Оптимальное волновое сопротивление коаксиальной линии

В коаксиальном кабеле комплексная амплитуда напряжения монохроматической волны подчиняется следующему соотношению:

где U_т — амплитуда колебаний напряжения; а — коэффициент затухания; Р — постоянная распространения; х — координата.

Коэффициент затухания коаксиального кабеля определяется выражением.

где А — коэффициент; D — внутренний диаметр внешнего цилиндра; d — внешний диаметр внутреннего цилиндра (рис. П. 6.1).

Рис. П. 6.1. Отрезок коаксиального кабеля.

Волновое сопротивление коаксиальной линии.

Целесообразно выбрать волновое сопротивление коаксиальной линии так, чтобы затухание было наименьшим.

Исследовав (П. 6.1) на экстремум, находим, что, а достигает минимума при

Это соотношение соответствует волновому сопротивлению.

Кроме минимума коэффициента затухания, оптимальное волновое сопротивление коаксиальное линии выбирают исходя из максимума передаваемой мощности, которую рассчитывают по формуле.

где В — некоторый коэффициент.

Несложно показать, что максимальная передаваемая мощность достигает наибольшего значения при D/d = 1,65, при этом волновое сопротивление коаксиального кабеля составляет 30 Ом.

Исходя из полученных результатов в качестве оптимального волнового сопротивления выбрана величина р_огй = 50 Ом. В некоторых случаях (например, в телевизионной технике) стандартной величиной выбрано p_opt =75 Ом.

Дифференциальное уравнение колебательного контура

Сообщим конденсатору С заряд q_m и подключим к нему катушку индуктивности L. Запишем уравнение для изменения заряда во времени (рис. П. 7.1).

Рис. П. 7.1. Колебательный контур.

По II закону Кирхгофа

где U_C, U_L, U_R — мгновенные напряжения на элементах контура. В контуре протекает ток.

где q (t) — заряд на конденсаторе.

Поскольку U, = L—, U_r=1R, запишем сн.

Заряд q = U_cC. Подставим его в (П. 7.1):

Поделим все на LC и введем обозначения: <�а = J—, _R ^р VIC.

а = U = U_C. Окончательно получаем.

Полученное выражение есть дифференциальное уравнение колебательного контура.

Устойчивость стационарного режима автоколебаний

Эквивалентную схему автогенератора представим в виде соединения двух адмитансов Y_ncr и7_К0Н (см. рис. 4.12, а). Если амплитуда колебаний напряжения изменилась на некоторую величину A U_cr, то возникает переходный процесс, который может быть записан в виде.

Здесь u (t) — мгновенное напряжение на коллекторе транзистора; U'_T = U_CT + AU_CT — изменившаяся амплитуда колебаний напряжения; у = у (/) — скорость изменения амплитуды. Во время переходного процесса частота тоже изменяется и становится функцией времени. Соотношение, определяющее стационарный режим,.

справедливо и для переходного процесса.

Представим (П. 8.1) в комплексном виде.

где введем обозначение р = со — /у — комплексная частота. Комплексные амплитуды у и У являются функцией комплексной частоты р и амплитуды колебании напряже;

ПИЯ t/_CT.

Слабой зависимостью адмитанса колебательной системы 7_К0Н от амплитуды jj можно пренебречь, поэтому запишем для переходного процесса.

В стационарном режиме р = со₀, U_CT = U_CT. Во время переходного процесса изменяется амплитуда U'_CT = U_CT + AU_CT,

р' = ш₀ + Ар, где Ар = Асо — /у, т. е. изменяется действительная часть частоты и появляется мнимая составляющая /у, (О₀ — частота в стационарном режиме. Таким образом.

Разложим функции Y_KOli(p) и Y_ner(p, U'_T) в ряд Тэйлора в окрестности стационарного режима при р = со₀, С_ст = ,.

ограничиваясь членами первого порядка малости:

Если учесть (П. 8.2), то члены Т_кон(со₀) ^и Т"_ег(ю₀, С/_ст) компенсируются. В оставшемся выражении разделим действительные и мнимые части

Обычно встречающиеся на практике функции являются аналитическими. Необходимое и достаточное условие аналитичности комплексной функции U + iv = f (x+iy) — выполнение условий Коши — Римана [8].

Для функций Г"" = G"" +iB_K«» и = которые зависят от p= со — /у, условия аналитичности можно записать в виде.

Учитывая полученные условия, заменим в выражениях (П. 8.3) и (П. 8.4) производные по у производными по со. В результате получим.

где G_y =G +G, By = В + В .

^ 2. кон нег' 2. кон нег Следует отметить, что мнимая часть проводимости негатрона слабо зависит от амплитуды U., поэтому считаем.

dв ^ст

—— ~ 0, отсюда из (П. 8.6) следует.

dt/_CT

Подставим (П. 8.7) в (П. 8.5), получим после несложных преобразований, учитывая, что G_Her < О,.

Стационарный режим устойчив при выполнении соотношений.

Поскольку знаменатель в (П. 8.8) всегда положителен, то стационарный режим устойчив, если.

Для повышения стабильности частоты и снижения уровня шума в автогенераторах стремятся режим работы транзистора выбрать таким, чтобы В_иет = 0, отсюда В_ъ = В_кон и окончательные условия устойчивости.