Статистический метод идентификации объектов с конечной «памятью» с применением аналитических случайных процессов. 
Оценка параметров состояния на основе интегральных операторов

Среди объектов идентификации большой спецификой и своеобразием отличаются химико-технологические процессы. Для объектов химической технологии характерны большие степепи нелинейности, существенная распределенность параметров в пространстве и времени, нестационарность и взаимная коррелированность входных шумов и помех измерения, непрерывный дрейф технологических показателей процессов, деформация физикохимической структуры протекающих в объектах процессов и т. д. Перечисленные факторы лежат в основе тех значительных трудностей, которые возникают при решении задач оценки переменных состояния и идентификации объектов химической технологии на основе стандартных методик, рекомендуемых современной теорией динамических систем и рассмотренных выше.

Так, например, опыт практической реализации задач оценки переменных состояния и идентификации химико-технологических процессов с применением фильтров Калмана (9, 10, 12] позволил обнаружить ряд существенных ограничений данного подхода к решению этих задач в области химической технологии. К источникам таких ограничений можно, например, отнести форму представления математического описания системы в виде дифференциальных операторов и их конечно-разностных аппроксимаций при численных операциях. Реализация математических моделей в такой форме на ЦВМ с применением методов формальной алгебры в условиях большого уровня помех и грубых начальных оценок параметров состояния часто связана с плохой обусловленностью матриц, а отсюда и с неустойчивостью, плохой сходимостью вычислительных процедур.

Вопросы исследования устойчивости и сходимости процесса счета задач идентификации и оценки переменных состояния настолько обширны и трудоемки, что фактически выделились сейчас в отдельную самостоятельную проблему, включающую разработку специальных методов и приемов преодоления указанных трудностей. К последним можно отнести методы квазилинеаризации, стохастической аппроксимации, инвариантного погружения, градиентный метод и его многочисленные модификации и многие другие. Однако использование этих формальных математических приемов отнюдь не снимает весьма жестких требований к точности задания начальных условий по переменным состояния, начальных оценок искомых констант моделей, к уровню шумов объекта и помех наблюдения. Дополнительные осложнения возникают в случае нестационарности, коррелированности и негауссовости шумов, что характерно именно для объектов химцческой технологии. Поэтому представляется целесообразным при решении задач идентификации и оценки переменных состояния химико-технологических процессов шире использовать те возможности, которые заложены в формальном аппарате статистической динамики и теории случайных функций, основанном на применении интегральных операторов и весовых функций исследуемых систем. Интегральная форма связи между входным и выходным сигналами через весовую функцию системы часто предпочтительна как с точки зрения устойчивости к помехам, так и с точки зрения эффективности вычислительных процедур. Важно подчеркнуть, что весовая функция объекта химической технологии во многих случаях представляет функцию распределения времени пребывания частиц субстанции в аппарате и поэтому является его естественной физической характеристикой. В этой связи предлагаемый ниже подход, по существу, является продолжением изложения метода выбора оптимальной структуры интегральных операторов технологических процессов с позиций теории массового обслуживания, о котором речь шла выше (см. § 4.1).

Наконец, использование интегральных операторов с конечной памятью теоретически позволяет решить задачу оценки и идентификации в пространстве Ь_г на сколь угодно коротком интервале наблюдения системы. Для линейных систем с конечной памятью проблема оценки переменных состояния и идентификации сводится к минимизации квадратичного функционала вида 114].

или, что равносильно, к решению уравнения Фредгольма первого рода:

где.

Здесь скалярное произведение определяется в пространстве Z/₂10, t_a] объект с весовой функцией К (t) имеет конечную память t_a ^и (0 «входной сигнал; у (*) — наблюдаемый сигнал на выходе системы; (О, /_н) — интервал наблюдения системы; t — время.

Заметим, что требование линейности системы в незначительной мере ограничивает общность предлагаемой методики, которая применима для широкого класса нелинейных объектов, если воспользоваться методом нелинейных преобразований случайных функций. Специфика нелинейных объектов химической технологии такова, что практически почти всегда есть возможность свести нелинейные дифференциальные операторы к линейным или квазилинейным интегральным операторам. Это достигается либо путем разложения решения нелинейного дифференциального уравнения по параметру [8], либо с помощью простой замены переменных [15].

По существу, задача оцейкй переменных Состояний систему п ее идентификации сводится к проблеме построения оптимальных фильтров с конечной памятью. Решение этой проблемы существенно облегчается, если воспользоваться методикой разделения сигнала 5 (t) на две составляющие — низкочастотную с ограниченным спектром 5,(0 и регулярную 5_Г(0 (центрированная высокочастотная составляющая) [151: 5 (0 = МО + МО*.

Формально свойства регулярной составляющей можно записать в виде.

где Ml 1 — оператор математического ожидания.

Условие (8.66) означает, что процесс МО — центрированный случайный процесс, т. е. 5_Г(0=М0*" условие (8.67) означает, что процессы 5,(0 и МО ^не коррелированы.

Для эргодического стационарного случайного процесса в качестве математического ожидания обычно принимают 18) среднее по времени значение реализаций при достаточно большом интервале ее записи (0, /_и):

В случае нестационарных случайных процессов осреднение ординат реализаций производится на некотором конечном интервале протяженностью t₀ около данного момента времени /, т. е. определяется так называемая скользящая средняя:

Например, процесс 5 (0* наблюдаемый на интервале — оо <* < оо, можно разделить па две составляющие: 5,(0 и МО путем операции трехкратного сглаживания реализаций процесса [151:

где J₀=2rc/u)₀; A_t — оператор сглаживания.

В практических расчетах исходными данными служат обычно реализации случайных последовательностей, наблюдаемые на конечном интервале времени (—t_n, t_a), что приводит к ошибкам в расчетах. Однако эти ошибки относятся в основном к центрированной составляющей процесса 5Д0 и уменьшаются при К -* оо.

Основной объем информации о случайном процессе? (/) содержится в его низкочастотной составляющей ?,(/), которая может быть сколь угодно точно приближена аналитическим случайным процессом.

Заметим, что случайный процесс называется аналитическим в некоторой области, если почти все выборочные функции его компонент допускают аналитическое продолжение в этой области. Спектр аналитического случайного процесса характеризуется ограниченным интервалом частот (— и>₀, а>₀). Примерами аналитических случайных процессов могут служить многочлены степени N со случайными коэффициентами.

тригонометрические многочлены N-й степени со случайными коэффициентами.

случайные процессы b (t) на интервале (—со, +оо), имеющие ковариацию вида

где F (K) — спектральная функция процесса, и т. д.

Пусть t (t) при —оо <^t <�оо — стационарный случайный процесс с ограниченным спектром; ковариация V (t) такого процесса.

является целой трансцендентной функцией экспоненциального типа, для которой справедливо неравенство [16].

Тогда для почти каждой выборочной функции стационарного процесса с ограниченным спектром также справедливо неравенство (8.68).

Практическое значение нервенства (8.68) состоит в том, что оно позволяет оценить приближения всех выборочных функций стационарного случайного процесса с ограниченным спектром полиномом степени N со случайными коэффициентами. Пусть на некотором интервале наблюдения длиной (0, *_в) выборочная функция случайного процесса имеет вид.

Из неравенства (8.68) следует, что ошибка е, допущенная при приближении любой выборочной функции I* (t) на конечном интервале наблюдения (0, t_B) полиномом степени N, ограничена сверху:

Однако на практике случайные процессы, как правило, нестационарны и обладают неограниченным спектром. Тем не менее, как показано, в работе [17], при соответствующем выборе ширины спектра о аппроксимирующего случайного процесса оценка (8.69) применима почти ко всем выборочным функциям нестационарного процесса с неограниченным спектром. Иными словами, как в случае стационарного процесса с ограниченным спектром, так и в случае нестационарного процесса с неограниченным спектром случайный процесс $,(?) можно приблизить аналитическим процессом с любой наперед заданной степенью точности. Сформулируем общую задачу построения оптимальных фильтров с конечной памятью.

Постановка задачи. На вход системы с весовой функцией К (tу т) воздействует случайный процесс и (/), состоящий из случайного сигнала s (<), случайной помехи w (t) и набора известных функций f_x (f), /₂ (f),.. ., /_Л (/) с неизвестными коэффициентами.

гдо.

полный полезный сигнал на входе.

Сигнал на выходе у (t) функционально связан с сигналом на входе и (t) через весовую функцию системы.

Система обладает конечной памятью t". Это значит, что ее весовая функция К (t, т) равна нулю для всех значений т вне интервала.

(О, у.

Введем в рассмотрение случайный процесс z (/), который называется желаемым случайным процессом на выходе и который функционально связан с полезным сигналом s_x (t) па входе соотношением.

где АГ_ИД(/, х) — весовая функция идеальной системы, которая не реагирует на шум и осуществляет абсолютно точно заданный закон преобразования полезного сигнала.

Требуется построить такую весовую функцию К (t, х), которая минимизировала бы средний квадрат разности между действительным и желаемым сигналами на выходе системы, т. е.

где е (t) — ошибка, определяемая равенством.

В зависимости от предположений относительно коэффициентов х₂,.. хлг сформулированная общая задача распадается на две частных задачи.

Задача 1. Считая коэффициенты х_х, х₂,.. ., х_Л произвольными неизвестными величинами, построить весовую функцию К (/, х), которая точно воспроизводила бы каждую из функций f_k(t) полезного сигнала. Из общего выражения для ошибки (8.72) видно, что это требование эквивалентно системе N равенств (условие несмещенности).

Таким образом, в задаче 1 весовая функция К (t, х) выбирается путем минимизации функционала (8.71) при ограничениях, накладываемых условияем несмещенности (8.73).

Задача 2. В этом случае входной сигнал и (t) по-прежнему определяется соотношением (8.70), но в предположении, что коэффициенты х_1э х.₂,.. ху являются случайными величинами с заданными статистическими свойствами, например корреляционными моментами

В данном случае условие Несмещенности (8.73) использовать нельзя. Искомая весовая функция К (J, т) должна минимизировать средний квадрат ошибки без дополнительных ограничивающих условий.

Разница в постановках задач 1 и 2 состоит в том, что если в первом случае фильтр должен точно воспроизводить все функции f_k(t), то во втором допускается, чтобы система давала некоторую ненулевую ошибку в полезной составляющей входного сигнала, минимизируя в среднеквадратическом смысле полную ошибку, порождаемую полезным сигналом и шумом. Эта разница существенна для малых и средних отношений сигнал/шум.

Рис. 8.13. Блок-схема оптимального оператора объекта управления. — оператор с конечной памятью t_a; К⁰⁰ — оператор с бесконечной памятью Если отношение сигнал/шум мало, т. е. шум преобладает над полезным сигналом, то при известных статистических характеристиках коэффициентов xj, х^,.. x_jV решение задачи фильтрации в постановке 2 значительно снижает величину полной ошибки.

Если отношение сигнал/шум велико, то нетрудно показать, что первый случай получается как предельный из второго 118]. Иными словами, если коэффициенты х_х, х₂,.. ., хдг являются случайными функциями и отношение сигнал/шум стремится к бесконечности (что характерно для низкочастотной составляющей), то весовая функция оптимального фильтра может быть найдена из условия несмещенности (8.73). Этот факт лежит в оснопе решения трех основных задач настоящего раздела: задачи синтеза оптимального оператора объекта управления, задачи оценки переменных состояния объекта и задачи его идентификации.

Перейдем к решению этих задач.

1. При синтезе оптимального оператора объекта управления управляющий сигнал и (t) представляют в виде двух составляющих.

где у (t) — низкочастотная составляющая с ограниченным спектром (— ouq, tty); б (?) — центрированный случайный процесс (высокочастотная составляющая).

Блок-схема оптимального оператора объекта управления показана па рис. 8.13. Оптимизация высокочастотного канала сводится к стандартной методике, основанной на решении уравнения Винера—Хопфа 118, 19]. Оптимизация низкочастотного канала состоит в построении фильтра с конечной памятью, осуществляющего отработку сигнала ср (/). Представим сигнал <�р (/) на интервале времени (0, t_B) в виде полинома со случайными коэффициентами Xj, Xj,.. Xs с известными статистическими свойствами:

Таким образом, задача сводится к постановке 2, причем отношение сигнал/шум стремится к бесконечности. При этом, как уже упоминалось, постановка задачи 2 переходит в постановку задачи 1. В работе [20] показано, что весовая функция оптимального фильтра с конечной памятью осуществляющего отработку сигнала в виде полинома степени N со случайными коэффициентами (8.74), имеет вид полинома той же степени:

причем неизвестные коэффициенты а₀, a_lt.. ., адопределяются из условия несмещенности (8.73).

