Математика в средние века

Математика в средние века Содержание Введение

1. Математика Древнего и Средневекового Китая

1.1 Нумерация

1.2 Арифметические действия

1.3 Дроби

1.4 Математика в девяти книгах

1.5 Правило двух ложных положений

1.6 Системы линейных уравнений со многими неизвестными

1.7 Отрицательные числа

1.8 Начальные этапы развития тригонометрии

1.9 Квадратные уравнения

1.10 Теоретико-числовые задачи

1.11 Геометрические задачи

2. Математика Древней и Средневековой Индии

2.1 Создание позиционной десятичной нумерации

2.2 Арифметика натуральных чисел и дробей

2.3 Алгебраическая символика

2.4 Отрицательные и иррациональные числа

2.5 Извлечение квадратного корня

2.6 Линейные уравнения

2.7 Квадратные уравнения

2.8 Неопределенные уравнения

2.9 Теорема Пифагора

2.10 Площади и объемы

2.11 Тригонометрия

2.12 Бесконечные ряды

2.13 Комбинаторика Список использованной литературы

После крушения античного рабовладельческого общества развитие математических наук в течение нескольких столетий происходило главным образом в странах Ближнего и Среднего Востока — в тех самых странах, которые были колыбелью древнейших цивилизаций и где после завоеваний Александра находились главные культурные и научные центры эллинистического мира. Все эти страны в Средние века входят в состав арабского халифата, и наука в них развивается на арабском языке. Первоначально сосредоточившиеся в Двуречье и Египте, это развитие вскоре распространяется по всем странам халифата, охватывая на Востоке Иран и Среднюю Азию, а на западе страны Магриба и мусульманскую Испанию. Страны ислама были не единственными областями развития в это время: наука развивалась и в Византии — наследнице восточной части Римской империи, и в сопредельных и тесно связанных с ней в культурном отношение странах Закавказья. Значительных высот наука достигла в это время в Индии и Китае, где она начала развиваться еще в античную эпоху; начиная с Х в. На этот путь вступает Западная Европа, а через несколько столетий и Восточная Европа. Уровень развития производства во всех этих странах был примерно одним и тем же, большое сходство имелось и в их социальной структуре.

В таких условиях и характер математики во всех этих странах в главном был один и тот же: средневековая математика это в первую очередь элементарная математика постоянных величин и неизменных геометрических фигур, но такая общая характеристика еще недостаточна. Это прежде всего вычислительная математика, совокупность расчетных алгоритмов для решения арифметических, алгебраических, геометрических задач, вначале простых, затем значительно усложняющихся и стимулирующих теоретическую обработку и создание новых математических понятий; вначале алгоритмов разрозненных, затем объединяемых в научные дисциплины. Развитие математики в Средние века начинается с уровня, значительного более низкого, чем достигнутый в эллинистических странах, но к концу этого периода намного опережает уровень, науки времен Птолемея — мы имеем в виду такие области математики, как коммерческая арифметика, алгебра и ее приложения, приближенные вычисления, учение о числе, тригонометрия, геометрические вычисления и построения. Характер этой математики, как мы видим, весьма близок и к характеру эллинистической математики первых веков нашей эры: поворот математики к решению практических задач, решение которых требовало развитие производства, транспорта, торговли и таких практических наук, как астрономия, механика и оптика, начался еще в эллинистическую эпоху, но был прерван крушением античного мира. Разумеется, математика каждой из этих областей обладает своими особенностями. В частности, в математике стран ислама и в более поздней математике Западной Европы чувствуется значительное влияние греческой математики. Такое внимание в гораздо меньшей степени имеет место в математики в математике в средневековой Индии и, насколько известно, отсутствует в математике средневекового Китая.

Для каждой из рассматриваемых нами облостей развитие средневековой математики характерен единый научный язык. Таким языком для византии и связанных с ней стран был греческий язык (в этом Византия продолжала традиции эллинистических стран), для стран ислама — арабский, для Западной Европы — латынь, для Индии — санскрит, для стран распространения китайской культуры — китайское иероглифическое письмо. На местных языках, например армянском, персидском или итальянском, писались только элементарные учебные пособия, но теоретические труды армяне этой эпохи писали по-гречески, персы и таджики, так же как и другие народы Средней Азии, по-арабски, а итальянцы, как и другие народы Западной Европы, — по-латыни.

Математические труды средневековых ученых, как и ученых древности, сохранились только в виде рукописей, многие из которых, написанные на восточных языках, были изучены лишь за последние десятилетия. Поэтому долгое время в Европе было распространено совершенно неправильное мнение о роли и значении трудов математиков средневекового Востока в истории математики. Неправильному представлению способствовали презрительные «европоцентрические» взгляды некоторых историков на достижения народов Востока. Эти ученые считали достойными внимания только математиков греко-эллинистического мира и Европы, математикам стран ислама отводили роль промежуточного звена между эллинизмом и Европой, у индейцев ценили лишь те их достижения, которые через арабов вошли в европейскую математику, а китайскую математики не рассматривали вовсе, считая, что она не оказала влияния на развитие математики в Европе.

Исследования последних десятилетий показали, что все указанные области развития математики были так или иначе связаны друг с другом: связи между математикой Китая и Индии прослеживаются с первых веков нашей эры и особенно усиливаются в период распространения буддизма, когда в Китае появляются индийские ученые. В это же период индийская наука распространяется на территории стран ислама, и через арабов элементы китайской и индийской математики попадают в средневековую Европу. Начиная с эпохи монгольского нашествия, между странами ислама и Китаем устанавливаются непосредственные связи. В это время китайские ученые появляются в странах ислама, а среднеазиатские и иранские — в Китае. И наконец кроме известного пути научного влияния арабов на Европу через Испанию и Италию, которые находились в тесной связи с западными арабами, следует отметить более поздний, но не менее важный путь влияния науки стран ислама через Византию и греков, переселившихся в Европу после взятия Константинополя турками. Эти греки познакомили европейцев со многими достижениями математиков стран ислама XIII — XV вв. Некоторые из ученых стран ислама испытали на себе влияние математики Китая.

1. Математика Древнего и Средневекового Китая Китайская цивилизация возникла в начале ?? тысячелетия до н.э. на берегах реки Хуанхэ. Источниками явились памятники, относящиеся к XV???- X? в.в. до н.э.- надписи на гадательных костях животных и панцирях черепах. На гадательных костях X? V в. до н.э., найденных в Хэнани, сохранились обозначения цифр. Обломки посуды, относящиеся к X???-X? в.в. до н.э., снабжены геометрическими орнаментами; например, изображениями правильных пяти-, семи-, восьми — и девятиугольников.

X? в. до н.э.- деятельность знаменитого философа Конфуция (Кунцзы, до н.э.), выработавшего основы учения о? добродетельном поведении?, а также возникновение математики и астрономии в Китае.

1.1 Нумерация Эта нумерация основана на мультипликативном принципе. При записи числа, состоящего из тысяч, сотен, десятков и единиц, сверху или слева записывается число тысяч, затем знак тысячи, число сотен, знак десятка и число единиц. Если какой-нибудь разряд отсутствует, он пропускается. Разряды записываются сверху вниз или слева направо.

Если мы будем обозначать цифры от до нашими обычными цифрами, а, и — римскими цифрами, мы можем записать число этим способом в виде .

Арифметические действия в древнем и средневековом Китае производились на счетной доске с помощью счетных палочек. Цифры, составленные из счетных палочек, имели вид:

0 — O 3 — III 6 — 9 — 20 — IIO

1 — I 4 — IIII 7 — 10 — IO 100 — IOO

2 — II 5 — IIIII 8 — 15 — 200 — IIOO

1000 — IOOO.

Отсутствие разряда указывалось пустым местом на счетной доске. В математической литературе эти цифры изображались на бумаге. Отсутствие разряда указывалось знаком о.

Впоследствии, на основе счетной доски возник счетный прибор суаньпань, напоминающий счеты.

1.2 Арифметические действия Пользование счетной доской избавляло от необходимости применения таблиц сложения. Поэтому в текстах зафиксированы лишь правила умножения и деления.

Пример на умножение: =.

Действия производятся, начиная со старших, а не с младших разрядов. Расположение заданных чисел и ответа иное, чем на бумаге.

В первой строке дается множимое, во второйпроизведение, в третьей — множитель.

Столбцы содержат: а) начальное положение чисел; б) произведение первой цифры множителя на первую цифру множимого; в) умножение второй цифры множителя на первую цифру множимого; г) подготовку к умножению на вторую цифру множимого; д) осуществление действия; е) окончательный результат.

Произведение остается на доске, все остальные цифры в процессе счета убираются. Пример: .

Стрелка означает, что на что умножается: .

При делении числа располагаются соответственно по строкам: частное, делимое и делитель. Математик Сунь-цзы (??? в. до н. э.) отмечает взаимную обратность этой операции умножению. Исторически умножение и деление были освоены независимо друг от друга, и только потом была установлена связь между ними.

В Китае существовала компактная таблица умножения до (без повторений), которая распевалась учениками. В старинной китайской математической литературе имеются и другие числовые таблицы, например, таблица всех произведений, где, включающая квадраты, кубы и четвертые степени чисел.

1.3 Дроби Дроби появились у китайцев одновременно с целыми числами, задолго до отрицательных чисел. Первыми дробями были, называвшиеся соответственно «половиной», «малой половиной», «большой половиной», которые применялись и в обиходе, и в математических текстах.

Сложение и вычитание дробей представлено общими правилами, отличающимися от современных незначительно: вместо наименьшего общего кратного знаменателей берется просто их произведение.

Деление дробей в этих задачах производилось большей частью не так, как это делают теперь, а путем приведения дроби к общему знаменателю:

.

И только в 5 веке перешли к применению правила, при котором деление на дробь заменяется умножением на перевернутую дробь. Дробь по первоначальному правилу рассматривается не как результат деления, а как целое число новых единиц, в раз меньших прежней.

1.4 Математика в девяти книгах Эта книга (?? в. до н.э.) предназначена для землемеров, инженеров, чиновников и торговцев. Содержит задач.

? книга- ?Измерение полей? посвящена арифметике дробей и вычислению площадей различных плоских фигур.

?? книга — ?Соотношения между различными видами зерновых культур?. В ней решаются задачи на пропорции.

??? книга — ?Деление по ступеням? содержатся задачи на деление пропорционально данным числам.

?V книга — ?Шао — гуан?(труднопереводимый термин) посвящена отысканию стороны прямоугольника по площади и другой стороне, стороны квадратапо его площади, ребра кубапо его объему, а также определению диаметров кругов и сфер.

V книга — ?Оценка работ?- измеряются объемы стен, каналов, плотин, рвов различной формы и вычисляется число рабочих, необходимых для выполнения разнообразных строительных работ.

V? книга — ?Пропорциональное распределение?, решается задача? справедливого? распределения налога и поставок между уездами в зависимости от различных условий, а также более сложные арифметические задачи.

V? книга — ?Избыток и недостаток?- решаются системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными с помощью правила двух ложных положений и другие задачи на это правило.

V??? книга — ?Фан-чэн? посвящена решению систем линейных уравнений с неизвестными с помощью специального мастера фан-чэн.

?X книга — ?Гоу-гу? решаются задачи, связанные с теоремой Пифагора (?гоу?- меньший, обычно горизонтальный катет прямоугольного треугольника,? гу?-больший, вертикальный катет, а? Гоу-гу?- зависимость, выражаемая теоремой Пифагора).

1.5 Правило двух ложных положений

V? книга названного выше сочинения, называемая? Избыток и недостаток?, посвящена задачам, решаемым с помощью правила двух ложных положений.

Это правило в последствии попало в арабские, затем и в западноевропейские руководства.

Суть метода такова, если — два? ложных? значения, то при подстановке их в левую часть уравнения получаются? ошибки?

Обычно, и ошибки имеют разные знаки, т. е. являются? избытком? и? недостатком?.

Эти термины позволяют обходиться без отрицательных чисел, поэтому надо рассматривать три варианта правила: когда имеется избыток и недостаток, когда имеются два избытка или два недостатка, и когда имеется избыток (или недостаток) и? равновесие?, т. е. или

Но китайцы пользовались только первым вариантом.

. Рассмотрим отношения:

,

.

Из пропорции неизвестная определялась по правилу (1).

Числитель и знаменатель этого выражения легко строились с помощью

таблицы, выкладывавшейся на счетной доске.

Это правило не требовало никаких алгебраических методов и почти всегда срабатывало, когда получалось неточное, а приближенное значение.

Рассмотрим применение этого метода при решении систем двух уравнений с двумя неизвестными:. Эта система сводилась к линейному уравнению, к которому применяли правило двух ложных положений, вычисляя? избыток? и? недостаток? при. ,

.

1.6 Системы линейных уравнений со многими неизвестными математика тригонометрия дробь уравнение Метод фан-чэн, излагаемый в V??? книге, явился вершиной достижений китайских математиков в решении линейных задач. Алгоритм решения системы линейных уравнений с неизвестными, совпадает по существу с методом Гаусса.

Все операции здесь производятся на счетной доске. Говоря на современном языке, можно сказать, что применяется матрица, столбцы которой представляют уравнения, а строки-коэффициенты при неизвестных и свободные члены. Слово? фан-чэн? буквально означает выстраивание чисел по клеткам.

Пример из? Математического трактата Сунь-цзы?.

В 28-ой задаче? X книги трактата говорится, что два человека и получили неизвестное количество монет. Их надо определить из условия: если добавит половину монет или добавит монет, то в обоих случаях получится .

Для решения системы в правиле рекомендуется: ?Установи в правой строке 2 для А, 1 для В и 96 монет; установи в левой строке 2 для А, 3 для В и 144 монеты.

Таблица имеет вид:. (*)

В этом случае данную систему приводят к каноническому виду: освобождаются от дробных коэффициентов, а других случаях, приводят подобные члены, переставляют неизвестные по порядку, переносят из одной части уравнения в другую и т. п.

Таблицу (*) можно записать как:. Умножим второй справа столбец (*) на, получим. Вычитая элементы первого столбца из элементов второго столбца два раза, получим таблицу:,. Но можно было бы этого не

делать, т. е. вычесть из первого левого столбца второй:

.

Метод ?фан-чэн? близок к методу определителей, идею которого в Европе впервые высказал Лейбниц и которую развил Крамер (1750).

Пример из? Математики в девяти книгах? (между ??? в. до н.э. и? в. н.э.).

«Из 3 снопов хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 39 доу (мера объема зерна). Из 2 снопов хорошего урожая, 3снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 34 доу (зерна). Из 1 снопа хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 3 снопов плохого урожая получили 26 доу (зерна). Спрашивается, сколько (зерна) получили из каждого снопа хорошего, среднего и плохого урожая.

Решение Если обозначить количество зерна в снопах хорошего, среднего и плохого урожая соответственно то задача выражается системой:

Правило ?фан-чэн?.

Расположи 3 снопа хорошего урожая, 2 снопа среднего урожая, 1 сноп плохого урожая, составляющие (их) 39 доу (зерна) с правой стороны. Расположи посредине и слева количество снопов урожаев в таком же порядке, как и с правой стороны. Получим таблицу:, здесь же приведем современное расположение коэффициентов уравнения .

Числа среднего столбца умножь на количество снопов хорошего урожая в правом столбце и образуй остатки. И еще раз так же образуй остатки до тех пор, пока не исчерпается все до среднего урожая в среднем столбце. И снова образуем, остатки до тех пор, пока не исчерпается все до количества снопов среднего урожая в среднем столбце. И снова образуй остатки до тех пор, пока не исчерпается все до количества снопов плохого урожая в левом столбце.

Следует отметить, что знака для изображения нуля не было, и на счетной доске ему соответствовало пустое место в соответствующей клетке.

Верхнее (число) есть делитель, нижнее делимое, делимое для (искомого количества) снопов плохого урожая. Итак, .

Чтобы найти делимое для среднего урожая, нижнее составляющее среднего столбца умножь на делитель и вычти делимое из плохого урожая. Остаток объедини (термин? объединить и? в этом случае означает, что после того, как на счетной доске получены числа и, из них следует составить одно (объединить) число с количеством снопов среднего урожая, это и будет делимое для среднего урожая. Делитель для (?делитель? постоянный для всех, это — 36). Это число. Чтобы найти делимое для хорошего урожая, нижнее составляющее (количество) правого столбца также умножь на делитель, исключи делимые для плохого урожая и удвоенного среднего урожая, объедини остаток с количеством снопов хорошего урожая, это и будет делимое для хорошего урожая. Делимое для есть. Все делимые объедини с делителем, получатся искомые (количества) в доу.

. Также находят.

Ответ: из 1 снопа хорошего урожая доу,

Из 1 снопа среднего урожая доу,

Из 1 снопа плохого урожая доу.

Или ,

Задача.

2снопам хорошего урожая, 3 снопам среднего урожая и 4 снопам плохого урожая не хватает до 1 доу соответственно по 1 снопу среднего урожая, плохого урожая, хорошего урожая. Спрашивается, сколько (зерна) получили из каждого снопа: хорошего, среднего и плохого урожая.

Решение.

Получаем систему: .

Правило: составь таблицу? фан-чэн?, установи для каждого, то чего не хватает. По способу? чжэнфу? вычисляй:

.

Преобразование таблицы, состоящее в вычитании элементов третьего столбца из удвоенного первого, приводит к необходимости вычесть из? ничего? единицу:

.

(или), (или).

Ответ: из 1 снопа хорошего урожая получили доу,

Из 1 снопа среднего урожая получили доу,

Из 1 снопа плохого урожая получили доу.

Поэтому, в решении этой задачи формулируются правила сложения и вычитания отрицательных чисел — правила? чжэн-фу?.

1.7 Отрицательные числа Необходимым условием применения метода фан-чэн к системам уравнений было введение отрицательных чисел. Например, при решении системы, получаем таблицу .

Следующий шаг: вычитание элементов третьего столбца справа из элементов первого, приводит к появлению отрицательного числа: .

Еще не зная природы отрицательного числа, сначала просто добивались того, чтобы можно было довести до конца начатые вычисления согласно определенному алгоритму. Отрицательные числа выступают не только как разность двух положительных чисел, но и как отдельные элементы, т. е. самостоятельные объекты. Это и было решающим шагом в истории учения о числах.

Для отрицательных чисел были определены правила операций:

Правило ?чжэн-фу?: если одинакового названия, то вычитается; если разного названия, то прибавляется; если положительное без пары, то (становится) отрицательным, если отрицательное без пары, то (становится) положительным. Вот оно правило вычитания:

Если разного названия, то вычитается; если одинакового названия, то прибавляется; если положительное без пары, то (становится) положительным; если отрицательное без пары, то (становится) отрицательным.

Правило сложения:

Формулирование вычитания говорит о том, отрицательные числа произошли из этой операции.

Кроме сложения и вычитания, для которых были сформулированы правила, употреблялись также действия умножения и деления.

С изобретением отрицательных чисел, расширяется класс задач, решаемых при помощи табличного метода. Так, в задачах V??? книги? Математики в девяти книгах?, сначала появляются отрицательные непервые члены уравнения, затем первый член? свободный? член. Они получаются в результате приведения подобных членов и переноса членов из одной части уравнения в другую.

Постепенно китайские ученые пришли к истолкованию отрицательных чисел в качестве долга, недостачи и т. п. Так, решая систему уравнений с 3-мя неизвестными.

.

Получают число — 600, которое передано выражением «не хватило 600 монет» или «недостаток в 600 монет».

1.8 Начальные этапы развития тригонометрии Древнекитайский прием измерения высоты недоступного предмета. Из математического трактата о морском острове Лю Хуэя (??? в.).

Задача.

Наблюдают морской остров. Для этого установили пару шестов одинаковой высоты в. Предыдущий (шест) от последующего отделен на. (и — меры длины; примерно равна двойному шагу,).

Пусть последующий шест вместе с предыдущим находится на одной прямой (с островом). Если отойти по прямой от предыдущего шеста на, то глаз человека, лежащего на земле, будет наблюдать верхний конец шеста, совпадающий с вершиной острова. Если же отойти по прямой от последующего шеста на, то глаз человека, лежащего на земле, будет наблюдать верхний конец этого шеста, также совпадающим с вершиной острова. Спрашивается, какова высота острова и его расстояние от шеста?

Решение.

Взяв высоту шеста, умножь ее на расстояние между шестами, это делимое. Разность (между отступлениями) будет делителем, раздели на нее. К тому, что получится, прибавь высоту шеста, получится высота острова. Чтобы найти расстояние от предыдущего шеста до острова, надо (отступление) от предыдущего шеста, умножить на расстояние между шестами, это делимое. Разность между отходами будет делителем. Раздели на нее, получишь количество ли, на которое остров удален от шеста (ли — мера длины, равная 300 бу). Обозначим искомую высоту морского острова через H, искомое расстояние от предыдущего шеста до пика острова — через Д, высоту шестов — через h, расстояние между шестами — через d, а? отступления? от предыдущего и последующего шестов, соответственно, через a и b (рис. 1).

Получим две пары подобных прямоугольных треугольников, вертикальные катеты обеих пар этих треугольников равны H и h, горизонтальные катеты первой пары равны D + a и a, а второй — D+d+b и b. Из подобия первой пары треугольников, следует пропорция

;

из подобия второй пары — пропорция

.

и на основании первой пропорции,

В данном случае,, ,, , так, что

. Если записать пропорцию

как ,

то каждое отношение последней пропорции есть тангенс острого угла.

1.9 Квадратные уравнения В большинстве случаев китайцы сводили системы к линейным уравнениям. Например, система заменяется эквивалентным ей уравнением Мы бы, делали так: левую часть дополнили бы до полного квадрата и извлекли квадратный корень.

.

Китайцы делают так: пользуются подстановкой, которая возможно ранее применялась в Вавилоне.

Возводят в квадрат:

где из неполного квадратного уравнения получают .

1.10 Теоретико-числовые задачи Задачи, относящиеся к теории чисел: требуется найти число, которое при делении на 3, 5, 7 дает соответственно остатки 2, 3 и 2. Задачи такого типа возникли в теории календаря. Древнекитайский метод решения этих задач был вновь разработан Эйлером и Гауссом, которые не знали, что этой задачей занимались в Китае за полторы тысячи лет до них.

Другой популярной задачей была? задача о птицах?, также восходящая к V веку: сколько можно купить на 100 монет петухов, кур и цыплят — всего 100 птиц, если петух стоит 5 монет, курица-4 монеты, а 4 цыпленка -1 монету?

Ответ: 15 петухов, курица. 84 цыпленка.

Пусть X-петухов, Y-куриц, Z-цыплят. Составляем систему уравнений:

вычтем из второго уравнение первое, получим:

;

Аналогичные задачи встречаются также у индийского, египетского математика, самаркандского математика Ал-Каши (XV в.).

Математики Китая занимались также составлением так называемых магических квадратов, т. е. таким распределением последовательных натуральных чисел в квадратной таблице, при котором суммы чисел в каждом из столбцов и строк одинаковы, и, значит, равны

.

Китайские математики решили задачу о существовании целочисленных решений неопределенного уравнения:

.

Найденный ими закон составления троек? пифагоровых? чисел

позволял выделить множество прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами.

В V? книге? Математики в девяти книгах? имеется одна задача на арифметическую прогрессию: требуется найти члены прогрессии, состоящей из девяти членов, по сумме четырех первых и трех последних членов. Вопросами суммирования рядов занимались и позднейшие китайские математики. Так математик Шэнь-Ко (X? в.) подсчитал число предметов, образующих n-слойную ступенчатую усеченную пирамиду, в которой стороны прямоугольных слоев последовательно увеличиваются на единицу. Если в наименьшем слое ab предметов, то вом слое предметов и искомое число выражается суммой:

.

Предпосылки он не сообщает.

1.11 Геометрические задачи

?X книга? Математика в девяти книгах? посвящена геометрическим задачам, при решении которых применяется теорема Пифагора.

Предполагается, что теорема Пифагора была известна еще в V? в. до н.э. Доказательство этой теоремы было основано на чертеже, в силу которого квадрат, построенный на сумме катетов aи b прямоугольного треугольника, может быть представлен в виде суммы квадрата, построенного на разности этих катетов и четырех прямоугольников со сторонами a и b, и в виде суммы квадрата, построенного на гипотенузе c треугольника и четырех треугольников, равных данному, т. е.:

или

(рис. 2).

Китайцы умели определять выражение радиуса r круга, вписанного в прямоугольный треугольник, через заданные катеты a и b (рис. 3).

.

Значит, им были известны такие геометрические факты, как перпендикулярность радиусов в точках касания касательным, равенство отрезков касательных от точки касания до точки пересечения и т. д. В одной задаче рассматривается вписанный в круг прямоугольный треугольник, причем используется то, что угол, опирающийся на диаметр, прямой.

В ?-??? вв. китайские астрономы и математики, возможно, под влиянием идей, проникавших из Греции через Индию, занимались уточнением отношения окружности к диаметру. Астроном и философ Чжан Хен нашел, что квадрат длины окружности относится к квадрату параметра описанного около нее квадрата, как 5:8, что соответствует. Это приближение имеет погрешность менее 1%. Ученый полководец Ван Фань получил лучшее приближение. Методы этих вычислений нам неизвестны.

Лю Хуэй, рассматривая вписанные в круг правильные многоугольники, получил приближенное значение площади этого круга, что соответствует. Продолжив вычисление до Лю Хуэй получил более точное приближение, в десятичных дробях, равное. С еще большей точностью значение было вычислено астрономом, математиком и инженером Цзу Чун-Чжи, который в недошедшем до нас трактате доказал, что. Ему же принадлежит приближение, равное одной из подходящих дробей при разложении в непрерывную дробь. Точность этих вычислений была превзойдена только ал-Каши в XV веке, приближение нашел голландец В. Отто в 16 веке.

Математика Китая развивалась до 14 века преимущественно как совокупность вычислительных алгоритмов, предназначенных для решения на счетной доске некоторых классов задач арифметики, алгебры, геометрии. Важнейшим достижением китайских математиков было введение отрицательных чисел, которым они дали простейшее толкование.

Существовал культурный обмен между Китаем и Индией, Средней Азией, странами Ислама в 13−15 веках. Через Индию и страны Ислама математика Китая оказывала влияние на математику Европы, хотя многие важные открытия математиков Китая стали известны в Европе значительно позже того, как европейские ученые пришли к этим понятиям самостоятельно.

2. Математика Древней и Средневековой Индии Еще в середине III тысячелетия до н.э. в долине Инда существовала развития цивилизация, основанная первоначальным населением Индии.

К VII—V вв. до н.э. относятся первые индийские письменные математические памятники. В I тысячелетии до н.э. появляются священные книги брахманов «Веды» (знания).

В VII—VIII вв. труды Ариабхаты и Брахмагупты становятся известны в странах ислама и переводятся на арабский язык. Не позже IX в до н.э. была установлена связь Индии с Вавилоном.

В Южной Индии работают математики Магавира (IX в.), Бхаскара (XII в.).

Большинство научных трактатов индийцев написаны на санскрите — языке религиозных книг брахманов (т.е. священников). Только в XVII в. индийцы стали писать научные трактаты на разговорных языках.

Следует отметить, что наши сведения о математике древней и средневековой Индии весьма неполны.

Важнейшая из астрономо-математических трудов «сиддханты», т. е. «учения» была написана Брахмагуптой около 628 г. Она называлась «Усовершенствованное учение Брахмы» и состояла из 20 книг, большая часть которых была отведена астрономии, но 12-я книга посвящена арифметике и геометрии, а 18-я книга — алгебре.

Крупнейшему индийскому математику XII в. Бхаскаре принадлежит трактат «Венец учения», который состоит из четырех частей, из которых одна посвящена арифметике, другая алгебре, остальные две части астрономические.

2.1 Создание позиционной десятичной нумерации Счет целых чисел в Индии с древних времен носил десятичный характер. Санскрит — индоевропейский язык, родственный индоевропейским языкам Европы (для сравнения приведем числительные 1 — эка, 2 — дви, 3 — три). В названиях чисел применялся и аддитивный и субстрактивный принципы: например, 19 можно было назвать и девять — десять или без одного двадцать. В отличие от других индоевропейских языков, в санскрите существуют названия для 10n до n>50. Одной из первых нумераций, применявшихся в Индии, были цифры «карошти» которыми пользовались в Северной Индии со времени персидского завоевания до III в. н.э. вместе с сирийским письмом.

Начиная с VI в. до н.э. в Индии были широко распространены цифры «брахми». Здесь уже цифры брахми записывались слева направо, как индийское письмо. Отличием цифр брахми от карошти было наличие специальных знаков для чисел от 1 до 9. Эта особенность цифр брахми стала предпосылкой создания в Индии десятичной позиционной нумерации.

Первая известная нам запись с помощью цифр брахми, в которой применяются только первые девять цифр, а десятки и сотни обозначаются теми же цифрами, что и единицы, относится к VI веку н.э. Это дарственная запись от 595 года н.э., в которой 346-й год записан цифрами брахми 346. Нуля не было, вместо него на счетной доске оставлялся пустой столбец.

Наряду с цифровой записью в Индии широко применялась словесная система обозначения чисел. Нуль обозначался словами «пустое», «небо», «дыра»; единица — «луна», «земля»; двойка — «близнецы», «глаза», «ноздри», «губы»; четверка — «океаны», «стороны света» и т. д. Например: число 1021 записывали такими словами — «Луна — дыра — крылья — луна».

Одно из названий нуля — «шунья» (пустое) стало впоследствии основным. В VIII веке при переводе индийских учений на арабский язык, слово «шунья» перевели арабским словом «сыфр», имеющим то же значение. Слово «сыфр» при переводе арабских сочинений на латынь было оставлено без перевода в виде ciffra. Откуда происходит французское и английское название нуля zero, немецкое слово ziffer и наше слово «цифра», также первоначально означавшее нуль.

На судьбу нумерации значительное влияние оказали математики. В области вычислений требовались более удобные системы счисления и Ариабхата предложил записывать цифры санскритскими буквами.

Первое достоверное свидетельство о записи нуля относится к 876 г. Одни исследователи предполагают, что нуль был заимствован у греков, другие — у китайцев.

На основе цифр брахми вырабатывались современные индийские цифры (божественное письмо), применяющиеся в десятичной позиционной системе, от которой происходят десятичные позиционные системы арабов и европейцев.

Мы называем изобретенные индийцами цифры 1, 2, …9 и нуль арабскими, т.к. заимствовали их у арабов, но сами арабы называют эти цифры индийскими, а арифметику, основанную на десятичной системе — «индийским счетом» (Хисаб ал-Хинд).

2.2 Арифметика натуральных чисел и дробей Индийцы первые разработали правила арифметических действий, основанные на этой нумерации.

К основным арифметическим действиям индийцы относили: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в квадрат и куб, извлечение квадратного и кубического корней.

Вычисления индийцы производили на счетной доске покрытой песком или пылью, а то и прямо на земле. Числа записывались заостренной палочкой.

Для умножения существовало около десятка способов.

1 способ. В процессе умножения цифры множимого постепенно стирались, а на их месте записывались цифры произведения. Например, чтобы умножить 135 на 12 сначала писали

Перемножая 5 · 12 и стирая 5, получали и, сдвигая множитель, получили. Перемножая 3 · 2 и добавляя 6 к 6, стирали 6 и записывали на ее месте 2, а единицу держали в уме или записывали в стороне. Эту единицу прибавляли к произведению 3 · 1 и сумму 4 писали внизу вместо стертой тройки .

Далее перемножаются 1 · 2 и прибавляли 2 к 4 внизу, т. е. стирали 4 и на ее месте писали 6. И, наконец, 1 · 1 = 1, поэтому 1 внизу не стирали. В заключение стирали множитель, и на доске оставалось произведение 1620.

2 способ. Расчерчивается счетная доска на сетку прямоугольников. Каждый из которых разделен пополам диагональю, по сторонам сетки записывали множители, а промежуточные произведения писали в треугольниках и складывали их по диагоналям.

Пример. 12 · 135 2451 · 147 = 360 297

3 способ. Метод Татстха. После помещения множителя под множимым умножь единицы на единицы и помести результат внизу. Затем, умножь единицы на десятки, а десятки на единицы, сложи вместе и расположи результат внизу в линию. Затем умножь единицы на сотни, сотни на единицы, десятки на десятки, сложи вместе и помести результат, как прежде, и так поступай с остальными цифрами. После окончания процесса линия результата является произведением.

Пример.

.

Подчеркнутые цифры относятся к искомому результату.

Этот метод через арабов был перенесен в Европу, где появился в работе Луки Пачали (XV — XVI вв.)

Пример. 1435×457 628

Надо дописать перед первым числом два нуля:

(эту строку можно не выполнять).

Получим ответ: 656 696 180.

Другие методы умножения основаны на разбиении множимого или множителя на несколько слагаемых, чтобы легче производить умножение.

Пример: 1269 · 21 = (725 + 571) · 21 = 725· 21 + 571· 21 = 15 225 + 11 991 = 27 216.

Пример: 1296 · 21 = (1000 + 200 + 90 + 6) · 21 = 21 000 + 4200 + 1890 + 126 = 27 216.

Пример: 1223 · 235

Деление.

Пример: 33 152: 37

а)Разделим 331 на 37, получим 8, которые поместим над делимым, а разность 331 — 37· 8 = 331 — 296 = 35 запишем вместо 331.

б) Передвинем делитель на одно место вправо.

в) Разделим 355 на 37, получим 9. Поместим частное над делимым, а разность 355 — 37 · 9 = 355−333=22 поместим вместо 355.

г) Передвинем делитель на одно место вправо.

д) Разделим 222 на 37, получившееся частное 6 поместим над делимым. Т.к. разность 222 — 6· 37 = 0, то деление окончено. Стирают делитель. Частное равно 896.

Дроби В Индии дроби известны очень давно. Индийцы записывали дроби так, как это делается в настоящее время: числитель над знаменателем, только без дробной черты. Друг от друга дроби отделялись вертикальными и горизонтальными линиями.

Например, дробь записывалась. Эта запись встречалась и в позднегреческих папирусах и в китайских книгах.

Сложение обозначалось записью дробей рядом. Для обозначения вычитания употреблялись точка или знак + справа. Например, выражение изображали в виде В смешанной дроби целая часть помещалась над дробью:

Иногда целое число изображали дробью со знаменателем 1. Смешанная дробь представлялась в виде .

При умножении дроби записывали рядом:, а при делении одну под другой: или.

Как видно сложение и умножение дробей изображались одинаково. То же относится к делению целого числа, а на дробь, которое записывали так же, как смешанную дробь.

Правила действий над дробями почти не отличились от современных. Так Шридхара приводит правила: «После приведения дробей к общему знаменателю сложи числители»; «Произведение дробей равно произведению числителей, деленному на произведение знаменателей»; «Квадратный корень (дроби) равен квадратному корню числителя деленному на квадратный корень знаменателя» (Шридхара Патиганита «Физико-математические науки в странах Востока», 1966 г., вып. I (IV), стр. 163 — 164).

Для приведения к общему знаменателю индийские ученые сначала составляли произведение знаменателей всех множителей, а начиная с IX века пользовались уже их наименьшим кратным. Так поступал, например Шридхара.

Магавира приводит ряд правил, выражающих любую дробь в виде суммы нескольких дробей с числителем, равным единице.

Правило для разложения единицы на сумму нескольких единичных дробей:

«Когда сумма различных количеств, имеющих единицу своим числителем, равна 1, то знаменателями должны быть числа, которые, начиная с 1-го, последовательно умножаются на 3, а первый и последний знаменатели умножаются дополнительно на 2 и 2/3».

Т.е. (правило 75).

Правило разложения единицы на сумму нечетного числа единичных дробей:

«Когда сумма дробных количеств, имеющих единицу своим числителем, равна 1, то знаменателями должны быть числа которые, начиная с 2, возрастают на единицу, умножаются на последующий знаменатель и делятся пополам».

Т.е. (правило 77).

Магавира отмечает, что если есть данные числители, а сумма дробей равна, то знаменателями соответственно будут величины ;

;;. Действительно,

.

Если, то получим правило разложения единичных дробей.

Поэтому правилу Магавира решает следующий пример: сумма нескольких дробей, числители которых соответственно 7, 9, 3 и 13, равна 1, затем .

Назовите знаменатели в каждом случае.

Решение

.

Ответ: 8, 136, 340, 20.

При ,.

При, .

При, .

При, и т. д.

Самостоятельно. Найти для .

Правило (80). Если будет суммой нескольких дробей с числителями, равными 1, то первый знаменатель, гдепроизвольное число, подобранное таким образом, чтобы было целочисленным. Сумма оставшихся дробей будет равна.

.

Аналогично найдем остальные знаменатели.

Магавира излагает два способа разложения единичной дроби на сумму двух других единичных дробей.

1 случай. Знаменатель единичной дроби, умноженный на произвольно выбранное число, есть первый знаменатель, результат, деленный на произвольно выбранное число, уменьшенное на единицу, дробей другой знаменатель, т. е.:

.

Пример:

.

Второй способ: используется тогда, когда основной знаменатель можно разложить на произведение множителей.

.

Для того чтобы выразить любую дробь в виде суммы двух дробей, у которых числители известны, Магавира рекомендует поступать так:

.

Пример. ,

.

.

Единичные дроби часто встречаются у различных народов. Представление различных дробей в виде суммы единичных дробей имеет ряд практических задач, например, египтянами решалась задача: разделить семь хлебов между восемью людьми поровну. Для этого служило разложение.

.

Широко пользовались единичными дробями и греческие математики с IХ в н.э. математики стран ислама в частности ал-Хорезми и ал-Караджи. В средневековой Европе единичные дроби появляются в работах Жанардо Пизанского. У Магавиры среди нескольких примеров и задач имеется следующая: «Сумма, , частей некоторого числа равна. Каково число?».

Решается по правилу ложного положения: «Примем неизвестную величину за единицу, затем следует найти сумму указанных частей. Частное от деления известного числа на полученную сумму дает требуемое число».

Сумма частей равна .

Целесообразно сначала сложить 2-ой и 3-ий, а затем прибавить первый.

Задачи на пропорции В Индийских сочинениях встречаются задачи на простое и сложное тройное правило, пропорциональное деление, правило товарищества, правило смешения, простые и сложные %, прогрессии. Одни задачи имели непосредственное практическое значение, другие составлялись для упражнения и развлечения. При решении задач, которые выражаются уравнением ax = c, большое место занимало правило одного ложного положения. В анонимной рукописи VI — VIII вв., найденной в Северо-Западной Индии это правило применяется к задачам, приводящимся к уравнению ax +b = c. Решение имеет вид

где c1 = ax1 + b.

