Основная модель расчета оптимальной партии заказа ЕОQ

При формировании основной модели расчета ЕО () в качестве критерия оптимизации принимается минимум общих затрат С_ъ (рис. 9.6), включающих затраты на выполнение заказов С₃ и затраты на хранение запаса на складе С_х в течение определенного периода времени (год, квартал и т. п.):

На рис. 9.6 представлены составляющие затрат С₃ и С_х и суммарные затраты С_ъ в зависимости от размера заказа. Затраты на выполнение заказов с увеличением размера заказа уменьшаются, как правило, по гиперболической зависимости (кривая С₃); затраты па хранение партии поставки возрастают прямо пропорционально размеру заказа (линия С_х); кривая общих затрат (С_х), имеет вогнутый характер, что говорит о наличии минимума, соответствующего оптимальной партии 5₀.

Для вывода формулы ЕО (2 рассмотрим зависимости для затрат С₃ и С_х. Затраты, связанные с выполнением заказа, определяются по формуле

где А — потребность в заказываемом продукте в течение рассматриваемого периода (год, квартал), ед.; С₀ — затраты на выполнение одного заказа, руб.; 5 — искомая величина заказа, сд.

Рис. 9.6. Основные параметры и показатели модели ЕО ():

а — зависимость затрат от размера заказа; б — зависимость текущего запаса от времени Затраты на хранение партии продукции рассчитываются по формуле.

где С_п — цена единицы продукции, хранимой на складе, руб.; / — коэффициент, отражающий затраты на хранение запаса в виде доли от цены С_п.

Поскольку в формуле (9.4) учитывается средняя величина запаса, хранящегося на складе за период Т, то вводится коэффициент 0,5.

При подстановке выражений (9.3) и (9.4) в формулу (9.2) получим

Следует подчеркнуть, что при формировании зависимости (9.5) были сделаны следующие допущения:

• • затраты на выполнение заказа С₀, цена поставляемой продукции С_п и затраты на хранение единицы продукции в течение рассматриваемого периода постоянны;
• • период между заказами (поставками) постоянный, т. е. Т = const;
• • заказ 5₀ выполняется полностью, мгновенно;
• • интенсивность спроса X = S_Q/T постоянна;
• • емкость склада не ограничена;
• • рассматриваются только текущие (регулярные) запасы, другие виды запасов (страховые, подготовительные, сезонные, транзитные и т. д.) не учитываются.

Для определения минимального значения функции Су воспользуемся известной процедурой: возьмем первую производную и приравняем ее нулю:

Из уравнения (9.6) находим оптимальную величину заказа EOQ (формула Уилсона):

Определим остальные параметры, характеризующие модель EOQ:

• количество поставок за рассматриваемый период.

• продолжительность одного цикла.

где Д — рассматриваемый период, дн.

Если речь идет о количестве рабочих дней в году, то Д = Д_р= 260 дн., если о количестве недель, то Д_р= 52 нед.; в общем случае Д = 365 дн.

Определим величину минимальных общих затрат. При подстановке 5₀, рассчитанной по формуле (9.7), в уравнение (9.5) находим

Пример 9.1.

Рассчитаем параметры модели ЕО () при следующих исходных данных: потребность в заказываемом продукте (в год) Л = 2000 ед.; цена единицы продукта С_п = = 400 руб.; коэффициент, отражающий затраты по хранению/= 0,2; затраты на выполнение одного заказа С₀= 800 руб.; расчетный период Д_р= 260 дн.

По формуле (9.7) находим оптимальный размер заказа:

минимальные суммарные затраты на выполнение заказов и хранение продукции в течение года, (см. формулу (9.10)):

Определим также количество заказов (см. формулу (9.8)): и периодичность их выполнения (см. формулу (9.9)):

Таким образом, возвращаясь к простейшим стратегиям, рассмотренным выше, можно констатировать следующее.

• 1. При выборе периодической стратегии интервал времени между двумя смежными поставками ?_п равен Т и определяется по формуле (9.9).
• 2. Величина партии поставки д_п рассчитывается по формуле Уилсона (оптимальный размер заказа).

Особенности расчета 5₀ и других параметров модели ?0(2 состоят в том, что в многочисленных литературных источниках встречаются различные трактовки затрат С₀ и С_х.