Вообще говоря, для точного представления сигнала ср (/) необходимо использовать степенной ряд, однако при решении практической задачи желательно ограничиться конечным (и притом небольшим) числом членов полинома для ср (t). Неравенство (8.69) позволяет оцепить возникающую при этом ошибку. Число членов N полинома в выражении (8.74) зависит от частоты «среза» аналитической (низкочастотной) составляющей сигнала и памяти t₀ искомой весовой функции. Чем меньше t_a при фиксированной частоте среза cd₀, тем меньше число членов полинома требуется для достижения заданной точности аппроксимации сигнала ср (t) полиномом со случайными коэффициентами.

Допустим, что мы ограничились тремя членами полинома в выражении (8.74), т. е. ср (fJ^xo-f-xjf-l-x^². Тогда на основании неравенства (8.69) получаем оценку для ошибки приближения в виде.

а относительная ошибка —.

Задаваясь величиной а, можно определить память искомого фильтра t_a. Например, для a =0,05 получим

2. Методику решения задачи идентификации проследим на простом примере. Пусть известно, что объект описывается передаточной функцией вида.

в которой коэффициент усиления к и постоянные времени 7, Г₂,.. Ти подлежат определению. На вход объекта поступает случайный сигнал и (t), вызывающий на выходе соответствующую реакцию y~(t) (см. рис. 8.14).

Рис. 8.14. К постановке задача идентификации объекта управления.

F-Технологический объект, как правило, представляет фильтр низких частот, спектр выходного сигнала которого практически ограничен некоторой частотой среза «>₀. Следовательно, случайный процесс на выходе системы на конечном интервале времени (О, О может быть приближен степенным рядом со случайными коэффициентами

Задаваясь ошибкой приближения е и интервалом наблюдения (0, t_n), на основании неравенства (8.69) получим представление выходного сигнала у (/) в виде полинома со случайными коэффициентами с некоторым конечным числом членов N:

Согласно приведенной выше методике, искомая весовая функция оператора с конечной памятью имеет вид полинома той же степени N:

где коэффициенты а₀, а_г,.. ., а^ определяются из условия несмещенности.

Вообще говоря, условие несмещенности реализуется следующим образом: если порядок гладкости наблюдаемой величины выше порядка гладкости входного сигнала, то оценка параметра оператора или переменной состояния осуществляется от выхода к входу (дуальный объект); если наоборот, то — от входа к выходу. В этом смысле рассматриваемая методика всегда корректна по Тихонову 121—23].

В нашем случае порядок гладкости у (t) выше порядка гладкости и (0, поэтому условие несмещенности необходимо записать для дуального (инверсного) объекта. Если и (р) и у (р) — изображения Лапласа соответственно входного и выходного сигналов, то.

где Я (р) — передаточная функция дуального объекта.

Применяя обратное преобразование Лапласа к равенству (8.75), получим выражение для входного сигнала во временнбй области через изображение выходного сигнала:

Теперь можно записать условие несмещенности.

В левой части этого равенства выполним операцию обратного преобразования Лапласа, а в правой — заменим функцию у (t—т) ее разложением в ряд Тейлора относительно точки t до порядка N включительно:

Тогда условие несмещенности (8.76) примет вид где

Отсюда вытекают соотношения, связывающие коэффициенты а₀, a_v …, as весовой функции K**(t) с величинами р₀, р_1э зависящими от искомых параметров передаточной функции W (р)

Таким образом, задача идентификации сводится к подбору коэффициентов а₀, а_1%.. ., as оператора с конечной памятью, которые функционально связаны с искомыми параметрами объекта. Коэффициенты подбираются поисковым методом. При поиске минимизируется средний квадрат ошибки между входным сигналом и (t) и его оценкой й (t):

3. Решение задачи оценки переменных состояния динамической системы выполняется по этой же схеме. Подробности изложенной методики в случае решения задач оценки покажем на конкретном примере.

Пример [24, 25). Рассмотрим решение задачи оценки параметров состояния нелинейного химико-технологического процесса на основе интегральных операторов. Нелинейная динамическая система описывается уравнениями состояния и наблюдения:

где х — вектор состояния, у — вектор наблюдения; w — шум объекта, аддитивный с вектором состояния; v — помеха измерения. Блок-схема динамической системы, описываемой уравнениями (8.77) и (8.78), изображена на рис. 8.15.

