Флуктуации. 
Курс общей физики. 
Книга 3: термодинамика, статистическая физика, строение вещества

Если какая-либо система совершает беспорядочные переходы из одного микросостояния о в другое, т. е. в ней протекает случайный процесс, то физическая величина /, характеризующая состояние этой системы, также будет беспорядочно изменяться с течением времени (флуктуировать). Значения, которые наиболее часто принимает случайная величина /, группируются в некоторой окрестности ее среднего значения /. Отклонения значений величины / от среднего значения / (флуктуации) принято характеризовать положительной величиной.

называется дисперсией случайной величины /.

которая называется средним квадратичным, или стандартным отклонением. Подкоренное выражение в формуле (2.65).

Из определения (2.58) среднего значения вытекают следующие два его свойства: 1) среднее значение суммы двух случайных величин f и /г равно сумме средних значений этих величин:

2) среднее значение произведения случайной величины / на постоянную С равно произведению среднего значения / на эту постоянную:

В самом деле,.

Что и требовалось доказать.

Используя эти свойства, преобразуем выражение (2.66) следующим образом:

Насколько мала или велика какая-либо физическая величина, можно сказать только, сравнив эту величину с другой величиной той же размерности. Значение стандартного отклонения А/случайной величины / естественно сравнить со средним значением / этой величины. Для этого следует вычислить отношение.

которое называется относительным отклонением. Чем меньше 6, тем слабее флуктуации случайной величины. Если относительное отклонение очень мало, то случайную величину можно считать почти определенной и равной ее среднему значению.

Флуктуации энергии макросистемы

Рассмотрим систему, состоящую из N одинаковых частиц. Когда можно пренебречь энергией взаимодействия частиц, энергия Е этой системы будет равна сумме энергий каждой из частиц в отдельности:

где ?,• - энергия i-й частицы. В силу свойства (2.67) среднего значения случайной величины среднее значение энергии системы невзаимодействующих частиц равно сумме средних значений энергий отдельных частиц:

Так как все частицы одинаковы, их средние энергии равны: ё{ = ё, где ё — среднее значение энергии одной частицы. Поэтому.

Вычислим среднее значение квадрата энергии системы.

Так как частицы не взаимодействуют друг с другом, энергии ?, и ?_; при? ф j можно считать статистически независимыми случайными величинами. При этом среднее значение их произведения в силу теоремы (2.49) будет равно произведению их средних значений, т. е.

Используя это равенство и свойство (2.68) среднего значения, с учетом того, что первая сумма в выражении (2.73) содержит N слагаемых, а вторая — N (N — 1), получим:

Согласно формуле (2.69) дисперсия случайной величины Е равна.

Подстановка выражений (2.72) и (2.74) дает.

Используя формулы (2.65) и (2.66), найдем среднее квадратичное отклонение для энергии системы тождественных частиц:

— среднее квадратичное отклонение для энергии е одной частицы. При этом относительное отклонение где.

Так как для макроскопических систем число N принимает очень большие значения, относительное отклонение для энергии многочастичной системы всегда очень мало. Это утверждение справедливо также в том случае, когда энергией взаимодействия частиц пренебрегать нельзя. Поэтому энергию Е макроскопической системы можно считать не случайной, а вполне определенной величиной, которая с высокой точностью равна своему среднему значению Е. Это значение отождествляют с внутренней энергией макросистемы: