Применение основных теормем динамики точки

Дано:

Va=1м/с.

m=0,2 кг;

V0=1м/с;

Tm0b=0,5c;

R=1,5 м;

б =30;

в=60;

Решение:

Скорость шарика в положении B найдем, применив на участке AB теорему об изменении количества движения материальной точки.

,.

,

.

Для определения применим теорему об изменении кинетической энергии материальной точки. Движение шарика на участках BC, КМ и СК происходит под действием силы тяжести G (силы трения на криволинейных участках не учитываем).

.

.

.

Определяем давление шарика на стенку канала в положении С.

В соответствии с принципом Даламбера для материальной точки геометрическая сумма сил, приложенных к точке, и силы инерции этой точки равны нулю:

.

Силу инерции материальной точки можно разложить на нормальную и касательную составляющие:

.

Сумма проекций сил на ось x должна быть равна нулю:

,.

,.

Искомое значение шарика на стенку трубки по числовому значению равно найденной реакции и направленно в противоположную сторону.

.

.

.

.

.

.

.

,.

Ответ: деформация пружины равна 0.19м.

Исследование поступательного, вращательного, плоскопараллельного движения твердого тела с помощью дифференциальных уравнений

Тело 1 и 5 совершает поступательное движение; тела 2 и 3 — вращательное движение; тело 4 — плоскопараллельное движение.

Мысленно отбросив связи, налагаемые на каждое из тел системы (внешние и внутренние), запишем дифференциальные уравнения движения тел.

На тело 1 действуют:

сила тяжести ,.

сила реакции нити

Выберем систему координат таким образом, чтобы одна из осей — - была направлена по траектории центра масс тела 1 в сторону движения;

Основное уравнение динамики поступательного движения твердого тела 1 имеет вид:

Запишем уравнение в декартовой системе координат:

,.

Так как груз 1 движется прямолинейно только вдоль оси, то.

Первое уравнение имеет вид :

.

На тело 2 действуют:

сила тяжести ,.

составляющие реакций подшипников и ,.

реакции нитей ,.

момент сил сопротивления ,.

Дифференциальное уравнение вращения тела 2 вокруг неподвижной оси :

.

Здесь:

— момент инерции тела 2 относительно оси вращения;

— угол поворота;

— угловое ускорение;

— моменты внешних сил относительно оси вращения.

Подставляя значения и моментов сил, имеем:

.

(Знаки моментов выбираются в соответствии с действительным направлением вращения).

В соответствии с третьим законом Ньютона натяжения нитей; по модулю и тогда.

.

На тело 3 действуют:

сила тяжести ,.

составляющие реакций подшипников и ,.

реакции нитей ,.

момент сил сопротивления ,.

Дифференциальное уравнение вращения тела 3 вокруг неподвижной оси :

.

Здесь:

— момент инерции тела 3 относительно оси вращения;

— угол поворота;

— угловое ускорение;

— моменты внешних сил относительно оси вращения.

Подставляя значения и моментов сил, имеем:

.

(Знаки моментов выбираются в соответствии с действительным направлением вращения).

В соответствии с третьим законом Ньютона окружное усилие; по модулю и тогда.

.

На тело 4 действуют:

сила тяжести ,.

реакции нитей ,.

Ось координат выбрана вдоль траектории центра масс — точки — в направлении ее движения. — перпендикулярна.

Дифференциальные уравнения плоскопараллельного тела 4:

.

Момент инерции тела 4 относительно центральной оси перпендикулярной плоскости рисунка.

.

Учитывая также, что; по модулю перепишем первое и третье уравнение системы.

.

.

На тело 5 действуют:

сила тяжести ,.

сила реакции нити .

Запишем уравнение в декартовой системе координат:

,

.

Итак, движение тел системы описывается шестью дифференциальными уравнениями. Эти уравнения содержат десять неизвестных величин учитывая, что.

.

— ускорения, а также реакции. Число уравнений станет равным числу неизвестных, если составить уравнения связей, выражающих не растяжимость нитей, соединяющих тела системы, и отсутствие проскальзывания при качении тела 4.

Так как нить, соединяющая тела 1 и 2, нерастяжима, то скорости точек равны. дифференциальный кинетический энергия механический.

Но (движение поступательное), (движение вращательное), тогда, или .

Дифференцируя по времени, получим.

.

Аналогично.

.

и окончательно.

.

Так как тело 4 катится без проскальзывания, то его мгновенный центр скоростей — точка — совпадает с точкой касания с этой поверхностью и тогда:

,.

и окончательно:

.

Условие нерастяжимости нити, соединяющей тела 3 и 4, формулируется аналогично:

.

и окончательно:

.

Полученные уравнения образуют систему девяти линейных уравнений с девятью неизвестными относительно искомых величин:

.

Матричная форма записи системы :

где.

— квадратная (10×10) матрица коэффициентов; {z}- вектор-столбец неизвестных величин, {B} - вектор-столбец свободных членов.

Зафиксируем определенный порядок нумерации неизвестных величин.

Тогда матрица будет иметь вид:

.

Результирующая матрица значений Z будет иметь вид:

.