Моменты распределения. 
Теория статистики с элементами эконометрики в 2 ч. Часть 1

В статистике числовыми характеристиками различных статистических совокупностей являются моменты распределения, которые несложно рассчитываются из эмпирических данных и позволяют в общих чертах судить о многих социально-экономических процессах и явлениях.

Моментом распределения называется средняя арифметическая тех или иных степеней отклонений индивидуальных значений признака от определенной исходной величины. Различают моменты разных порядков. Порядок момента определяется величиной k. При анализе вариационных рядов ограничиваются расчетом моментов первых четырех порядков. При исчислении моментов в качестве весов могут быть использованы частоты, частости или вероятности. При использовании в качестве весов частот или частостей распределения моменты называются эмпирическими, а при применении вероятностей — теоретическими.

Эмпирическим моментом k-го порядка называют среднюю из k степеней отклонений вариантов значений признака от некоторой постоянной величины А:

или.

где M_k — эмпирический момент k-ro порядка; x_i — значение признака; А — величина, от которой определяются отклонения; k — степень отклонения (порядок момента); /, — число единиц совокупности в отдельной группе.

В зависимости от выбора постоянной величины А различают начальные, условные и центральные моменты.

1. Начальными моменты (M_k) являются, если постоянная величина А равна нулю:

2. Условными моменты (m_k) являются, если величина А — произвольная, не равна х и отличная от нуля (с помощью условных моментов упрощается расчет основных характеристик ряда распределения):

3. Центральными моменты (р^) являются, если постоянная величина А равна средней арифметической х:

Так как при анализе вариационных рядов определяют моменты со степенью отклонения (порядком момента) k = 1, 2, 3, 4, представим начальные, условные и центральные моменты распределения для первых четырех порядков по несгруппированным данным в табл. 6.13, а сгруппированным — в табл. 6.14.

Таблица 6.13

Моменты распределения первых четырех порядков по несгруппированным данным.

Порядок.	Моменты распределения.
	начальные.	условные.	центральные.
Л.
Первый.

Порядок.	Моменты распределения.
	начальные.	условные.	центральные.
А.
Второй.
Третий.
Четвертый.

Если среднее значение признака равно нулю, то центральные моменты совпадают с начальными. Начальный момент первого порядка представляет собой среднюю арифметическую величину, а центральный момент первого порядка всегда равен нз’лю. Центральный момент второго порядка представляет собой дисперсию.

Таблица 6.14

Моменты распределения первых четырех порядков по сгруппированным данным.

Порядок.	Моменты распределения.
	начальные.	условные.	центральные.
А.
Первый.
Второй.
Третий.

Порядок.	Моменты распределения.
	начальные.	условные.	центральные.
А.
Четвертый.

На основе центрального момента третьего порядка рассчитывают показатель, характеризующий степень «скошенности» распределения — коэффициент асимметрии. С помощью центрального момента четвертого порядка определяют показатель эксцесса распределения. Следует иметь в виду, что характеризовать социально-экономические процессы и явления с помощью моментов удается не всегда, поскольку не для всякого распределения эти моменты существуют.