Методы постановки и решения экстремальных задач

ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ К ПОСТАНОВКЕ И РЕШЕНИЮ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

Роль инженеров в развитии методов оптимизации

Экстремальная задача возникает из желания найти предельные возможности того или иного процесса или устройства и ту его конструкцию или закон поведения, для которого этот предел реализуется. Осознание, что предел должен существовать, и первоначальная словесная постановка задачи, как правило, принадлежат инженеру. Для точной формулировки задачи и получения ее решения инженер часто вынужден обращаться к математику.

Этап перехода к математической постановке (формализация задачи) может быть совсем не простым. Одна и та же задача может допускать несколько формальных постановок, от выбора их зависит трудоемкость решения. Роль инженера здесь очень велика, так как именно он понимает, насколько существенно то или иное условие и форма критерия. Он знает, например, каким законам сохранения должно удовлетворять искомое решение (энергии, материи, энтропии, …), и наоборот, что заведомо невозможно для оптимального процесса.

После того как задача сформулирована, математик может применить к ней те или иные методы, если она принадлежит к одному из изученных классов задач, и получить ее решение, как правило численное.

Здесь инженера интересует не только полученное решение, но и влияние на него изменения тех или иных условий (критерия, набора ограничений и пр.). Особенно существенно исследование «грубости» задачи, чтобы быть уверенным, что небольшие изменения в исходных условиях соответствуют небольшим изменениям в значении критерия оптимальности, найденном на оптимальном решении, или в самом оптимальном решении.

В ряде случаев задача оказывается новой с точки зрения ее математических особенностей, и инженеру удается тем или иным, обычно «кустарным» способом ее решить. Это дает математикам стимул для развития математических методов решения нового класса экстремальных задач. Впечатляющим примером эффективного взаимодействия инженеров и математиков является задача А. А. Фельдбаума, которая привела к разработке принципа максимума Понтрягина.

В 1954 г. доктор технических наук, профессор А. А. Фельдбаум сформулировал задачу о переводе линейной системы, характеризующейся обыкновенным дифференциальным уравнением п-го порядка с постоянными коэффициентами, из заданного начального в заданное конечное состояние за минимальное время^[1]. При этом управляющее воздействие ограничено в каждый момент времени.

Формально.

От классических задач вариационного исчисления задача Фельдбаума (1.1) отличалась ограничениями на управление, критерием (быстродействие) и самой формой записи, при которой критерий и связи между переменными были отделены друг от друга. Задача была названа задачей оптимального управления.

Фельдбаум не только сформулировал, но и получил решение задачи (1.1). Он доказал, что оптимальное управление u*(t) принимает только крайние значения, переключаясь скачком между ними. При этом число интервалов постоянства не превышает порядка п дифференциального уравнения (теорема об п интервалах). Но логика решения этой задачи отличалась от общей логической схемы получения условий оптимальности в вариационном исчислении. Причем существенно использовались особенности конкретной задачи.

Между тем хотелось получить структуру решения и условия оптимальности для целого класса подобных задач. С этой целью М. А. Айзерман поставил на своем семинаре доклад Фельдбаума, пригласив на него Л. С. Понтрягина и сотрудников его кафедры в МГУ.

В 1958 г. на сессии Академии наук СССР Понтрягин выступил с гипотезой об условиях оптимальности задач оптимального управления, в которых ц*(0 находилось по условиям максимума функции Гамильтона. Эти условия были названы принципом максимума Понтрягина. Управляемая система имела гораздо более общую форму, чем в задаче Фельдбаума:

ограничения на векторное управление u (t) имели тот же вид, что и в (1.1), а целью задачи первоначально, как и в (1.1), было оптимальное быстродействие.

Справедливость принципа максимума Понтрягина была доказана Л. И. Розоноэром^[2]. Там же дано его обобщение на более широкий класс критериев, исследованы особые решения и пр.

Этот пример показывает, как эффективно может быть взаимодействие инженеров и математиков. При этом важно понимание необходимости такого взаимодействия. Здесь нужно отметить роль М. А. Айзермана в появлении принципа максимума Понтрягина. Эту роль подтверждает пример задачи Б. В. Булгакова, который задолго до Фельдбаума сформулировал задачу о наиболее опасном возмущении линейной системы^[3]. В задаче рассматривалась такая же система, как и в (1.1), с теми же ограничениями на управление, находящаяся при t = 0 в равновесии. Продолжительность процесса Т фиксирована. Надо было найти управление u*(t), для которого х (Т) —> max. Управление в этой задаче по своему физическому смыслу было возмущающим воздействием, а линейная система была задана не дифференциальным уравнением, а более общим интегральным уравнением свертки.

Для нулевых начальных условий.

где k (t) — импульсная переходная функция (реакция линейной системы на единичный импульс).

Каждому линейному дифференциальному уравнению можно поставить в соответствие к(0- Задача Булгакова по существу — задача оптимального управления. Булгаков дал решение этой задачи, оно, как и в задаче Фельдбаума, имеет переключательный характер. Из-за отсутствия специалиста, который бы привлек к этой задаче внимание математиков, она не получила обобщения и развития. Только после публикации принципа максимума Понтрягина А. Г. Бутковским^[4] был сформулирован принцип максимума для задач с интегральными уравнениями.

Не случайно в теории оптимальных задач значительных успехов добились математики, получившие инженерное образование, такие как А. А. Фельдбаум, Л. И. Розоноэр, А. Г. Бутковский, В. Ф. Кротов, В. И. Гурман, А. Д. Иоффе и многие другие.

Остановимся, по возможности избегая формул, на основных логических схемах исследования и решения экстремальных задач, которые являются общими для задач самого разного вида. Далее эти схемы будут конкретизированы для конкретных типов задач.

• [1] Фельдбаум А. А. О синтезе оптимальных систем с помощью фазового пространства // Автоматика и телемеханика. 1955. № 2. С. 120—149.
• [2] Розоноэр Л. И. Принцип максимума Л. С. Понтрягина в теории оптимальныхсистем // Автоматика и телемеханика. 1959. Т. 20. № 10. С. 1320—1334; № 11. С. 1441—1458; № 12. С. 1561—1578.
• [3] Булгаков Б. В. Колебания. М.: Гостехиздат, 1954.
• [4] Бутковский А. Г. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965.