Анализ ряда работ показал, что трактовка затрат С₀, связанных с заказом, носит дискуссионный характер^[1]. Так, большинство авторов включают в С₀ транспортно-заготовительные затраты: от расходов на заключение договора и поиска поставщиков до оплаты услуг по доставке. В частности, затраты на поставку заказываемого продукта содержат следующие элементы: стоимость транспортировки заказа; затраты на разработку условий поставки; стоимость контроля выполнения заказа; затраты на выпуск каталогов; стоимость документов.

Иногда транспортные затраты не учитывают в С₀, а представляют в виде дополнительных слагаемых: собственно затрат на транспортировку и затрат, связанных с запасами в пути. Еще один вариант учета транспортных затрат состоит в том, что они учитываются в стоимости единицы продукции С_п, поступившей на склад. Если покупатель сам оплачивает транспортные расходы и несет полную ответственность за груз в пути, то это приводит к тому, что при оценке стоимости товаров, хранящихся на складе в качестве запасов, к их закупочной цене следует прибавить транспортные расходы.

Даже при соблюдении всех ограничений, допущения, принятые при выводе формулы Уилсона, требуют уточнения способов определения затрат, в первую очередь затрат на хранение. Так, практика аренды складских помещений, а также расчеты затрат на хранение на складах ряда фирм говорят о том, что, как правило, учитывается не средний размер партии, а площадь (или объем) склада, которая требуется для всей поступившей партии:

где, а — затраты на хранение продукции в единицу времени с учетом занимаемой площади (объема) склада, руб/м² • ед. времени (руб/м³ • ед. времени); А — коэффициент, учитывающий пространственные габариты единицы продукции, м²/шт (м³/шт); 0 — коэффициент, учитывающий неодновременность поступления различных видов продукции на склад, О<0<1 (примем 0=1).

При подстановке выражения (9.11) в формулу (9.5) получим (при 0 = 1).

Определим оптимальный размер заказа с использованием стандартной процедуры. После необходимых преобразований находим.

Величина минимальных затрат рассчитывается по формуле

Пример 9.2.

Для иллюстрации расчетов по формулам (9.13), (9.14) рассмотрим последовательность расчета, воспользовавшись исходными данными примера 9.1. Кроме того, допустим, что каждая единица продукции упакована в ящик следующих размеров: а х Ь х с (а = 0,3 м — ширина; Ь = 0,4 м — длина; с = 0,3 м — высота); при хранении допускается штабелирование ящиков в /? ярусов (А = 6). В табл. 9.4 приведены ставки аренды складских помещений (цифры условные).

Рассчитаем затраты на хранение единицы продукции при условии, что выбран склад класса В (теплое помещение, первый этаж), т. е. ставка 9,0 у.е.л. ед. /м² • мес.

Найдем величины, а и к при условии 1 у.е.л. ед. = 26 руб.:

Следовательно, ок = 2810 • 0,02 = 56,2 руб/ед. • год.

Оптимальный размер заказа равен.

минимальные суммарные затраты.

Соответственно, количество заказов N = 12, периодичность заказов Т- 22 дн.

Таблица 9.4

Ставки аренды складских помещений, уел. ед./м^[2] в мес.

* В числителе — оплата теплых помещений; ** в знаменателе — холодных. Все ставки с НДС.

Таблица 9.5

Характеристика параметров и показателей теоретической и реальной моделей оптимальной партии заказа¹

Из анализа табл. 9.6 следует, что корректировка формулы Уилсона определяется следующими причинами:

• • необходимостью учета инфляции, что является актуальным при одной-трех поставках в год, когда периодичность выполнения заказа Т сопоставима с длительностью периода Д_р;
• • учетом особенностей хранения и связанных с этим затрат;
• • учетом специфики транспортировки различными видами транспорта и марками подвижного состава;
• • введением в расчетную зависимость ограничений (либо их явное игнорирование).
• 1 Лукииский В. В. Актуальные проблемы формирования теории управления запасами.