Структура системы с уравнениями (8.77) и (8.78) является достаточно общей. Частным случаем такой системы может служить рассмотренный ранее (см. § 8.3) химический процесс метаксилирования ортонитрохлорбензола, протекающий в реакторе идеального перемешивания с рубашкой охлаждения. Процесс описывается нелинейной системой уравнений (8.42), численные значения параметров которой равны Е=00 ккал/кмоль; Q_r= 1,379 м³/час;

_л=0,6 м³/час; p_r^^_f.=558 ккал! м³°С; v_xQ_xC_px=§ 00 ккал|час° С; р_хС_рх=* = 1000 ккал/м³°С; 5=3 м³; Л=120ккал/м³час°С; р_гС_рг= 770 ккал/час°С;

Д// = 16 600 ккал/кмоль; р₀ = 6,4 • 10®м⁸/кмоль час; V_r = 2 м³; = 0,194 м⁸;

/_г = V_r{Q_r= 1,45 час; l_x — V_x/Q_x = 0,323 час; с^ = 3 кмоль/м³; = = 1,05 кмоль/м⁸; с_А (0) = с_Ан = 1,15 кмоль/м⁸; Т, = 358° К; Т₀ = 323°К; 7'_х0 = 286°К; 7^,_Х# = 313°К; Л = 1,9858 ккал/кмоль°С; Я/Д7¹ = 15,4729. Здесь^гиндекс «О» относится к значению параметра на входе в аппарат в установившемся режиме; индекс ш — к стационарпому равновесному состоянию в реакторе; индекс «н* — к возмущенному значению переменной с_А внутри реактора.

Рис. 8.15. Блок-схема динамической системы, описываемой уравнениями (8.77), (8.78).

Система (8.42) принимает каноническую форму (8.77) и (8.78), если положить.

Для этой динамической системы ставится прежняя задача оцепки переменных состояния в условиях случайных помех и неполного наблюдения, однако здесь для решения задачи будет использован математический аппарат интегральных операторов.

Прежде всего представим нелипейную систему дифференциальных уравнений (8.42) в форме системы линейных и квазилинейных интегральных уравнений. Как уже отмечалось, это можно сделать либо путем разложения в степепной ряд решения нелинейного дифференциального уравнения по специальным образом введенному параметру [8] (этот метод подробно изложен также в работе [15]), либо с помощью специальной замены переменных [15]. В данном случае к цели быстрее приводит второй метод. Последовательно преобразуем каждое пз уравнений системы (8.42) к интегральному виду.

Первое пз уравнений исходной системы (8.42) имеет вид Сделаем замену переменных:

где А — константа, равная значению с_А в стационарном состоянии, т. в. А=с_Лв, так что 1/z — отклонение с_А от стационарного значения c_At. Подставляя (8.80) в (8.79), будем иметь.

Можно утверждать, что при движении системы вблизи состояния устойчивого равновесия коэффициент при г^г (т. е. выражение в квадратпых скобках) близок к нулю. В самом деле, выражение в квадратных скобках уравнения (8.81) совпадает с правой частью исходного уравнения (8.79) в стационарном состоянии, когда dc_A/dt = 0. Поэтому в принятых условиях (т. е. при движении около состояния равновесия) от уравнения (8.79) можно перейти к уравнению вида.

Если истинное стационарное состояние не достигается, но движение системы таково, что каждое промежуточное состояние можно Припять за стационарное, иными словами, в рамках допущения о квазистационарности процесса уравнения (8.79) можно приближенно заменить квазилинейным уравнением (8.82).

Представление уравнения (8.82) в интегральной форме подчиняется стандартной методике, изложенной в § 5.3 при рассмотрении общих вопросов проблемы идентификации. Пользуясь результатом (5.21) решения примера, рассмотренного в § 5.3, получим.

где на основании формулы (8.80) и числовой информации Возвращаясь к старой перемепой с_А в соотношении (8.83), будем иметь.

где числеппые значения параметров равны.

Второе из дифференциальных уравнений системы (8.42) запишем в виде

Здесь внедепы обозначения.

Из уравнения (8.79) получим.

С учетом (8.86) перепишем уравнение (8.85) где.

Пользуясь общей методикой приведения линейных дифференциальных операторов к интегральным (см. § 5.3), будем иметь.

Здесь весовая функция К (t — т) является решением уравнения.

Подставляя выражение (8.87) для B_t (т) под интеграл (8.88), получим.

Здесь численные значения параметров равны: Ь_х = 1,1 254, Ь₂ = 221,4944, Ь₃ = 0,32 258, Ь₄ = 20,52 688.

Третье из уравнений системы (8.42) запишем в виде где.

