Средние скорости распределения Максвелла

Используя полученное выражение (3.37) для нормировочной постоянной, запишем распределение Максвелла (3.30) следующим образом:

Эту функцию можно представить в виде произведения трех функций:

где есть так называемая функция Гаусса (Карл Гаусс (1777 — 1855) — немецкий математик). График этой функции приведен на рис. 3.8.

Рис. 3.8. Функция Гаусса.

Функция Гаусса является четной и положительной. Она принимает максимальное значение при v_x = 0 и стремится к нулю, когда | v_x | —* ос*. Из равенства (3.36) следует, что.

т.е. площадь под кривой на рис. 3.8 равна единице.

Вычислим среднюю скорость и направленного движения молекул равновесного газа по формуле (3.14), которая для функции распределения Максвелла — Больцмана принимает вид.

Используя функцию (3.39), будем иметь для среднего значения проекции вектора скорости на ось х следующее выражение:

Как и следовало ожидать для изотропного распределения молекул по скоростям, это выражение равняется нулю потому, что равен нулю интеграл от нечетной функции v_x g (v_x). Таким образом, средняя скорость направленного движения молекул, скорости которых распределены по закону Максвелла, равна нулю: й = 0.

Подстановка в этот интеграл выражений (3.10) и (3.39) дает Согласно формуле (3.33) среднее значение квадрата проекции вектора скорости на ось х

Вычисления приводят к формуле.

В силу свойства (2.67) среднее значение квадрата модуля скорости будет

Равновесная функция распределения (3.27) зависит от модуля вектора скорости и не зависит от его направления, т. е. описывает изотропное распределение молекул по скоростям, все направления которых равноценны. Поэтому среднее значение квадрата проекции вектора скорости на любую ось не зависит от направления этой оси в пространстве:

Функция Максвелла

В силу того, что функция распределения Максвелла (3.30) зависит только от модуля вектора скорости и не зависит от его направления, на поверхности сферы

радиуса v в пространстве скоростей эта функция всюду принимает одно и то же значение (рис. 3.9). Построим еще одну сферу радиуса v + dv. Векторы скоростей молекул, концы которых попадают внутрь сферического слоя между этими сферами, таковы, что их модули принадлежат интервалу (v, v -f dv).

Рис. 8.9. Сферический слой в пространстве скоростей.

При этом.

а с учетом формулы (3.42) будем иметь.

Используя определение (3.16), найдем среднюю квадратичную скорость молекулы:

Число dN' молекул в объеме dV, модули скоростей которых принадлежат интервалу (v, v + dv) можно найти по формуле (3.8). Для этого подставим в эту формулу функцию (3.28) и объем.

сферического слоя. Получим:

Величина.

есть число молекул в объеме dV. По определению отношение.

есть вероятность того, что одна из молекул имеет скорость, модуль которой лежит в интервале от v до v + dv.

Введем функцию F = F (v), зависящую от модуля вектора скорости, при помощи соотношения.

Используя выражение (3.38), будем иметь.

Зависимость (3.46) называют функцией Максвелла. График этой функции приведен на рис. 3.10. При v = 0 функция (3.46) равна нулю: F (0) = 0. При значении t;_rt модуля скорости, которое называется наиболее вероятной скоростью молекулы, функция Максвелла имеет максимум. В интервале (0, г_в) она монотонно возрастает, а в интервале (г_в, оо) монотонно убывает, стремясь к нулю при v — ос.

Рис. S.10. Функция Максвелла.

Так как выражение F (v) dv есть вероятность, интеграл от этого выражения должен быть равен единице:

Поэтому площадь под кривой на рис. 3.10 также равна единице.

Физический смысл функции Максвелла можно пояснить следующим образом. Согласно определению вероятности выражение F (v) dv есть доля молекул, модули скоростей которых лежат в интервале (v, v + dv).

При этом относительное количество молекул, скорости которых лежат в интервале от ri до t/2, будет выражаться интегралом.

где N — полное число рассматриваемых молекул, N{v? [t>j, V2]} - число молекул, модули скоростей которых лежат в интервале [vi, t/г]. Этот интеграл равен площади криволинейной трапеции под кривой F = F (v), основанием которой служит отрезок [vi, v^] на оси v. При помощи этого выражения можно следующим образом интерпретировать график зависимости F = F (v). Из рис. 3.10 видно, что относительное количество.

молекул со скоростями v € (i>₀, v₀ + At;) мало при малых и больших скоростях (т.е. для v₀ ~ 0 или v₀ —? 00 при At; = const), а наибольшее число молекул имеет скорость в окрестности значения v_Q (т.е. когда v₀ + Av ^ v_e).

Найдем наиболее вероятную скорость v_e. Согласно необходимому условию экстремума функции при этом значении производная функции F = F (v) обращается в ноль. Приравняем нулю производную от выражения (3.46) по I". Придем к уравнению.

из которого найдем, что искомое значение наиболее вероятной скорости молекул.

Подставив это значение в формулу (3.46), получим максимальное значение функции Максвелла.

Функция Максвелла (3.46) содержит в себе в качестве параметра величину о, которая согласно формуле (3.31) зависит от температуры газа.

Поэтому сама функция Максвелла и описываемое ею распределение молекул по скоростям изменяются при изменении температуры газа. Наиболее вероятная скорость молекул (3.48) увеличивается при возрастании температуры. Тогда как максимальное значение (3.49) функции Максвелла с ростом температуры уменьшается. При этом график функции Максвелла при возрастании температуры видоизменяется так, что максимум кривой смещается вправо (в сторону больших скоростей) и становится ниже, но площадь под кривой при этом остается равной единице.

Рис. 8.11. Функция Максвелла.

На рис. 3.11 для сравнения приведены два графика функции Максвелла, соответствующие различным температурам Т и > Т. Рассмотрим, как изменяется с температурой распределение молекул по скоростям. С этой целью выберем некоторое произвольное значение скорости Относительные количества молекул N (v < v₀)/N и N (v > v₀)/N со скоростями соответственно меньшими и большими, чем v_a, выражаются интегралами от функции Максвелла:

Нетрудно видеть, что с ростом температуры количество N (v < v₀) молекул со скоростями v < v_a монотонно уменьшается, а количество N (v > v₀) молекул со скоростями v > v_a увеличивается. Короче говоря, при возрастании температуры молекулы начинают быстрее двигаться. К такому же выводу можно прийти, анализируя формулы (3.44) и (3.48) для средних скоростей молекул.