Варианты модифицированных моделей для определения оптимального размера заказа

Таблица 9.6

№. п/п.	Наименование модели.	Графическое изображение.	Примечание.
	Производственного заказа EPQ (Economic Production Quantity)		Поступление 1 и одновременное потребление и потребление 3; последующее потребление 2.
	Экономичного размера партии EBQ (Economic Based Quantity)		Поступление 1 (без потребления), последующее потребление 2.
	Текущего запаса с отложенным дефицитом (I).		После мгновенного поступления 1 сначала выполняется (мгновенно) отложенный спрос Г)0, затем этап потребления 2 и дефицита А

№. п/п.	Наименование модели.	Графическое изображение.	Примечание.
	Текущего запаса с потерей требований при дефиците (И).		После мгновенного поступления 1 этап потребления 2 и период дефицита 4, когда требования не выполняются и не накапливаются.

Несмотря на внешнее сходство, некоторые формулы, приведенные в табл. 9.6, отличаются от классической модели ЕО (^.

Формула расчета ?0(2 не учитывает двух существенных факторов:

• 1) постепенной разгрузки прибывающей партии, которая занимает определенное время Ь_{, в ряде случаев соизмеримое с продолжительностью цикла Г;
• 2) возможность возникновения дефицита, когда поступающие требования накапливаются и затем удовлетворяются при поступлении партии (отложенный спрос) либо оставляются без внимания и не учитываются (неудовлетворенный спрос).

В отечественных и зарубежных исследованиях приводятся модели, учитывающие «немгновенность» разгрузки и возникновение дефицита^[3]. Эти модели получили название «модифицированные» модели оптимального размера заказа.

В табл. 9.6 приведены четыре варианта модифицированной модели ?0(2: 1) производственного заказа ЕР () (поступление и одновременное потребление за время ?_1? последующее потребление до конца цикла 7); 2) экономичного размера партии ЕВ (2 (поступление без потребления за время затем потребление до конца цикла 7); 3) текущего запаса с дефицитом (отложенный спрос); 4) текущего запаса с потерей требований при дефиците.

Рассмотрим более подробно модель 1 — производственного заказа ?0(2. Особенность данной модели заключается в том, что разгрузка и пополнение запаса происходят не мгновенно, как в модели ?0(2, а постепенно с интенсивностью (темпом) (1 = 50/^, где 5₀ — оптимальный размер заказа, — период разгрузки и размещения продукции на складе.

Формулы для расчета модели ЕР () приведены в табл. 9.7. Показатели модели ЕР{2 могут быть получены на основании базовой модели — формулы Уилсона путем использования поправочного коэффициента.

или при учете затрат С*, связанных с хранением продукции после изготовления на производственных участках или прибывающей на склад в контейнерах, кузовах автомобилей или железнодорожных вагонах во время разгрузки транспортных средств, с помощью коэффициента.

Таблица 9.7.

Традиционные и откорректированные зависимости для показателей ЕР{2.

Параметр модели.	Традиционный вариант.		Откорректированный вариант.
	р > X	р = Х	р > X	р = Х
Оптимальная партия поставки, (Уот, ед.
Максимальная партия, поступившая на склад, йтах' еД;
Количество поставок /V* в плановый период 0
Периодичность поставки Г дни.
Минимальные суммы С?, деи. ед.

Примечание. Оо — оптимальный размер заказа (формула Уилсона).

Из анализа табл. 9.7 можно сделать следующие выводы.

• 1.

  Введение

  затрат на хранение С_х (при постепенной разгрузке транспортных средств) позволяет восстановить экономический смысл модели ЕР&

• 2. Откорректированная модель является универсальной, так как включает частные случаи: традиционную модель ЕР () (при С_х = С_х) и модель Уилсона ?0(2 (при С* = С_х и Х/х —> 0, т. е. мгновенное пополнение запаса).

Точность расчета размера заказа, но формуле ?0(2 зависит от многих факторов, например от того, сколько учтено составляющих в формуле (9.1) и какова их взаимосвязь, какой вариант модели выбран и т. п., но в первую очередь определяется точностью расчета входящих в нее параметров: А, С₀, С_х. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Во-первых, предполагается, что потребность в заказываемом продукте А в течение планового периода является величиной постоянной, не подверженной значительным колебаниям. Если в течение данного периода (например, года) прогнозируется значительное отклонение текущего значения А (Ь) от среднемесячной величины Л_ср, связанное с сезонными колебаниями или другими причинами, то рекомендуется перейти к расчету оптимальной величины партии заказа на каждый квартал.