Поступая аналогично предыдущему, получим искомый интегральный оператор:

Здесь численные значения параметров равпы 6_в=0,6, 5_в=1,6, 6₇=4,94 845.

Полученная интегральная форма операторов позволяет наглядно представить структуру исследуемой динамической системы и конкретизировать постановку задачи оценки параметров состояния. Каждый из интегральных операторов состоит из членов, определяемых начальными условиями, и членов типа интегралов свертки, которые учитывают влияние перемеппых состояния соседних каналов. Система уравнений (8.84), (8.89) и (8.91) включает четыре операции свертки с весовыми функциями:

При изображении системы (8.84), (8.89) и (8.91) в виде блок-схемы блоки, в которые наряду с другими операциями входят операции свертки над перечисленными функциями, условно обозначим Кт, с_А* ЛГ_вА#Л ^т_х, т ^и ^т, т_х

соответственно. Тогда блок-схему системы (8.84), (8.89), (8.91) с учетом шума объекта и помех измерений можно представить в виде, изображенном на рис. 8.16. Здесь операторы К_т и К_{т т} включают все операции, записанные в правых частях уравнений (8.84) и (8.91) соответственно. Онератор К_{с т} соответствует свертке над с_А (<) с весовой функцией b_t(i_rb_l — 1) X X ехр (—(< — т)], а оператор K_{r г}— свертке над T_x(t) с весовой функцией (Ь^/г_х) exp f—6₇ — х)| в правой части уравнения (8.89). Остальные операции, записанные в правой части уравнения (8.89), отражены блоком начальных условии (HY).

Вычислительная блок-схема, изображенная на рис. 8.16, служит для имитации реального объекта, подверженного случайным возмущениям ", w_T, w_Tx и помехам измерения и_т и v_x.

Ставится задача: при заданном начальном векторе состояния х (*)= == х (0) (0) = с_Ан; х_г (0) = T_t х₉ (0) = и значениях вектора наблю дения у (t) (у_а = Т (О, У* = Г_Х(<)) в дискретные моменты времени t₀, t_lt t₂, … определить оптимальные в смысле минимума квадрата ошибки оценки i вектора состояния х в указанные моменты времени.

Квадратический функционал (8.65) (записанный относительно вектора состояния х), минимизацией которого достигается решение задачи, для данного случая имеет вид.

где t_B — интервал наблюдения системы. Для реализации функционала (8.92) воспользуемся дуальным фильтром с конечной памятью, удовлетворяющим условию несмещенности (8.73) и восстанавливающим входной сигнал по сигналу на выходе объекта.

Рис. 8.16. Блок-схема, соответствующая математической модели объекта в форме интегральных операторов (8.84), (8.89), (8.91).

Из структуры дифференциальных операторов объекта (8.82), (8.85), (8.90) (все опи первого порядка) видно, что для представления низкочастотных составляющих сигналов по каналам е_А, Т и Т_х в виде полиномов со случайными коэффициентами достаточно ограничиться двумя первыми членами полиномов, т. е. представить их в виде у (*)=*o+*i<. В данном случае ошибка приближения е случайного сигнала па копечном интервале паблюдепия (0, *") полиномом первой степени оценивается неравенством (8.69).

откуда величина относительной ошибки, а равна.

По техническим условиям достаточно задаться величиной а=0,06; при этом решеппем трансцендентного уравнения (8.93) является 5⁰, 33. Исходя из условии эксплуатации объекта, можно принять, что спектр низкочастотной составляющей случайного сигнала ограничен частотой среза ц)₀=0,33 мин" ¹. Тогда f_a=&/0=l мин. При построении дуального фильтра, восстанавливающего входной сигнал по аналитической составляющей выходного сигнала на конечном интервале наблюдения длиной ;_я, естественно величину памяти этого фильтра /_д принять равной длине интервала наблюдения *_д=*_в=1 мип. Интервал кваптовапия по времени выберем равным Д=0,1 <_д=0,1 мин.

Интегральный оператор дуального объекта по каждому из каналов имеет вид.

где Яд (* — х) — весовая функция дуального (инверсного) объекта с конечной памятью *д. Днскретным аналогом соотношения (8.94) является.

где

причем <�д = 1 мин; Д = 0,1 мин; л = 1000.

Запишем в явном виде весовые функции дуального объекта по основным каналам.

Канал 7 (с_А— Ту Дифференциальное уравнение исходного объекта

Передаточная функция исходного объекта Передаточная функция дуального объекта.

