Телеграфные уравнения. 
Основы радиоэлектроники

Получим соотношения между напряжением U и током I в линии передачи с ТЕМ-волной, которые позволят анализировать распространение электромагнитной волны в линии, не решая уравнения Максвелла. С этой целью рассмотрим небольшой отрезок коаксиальной линии длиной Дх (рис. 2.8).

Рис. 2.8. Отрезок коаксиальной линии.

Пунктир — линия интегрирования Полагаем, что напряжение в сечении плоскости, А равно U_v а в сечении плоскости Б — U_r Линию считаем не имеющей потерь, обладающей погонной индуктивностью L, и погонной емкостью С_] (L_t, С, — это соответственно индуктивность и емкость линии длиной 1 м).

Воспользуемся интегральной записью второго уравнения Максвелла.

где магнитный поток представим в виде.

Здесь L — индуктивность отрезка линии, определяемая погонной индуктивностью Ь_] и длиной Ах:

Контур интегрирования 1−2-3−4 изображен на рис. 2.8. Итак, с учетом (2.19).

Поскольку скалярное произведение векторов Edl = Edl х xcosa, где a — угол между векторами Ё и с1/, то.

Учитывая связь напряженности электрического поля Е с потенциалом ср = -| Edx, запишем.

Принимая во внимание (2.20), получаем или, обозначив U₂-U_x = AU,

В пределе при Ах—>• 0 окончательно запишем

Переход от j к I

Воспользуемся определением силы тока.

где заряд Q = CU, С — емкость линии, определяемая погонной емкостью С, и длиной Ах, т. е. С = СДт.

Связь силы тока I с плотностью тока ] определяется следующим соотношением:

Выберем в качестве поверхности интегрирования цилиндрическую поверхность, охватывающую внутренний проводник коаксиальной линии (рис. 2.9).

Рис. 2.9. Пояснение перехода от j к /.

Тогда Jy dS = J j d5 + Jy dS = /₂ = А/ (интеграл по боко;

5 -5, S,

вой поверхности равен нулю) и.

Окончательно при переходе к пределу при Ах —" 0 имеем.

Уравнения (2.21) и (2.22) называют телеграфными. Их решение дает возможность найти ток / и напряжение U как функции времени и координаты х.

Решение телеграфных уравнений

Продифференцировав уравнение (2.21) по координате х, а уравнение (2.22) по времени t и исключив ток /, получим волновое уравнение для напряжения U:

Будем полагать для простоты, что к линии подводятся колебания одной частоты со. Тогда решение уравнения (2.23) может быть записано в виде монохроматических волн.

где первое слагаемое в правой части уравнения описывает падающую волну, бегущую по линии в положительном направлении оси х, а второе слагаемое — отраженную волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси х.

В решении (2.24) С/_пад, U — амплитуды падающей и отраженной волн (начальные фазы при t = 0 и х = 0 считаем равными нулю); р — постоянная распространения.

v — скорость волны в линии.

Волновое уравнение может быть записано и для тока его решение имеет вид.

Как было отмечено в параграфе 1.7, монохроматические волны удобно представлять в виде комплексных амплитуд Связь между С/_пад и 7_пад можно получить, подставив в первое телеграфное уравнение (2.21) мгновенные значения напряжения и тока в линии передачи.

В результате будем иметь.

й.

где р = — — волновое сопротивление линии,.

v Q

Аналогично можно найти связь U с 1‘.

отр отр