Во-вторых, известно, что точное определение остальных параметров затруднено. Это относится к затратам на хранение единицы продукции запаса С_х, а также к затратам на выполнение одного заказа, в частности затратам, связанным с оформлением заказа. Поскольку эти сведения трудно выделить из бухгалтерского учета, то основным источником информации являются экспертные оценки.

Пример 9.3.

Для иллюстрации влияния изменения параметра С_х на точность величины 5₀ рассмотрим следующий пример. По данным, представленным в работе Дж. Р. Стока и Д. М. Ламберта, коэффициент / изменяется в пределах 0,1—ОД^[4], однако в работе К. Лайсонса и М. Джеллиигема приведен пример расчета при / = 0,05. Примем, что остальные параметры модели ?0(2 такие же, как в примере 9.1, т. е. А = 2000 ед., С₀= 800 руб.; С_п= 400 руб. Результаты расчетов при / = 0,05, 0,275 и 0,5 приведены в табл. 9.8.

Таблица 9.8

Влияние коэффициента/на расчет показателей модели ?0(Э.

Коэффициент /.	ед.	С?т, п. руб.	Отношения.
Минимальный 0,05.		11 310.	1,65.	0,60.
Средний 0,275.		18 762.	1,0.	1,0.
Максимальный 0,5.		25 300.	0,74.	1,35.

Примечание. S_{i, С’хинп — среднее значение соответственно.

Из табл. 9.8 следует, что при изменении коэффициента /в 10 раз соответствующее отношение оптимальных партий заказа уменьшилось более чем в два раза, а отношение минимальных общих затрат возросло на такую же величину. Таким образом, полученные результаты позволяют сделать вывод: значительные колебания отдельных параметров модели ?0(2 не приводят к существенным изменениям оптимального размера заказа и минимальных затрат С_1тиг

При покупке партий товара большинство фирм дает скидки, величина которых зависит от размера партии S. Среди различного вида скидок в управлении запасами наиболее часто используются так называемые оптовые скидки.

Применение оптовых скидок означает, что цена единицы продукции С_п/ зависит от объема закупаемой партии Sj, при этом соблюдается правило: чем больше Sj, тем меньше цена С_п;-. Уменьшение цены представляется, как правило, в виде дискретной зависимости. На рис. 9.7 приведен вариант уменьшения цены при двух скидках: при величине заказа Sj < 100 ед. цена единицы товара С_п0 = 400 руб.; при величине заказа S от 100 до 500 ед. цена единицы товара С_п1 = 350 руб.; наконец, при S > 500 ед. цена С_и2 = = 300 руб. Следовательно, при заказе 300 ед. продукции затраты на приобретение составят С_к= 300 • 350 = 105 тыс. руб., а при заказе 600 ед. затраты С_к= 180 тыс. руб.

Для учета оптовых скидок наиболее часто используется дискретная зависимость С_п;— от 5_;.

• [1] Лукииский В. В. Актуальные проблемы формирования теории управления запасами;Модели и методы теории логистики.
• [2] Формула Уилсона получена при большом количестве допущений, краткая оценка которых приведена в табл. 9.5. Из сопоставления теоретической и реальной моделей следует, что параметры, характеризующие логистические процессы в цепях поставок, значительно отличаются от тех, которые соответствуют идеальным условияммодели ЕО (Э (см. табл. 9.5). Попытки преодолеть рамки теоретическоймодели и приблизить расчеты к реальности привели к появлению различных модифицированных вариантов формулы Уилсона, часть из которыхприведена в табл. 9.6.
• [3] Корпоративная логистика в вопросах и ответах; Лайсонс К., Джиллингем М. Управлениезакупочной деятельностью и цепью поставок: пер. с англ. М.: ИНФРА-М, 2005; ЛукипскийВ. В. Актуальные проблемы формирования теории управления запасами; Модели и методытеории логистики; Стерлигова А. II. Управление запасами в цепях поставок.
• [4] Сток Дж. Р., Ламберт Д. М. Стратегическое управление логистикой: пер. с 4-го англ, изд. под науч. ред. проф. В. И. Сергеева. М.: ИНФРА-М, 2005.