Отсюда р₀ = — X (0, Pi = 1. Весовая функция дуального объекта выбирается в виде

Запишем для данпого случая условия несмещенности Отсюда.

и весовая функция /Гд₁(<) полностью определена.

Пользуясь найденной весовой функцией /С_Д1 (<) построим блок-схему первого капала дуального объекта. Введем обозначение.

Тогда, исходя из структуры интегрального оператора (8.84) и соотношения = р₀ exp (—E/RT), можно представить блок-схему рассматриваемого канала в виде, изображенном на рис. 8.17.

Канал 2 {Т->с_л и Т-+Т_х). Дифференциальный оператор исходного объекта имеет вид

где B_l{t) определяется выражением (8.87). Отсюда видно, что весовые функции по каналам 2 и 3 определяются соотношениями.

где

Исходя из структуры интегрального оператора (8.89), сформируем входной сигнал рассматриваемого канала в виде.

а также промежуточные сигналы.

С учетом введенных обозначений блок-схему канала 2 дуального объекта можно представить в виде, изображенном на рис. 8.18.

Канал 3 (Т_Х->Т). Дифференциальный оператор исходного объекта

Рис. 8.17. Блок-схема разомкнутого дуального объекта по каналу 1.

Рис. 8.18. Блок-схема разомкпутого дуального объекта по каналу 2.

Рис. 8.19. Блок-схема разомкнутого дуального объекта по каналу 3.

Поступая аналогично предыдущему, иолучйм.

где.

Вводя обозначение.

и пользуясь структурой интегрального оператора (8.91), представим блоксхему дуального объекта по каналу 3 в виде, изображенном на рнс. 8.19.

На блок-схемах, изображенных на рис. 8.17—8.19, условные обозначения весовых функций и параметров объекта соответствуют обозначениям, принятым в формулах (8.84)—(8.104). Процедура поиска входных величин отдельных каналов дуального объекта (эти величины на рис. 8.17—8.19 входят в круглые блоки с наклонными стрелками, обозначающими подстройку) осуществляется путем минимизации функционала /.

Расчет производился на ЦВМ «Минск-22». Качество решения задачи не уступает результатам, полученным ранее на основе применения расширенного дискретпого фильтра Калмапа (кривые оценки вектора состояния аналогичны изображенным на рис. 8.9). Однако в данном случае изложенный алгоритм позволил получить прежнюю точность решения задачи оценки при значительно более высоком уровне помех, который достигал 70—80% уровня полезного сигнала (при оценке уровня помех по величине срсднеквадратичсского отклонения). Кроме того, в данном случае удовлетворительная точность решения задачи обеспечивалась при более грубых начальных приближениях вектора состояния (ошибка начальных данных варьировалась в пределах 10—40% от истинного значения вектора состояния).

Высокое качество оценки переменных состояния при достаточно большом уровне помех достигается за счет использования в алгоритме интегральных операторов, способствующих сглаживанию помех. Хорошая сходимость решения обусловлена конструкцией дуального фильтра с конечной памятью, применение которого позволяет на каждом шаге интегрирования системы полностью исключить влияние шума объекта w и помехи измерения v.

* * *.

В этой главе были рассмотрены некоторые методы идентификации нелинейных систем. Естественно, поиск оптимального оператора объекта обычно стремятся выполнить в классе лирейных операторов методами идентификации линейных систем. Однако это оправдано в тех случаях, когда степень нелинейности исследуемой системы достаточно мала и погрешности идентификации лежат в допустимых пределах. Если же степень нелинейности значительна, то ограничиться линейным описанием объекта, как правило, не представляется возможным, и задача идентификации решается в классе нелинейных операторов.

Перспективный подход к синтезу функционального оператора ФХС в классе нелинейных операторов основан на понятии функций штрафа за ошибку и формулируется как байесовский подход к решению задач идентификации. Использование в качестве характеристики отклонения оценки от истинного значения переменной условного математического ожидания штрафа за ошибку приводит к двум важнейшим видам оценок: оценке по максимуму апостериорной вероятности (МАВ) и оценке по максимуму правдоподобия (МП), связь между которыми выражается формулой Байеса. В главе рассмотрен общий вид штрафной функции МАВ, минимизацией которой достигается решение задачи идентификации.

