Газообразные смеси. 
Методы оптимизации в необратимой термодинамике

Оценка для максимальной работы в мембранном процессе.

Рассмотрим систему, состоящую из термодинамического резервуара, его интенсивные переменные фиксированы и не зависят от потоков обмена, и рабочего тела, интенсивные переменные которого можно изменять во времени тем или иным способом. Система может потреблять извне или генерировать работу. В первом случае работу будем считать отрицательной, во втором — положительной.

Резервуар и рабочее тело взаимодействуют друг с другом через мембрану, проводящую один (активный) компонент смеси. Поток обмена g зависит от химических потенциалов активного компонента в резервуаре ц₀ и в рабочем теле p (t) и при равенстве этих химических потенциалов равен нулю. В частном случае.

где, а — коэффициент массопереноса. Температура рабочего тела Т неизменна и равна температуре резервуара.

Когда общее количество вещества G₀, переданного от резервуара к рабочему телу или обратно, и продолжительность процесса т фиксированы, то при конечном коэффициенте массопереноса химические потенциалы ц₀ и ц (0 должны отличаться друг от друга в каждый момент времени, а процесс массопереноса необратим. Для определенности будем предполагать, что ц₀ > ц (0) и вещество передается от от резервуара к рабочему телу.

Энтропия системы изменяется за счет уменьшения энтропии резервуара, прироста энтропии рабочего тела и производства энтропии, связанного с необратимым массопереносом о. При фиксированном начальном состоянии системы, т. е. составах смесей в начальный момент времени, общем количестве вещества рабочего тела и при фиксированной величине.

изменения энтропии резервуара и рабочего тела за время т полностью определены и минимуму прироста энтропии системы соответствует минимум.

При этом выбору подлежит функция p (t).

Найдем количественную связь работы А, которую можно извлечь (затратить) в таком процессе с величиной а. Для простоты будем предполагать, что смесь в резервуаре и рабочем теле состоит из двух компонентов (более общий случай может быть рассмотрен аналогично с введением эквивалентного компонента). Если концентрации активного компонента в резервуаре и рабочем теле х₀ и x (t), то для второго компонента они равны 1 -х₀ и 1 -x (t). Изменение количества вещества G и концентрации x (t) активного компонента в рабочем теле определены дифференциальными уравнениями.

Количество второго компонента неизменно, поэтому.

Из условий (11.6), (11.7) следует, что.

Уравнения термодинамических балансов системы по веществу, энергии и энтропии имеют форму.

где h₀ и h, s₀ и s — молярные энтальпии и энтропии смеси в рабочем теле и резервуаре, связанные друг с другом соотношениями.

Давление рабочего тела может изменяться во времени, но так, что Р (0) = Р (т). Для химических потенциалов в виде (11.1) уравнение энтропийного баланса (11.11) с учетом (11.10), (11.12), (11.13) можно переписать в форме.

Второе слагаемое в правой части этого равенства можно рассчитать, зная G₀, х₀, G (0), х (0). Последние связанны через условия (11.7) и (11.9) с величинами G (x) и х (т). Обозначим второе слагаемое через B[G₀, х₀, G (0), х (0)]. Оно может быть как положительным, так и отрицательным. Из равенства (11.14) следует, что.

Максимуму полученной (минимуму затраченной) работы соответствует минимум производства энтропии в процессе массопереноса.

Задача о минимуме, а при условии (11.4) (или эквивалентная ей задача о максимуме G при фиксированном значении а) является усредненной задачей нелинейного программирования (см. ч. 1). В отличие от задач условного максимума функции ее оптимальное решение может изменяться во времени, причем является кусочно-постоянной функцией, принимающей не более двух значений. Мы не будем останавливаться на вычислении этих значений и доли от общей продолжительности процесса, в течение которой ц*(0 принимает каждое из них, так как в том наиболее распостраненном случае, когда функция Лагранжа неусредненной задачи.

выпукла вниз по (а (вторая производная L по ц положительна), решение сформулированной задачи постоянно. Так что условием постоянства является выполнение неравенства.

Множитель X, равный производной минимального значения, а по G, по физическому смыслу задачи положителен. Вторая производная L по ц для кинетики массообмена в форме (11.3) равна 2Ха и заведомо положительна. Во всех случаях, когда неравенство (11.16) выполнено, оптимальное значение химического потенциала активного компонента для рабочего тела постоянно и определено условием.

Таким образом, управлять химическим потенциалом активного компонента рабочего тела для любой кинетики, удовлетворяющей (11.16), следует так, чтобы поток массопереноса был постоянен.

Соответствующий этому решению закон изменения управляющей переменной, например давления рабочего тела, уже не постоянен во времени, так как в ходе процесса состав смеси изменяется в соответствии с уравнением (11.8), в котором поток определен условием (11.17).

Для закона массопереноса (11.3) минимальное производство энтропии a_min =G%/(ах). Из равенства (11.15) следует, что положительную работу можно извлечь из рассмотренной системы только при т > T_min — Gq / (otB). Нетрудно убедиться, что продолжительность процесса т*, для которой средняя интенсивность извлечения работы А* (т)/т максимальна, вдвое больше, чем T_min.

В том случае, когда вместо резервуара система содержит источник конечной вместимости с постоянными температурой и давлением, доля активного компонента изменяется в соответствии с уравнением, аналогичным (11.8), а как следствие, изменяется и химический потенциал ц₀. Однако и в этом случае минимуму производства энтропии для закона массопереноса (11.3) соответствует такое изменение p (t), при котором поток массопереноса постоянен.

Вместо календарного времени в задаче может фигурировать время контакта, когда рабочее тело движется, а параметры его в каждой точке контура постоянны. Таким образом, можно получить оптимальные законы изменения давления по зонам контакта рабочего тела с источником.