и — в инверсном виде, если значение входной переменной равно 0. В табл. 1 приведены выражения минтермов т, и значение каждого из них (то', т/, т₂ т/) как логической функции для /-го набора входных переменных.

Из табл. 1 следует важное свойство минтермов: минтерм m* = 1 (к = 0, 1, 2, 3) только для одного набора входных переменных, номер которого / совпадает с его индексом к (/ = к). Это свойство позволяет представить выходной сигнал Y комбинационного устройства в виде суммы минтермов, относящихся к единичным наборам. Для рассматриваемого примера выходной сигнал Y¹ = 1 для наборов / — 1 и / = 2, поэтому:

Для общего случая структурная формула в СДНФ может быть записана в виде

где Y¹ — значение функции Y на /-м наборе; / = 2^м — число возможных наборов; М— число входов комбинационного устройства.

Отметим, что в (2) входят также произведения тех наборов, для которых значения Y' = 0. Эти произведения равны нулю, не влияют на результат и включены для общности записи.

Практически при составлении структурной формулы в СДНФ по таблице истинности поступают так:

=> записывают логическую сумму, каждое слагаемое которой представляет собой логическое произведение всех входных переменных, а их число равно числу единичных наборов таблицы истинности, на которых Y— 1; над каждым слагаемым-произведением ставят номер единичного набора; => над теми независимыми переменными каждого слагаемогопроизведения, значения которых в рассматриваемом единичном наборе равны 0, ставят знак инверсии.

Проиллюстрируем рекомендуемый порядок для записи функции У, значения которой приведены в табл. 1:

Над слагаемыми проставлены номера единичных наборов, к которым они отнесены, а под независимыми переменными — их значения на рассматриваемом наборе.

Для представления структурной формулы в совершенной конъюнктивной нормальной форме (СКНФ) каждому /-му набору переменных Хм-₉ …₉Х_т …₉Х₀ ставится в соответствие макстерм М" представляющий собой логическую сумму всех переменных, причем, если в наборе Х_т = О, то переменная входит в сумму в прямом виде, а если Х_т = 1, то — в инверсном. Логическая функция выражается в виде произведения (конъюнкции) макстермов:

Справедливость представления (3) вытекает из свойства макстермов: макстерм М* = 0 только на одном наборе, номер / которого совпадает с индексом макстсрма к (к = 0, 1,…,/- 1), т. е. / = к. Для рассматриваемого примера структурная формула в СКНФ имеет вид.