В зависимости от способа минимизации штрафных функций МАВ или МП вычислительные методы идентификации делятся на две группы: прямые и косвенные. Первую группу составляют методы непосредственной минимизации штрафной функции на каждом шаге интервала наблюдения. К ним относится градиентный метод и его многочисленные модификации, метод стохастической аппроксимации и др. Второй подход к решению задачи идентификации состоит в применении принципов теории оптимального управления на каждом шаге итерации. В частности, для минимизации штрафных функций применяется принцип максимума Поптрягина, метод неопределенных множителей Лагранжа и др. При этом соответствующая система канонических уравнений с необходимыми граничными условиями образует характерную нелинейную двухточечную (начало и конец интервала наблюдения) краевую задачу (ДТКЗ), решение которой представляет искомую оценку для заданного интервала наблюдения. Вычислительные методы решения указанной ДТКЗ образуют группу так называемых непрямых вычислительных методов решения задач идентификации. К ним можно отнести метод квазилинеаризации, метод инвариантного погружения, метод прогонки и др.

Изложенная схема решения задачи идентификации отнюдь не является универсальной. Она обладает существенными ограничениями, связанными с теми допущениями, которые заложены в исходной постановке задачи. К характерным ситуациям, которые не укладываются в рамки рассмотренной выше схемы решения задачи идентификации, можно отнести следующие: неизвестные параметры не являются постоянными, а «плывут» во времени; отсутствует априорная информация о дисперсии ошибок измерений; шумы объекта и помехи измерений являются случайными процессами, отличными от белого шума; шумы объекта представляют реализации нестационарных случайных процессов; шумы объекта и помехи измерений коррелированы и т. п. Перечисленные ситуации особенно характерны для процессов химической технологии. Практически каждый из перечисленных случаев осложнения задачи идентификации требует применения специальных приемов и методов, которые в значительной мере определяются конкретными условиями задачи. Общие методы преодоления указанных трудностей находятся в настоящее время в стадии разработки. Тем не менее характерные тенденции и пути решения этих задач видны уже сейчас.

В главе на двух примерах, характерных для химической технологии (задача оценки переменных состояния химического реактора, в котором протекает нелинейная экзотермическая химическая реакция, и задача идентификации кинетических констант системынслинейных химических реакций), подробно изложена схема решения указанных задач с применением расширенного дискретного фильтра Калмана. Обсуждены достоинства и недостатки этого метода. К последним можно отнести весьма жесткие требования к точности задания начальных условий по переменным состояния, начальных оценок искомых констант моделей, к характеру и уровню шумов объекта и помех наблюдения.

Один из возможных путей преодоления трудностей, возникающих в задачах оценки параметров состояния и идентификации объектов химической технологии, состоит в использовании аппарата статистической динамики, оперирующего с интегральными операторами и весовыми функциями исследуемых систем. Интегральная форма связи между входными и выходным сигналами через весовую функцию системы предпочтительна как с точки зрения устойчивости к помехам, так и с точки зрения эффективности вычислительных процедур. Достоинство данного подхода к решению задач идентификации состоит также в том, что открывается возможность широко использовать замечательные свойства аналитических случайных процессов при синтезе оптимальных операторов объектов с конечной «памятью». Заметим, что требование линейности системы для реализации данной методики в незначительной мере снижает ее общность. Как следует из рассмотренного в главе примера, эта методика применима для широкого класса нелинейных объектов химической технологии, если воспользоваться методом нелинейных преобразований случайных функций. Специфика нелипейных объектов в химической технологии такова, что практически почти всегда можно свести нелинейные дифференциальные операторы к линейным или квазилинейным интегральным операторам. Это достигается либо путем разложения решения нелинейного дифференциального уравнения по параметру, либо с помощью специальной замены переменных.

На примере решения задачи оценки переменных состояния нелинейного объекта химической технологии показано, что высокое качество оценки переменных состояния при достаточно большом уровне помех (до 80% уровня полезного сигнала) достигается за счет использования в алгоритме интегральных операторов, способствующих сглаживанию помех; хорошая сходимость решения обусловлена конструкцией дуального фильтра с конечной «памятью», применение которого позволяет на каждом шаге интегрирования системы почти полностью исключить влияние шума объекта и помех измерения.

Более детальному изложению методов решения задач оценки и идентификации, которые были только упомянуты в настоящей монографии, а также расширенному изложению методов идентификации объектов с конечной «памятью» па основе аппарата аналитических случайных процессов в применении к объектам с сосредоточечными и распределенными параметрами будет посвящено отдельное издание авторов.