Более широкое применение имело тройное правило («трай — рашика» — буквально «три места»), состоящее в нахождении числа, составляющего с тремя данными числами a, b, c пропорцию .

Это правило было известно еще египтянам и грекам, но индийцы выделили его как специальный арифметический прием и разработали схемы, позволяющие применять его к задачам, содержащим несколько величин, связанных пропорциями. На тройном правиле были основаны индийские правила 5, 7, 9 и т. д. величин. Например, в правиле 5 величин требуется найти величину x по пропорциям. Ответ дается в виде:. Действительно,, , =>.

Индийцы пользовались также обратным тройным правилом, когда в задаче вместо прямой пропорциональности указывается обратная. Эти правила также были заимствованы у индийцев учеными стран ислама, а через них европейцами. В странах ислама правила 5, 7 и.т.д. величин были обобщены на любое нечетное число.

Правило семи величин:

.

Правило сложной пропорции.

«После перестановки результата из одной стороны в другую следует также поменять местами знаменатели. Перемножив полученные в каждой стороне числа, следует разделить сторону с большим числом числителей на другую сторону».

Задача. Со прибыль за 1/3 месяца составляет. Какова будет прибыль с за 8 без месяцев?

Две стороны таковы:

Сторона данного — 1/3,, ,

Сторона требуемого — 8-, , .

По индийскому образцу это записывается так:

Знак 0 означает неизвестное количество.

Переставим каждый результат из одной стороны в другую:

Переставим знаменатели:

Т.к. количество числителей в правой части больше количества числителей в левой, то разделим произведение числителей и знаменателей в правой части на произведение числителей и знаменателей в левой, получим:

.

2.3 Алгебраическая символика В Индии, как и в Вавилоне и Китае высокого расцвета достигли и алгебраические вычисления. Выдающимся достижением индийских математиков было создание развитой алгебраической символики. Эта символика была богаче, чем у Диофанта. Впервые появились особые знаки для многих неизвестных величин свободного члена уравнения, степеней. Сложение обозначалось знаком «йу» («йта» — сложенный), умножение — «гу» («гунита» — умноженный), деление — «бха» («бхага» — деленный).

Свободный член в уравнениях сопровождался первым слогом слова «рупа» (целый). Иногда неизвестная обозначалась знаком нуля, так как первоначально в таблицах, например пропорциональных величин, для нее оставлялась пустая клетка.

Вычитание обозначалось точкой над вычитаемым или знаком +справа от него (например, вычитание 5 обозначалось или 5 +). Знаки сложения и умножения опускались.

Обозначения степеней представляли собой сочетания слогов «ва» («варга» — квадрат), «гха» («гхана» — куб) и слова «гхата» — произведение, т. е. степени и неизвестные обозначались:

х2 — ва, х3 — гха, х4 = ва ва, х5 = ва гха гхата, х6 = ва гха, х7 = ва ва гха гхата, х8 = ва ва ва, х9 = гха гха.

Таким образом, для степеней показатели, которых имеют вид 2?, 3?, обозначения состоят из слога «ва», повторенного? раз, и слога «гха», повторенного? раз. Т. е. степени этого вида образуются по мультипликативному принципу. Обозначения степеней, показатель которых не представляется в таком виде, образуются по аддитивному принципу, причем слово «гхата» (произведение) означает, что степень такого типа представляет собой произведение степеней, суммой показателей которых является показатель этой степени.

Например: х5 = х2+3 = х2 · х3

Латинские переводчики в XII веке перевели арабское название корня латинским словом radix, откуда и происходят наши термины «корень» и «радикал».

Извлечение квадратного корня в Индии, как и в Китае, основано на разложении квадрата двучлена, но при этом (как и при извлечении кубического корня) не применялся метод Горнера.

Квадратный корень обозначался слогом «му» — от слова «мула».

Распространенный термин для неизвестной величины — это «йават — тават» (столько — сколько, «так много, как»). Cокращенно — «йа».

Знака равенства не было: обе части уравнения писали в виде строки так, чтобы одинаковые степени стояли друг под другом. Если неизвестная отсутствовала, то записывали ее знак с коэффициентом нуль.

Уравнение 10х — 8 = х2 + 1 записывали так:

йа ва 0 йа 10 ру

йа ва 1 йа 0 ру 1.

Уравнение: 8×3 + 4×2 + 10y2х = 4×3 + 12y2х записывали так:

йа гха 8 йа ва 4 ка ва йа 10

йа гха 4 йа ва 0 ка ва йа 12

Символы применялись и в учении о прогрессиях.

Индийские ученые сделали большой шаг в создании символической алгебры, хотя их обозначения были громоздки, а сами знаки имели сложное начертание.

2.4 Отрицательные и иррациональные числа Положительные числа трактовались индийскими математиками, начиная с Брахмагупты (VII в. н.э.), как имущество, а отрицательные как долг. В 850 году Магавира в своей книге «Краткий курс математики» пишет: «Квадрат положительного или отрицательного — числа положительные, их квадратные корни будут соответственно положительными и отрицательными. Т.к. отрицательное число по своей природе не является квадратом, то оно не имеет квадратного корня» (А.И. Валадарский. О трактате Магавиры «Краткий курс математики». «Физико-математические науки в странах Востока», 1968 г, вып., II (V), стр. 98 — 130).

Предполагается, что об отрицательных числах индийские ученые узнали в результате контактов с китайской наукой.

Во всяком случае, в Индии отрицательные числа не применялись при решении систем линейных уравнений. Индийцы применяли символ квадратного корня «му» не только к полным квадратам, но и к полученным квадратным иррациональностям.

Бхаскара с помощью правил:

и ,

заимствованных, быть может, у греков, производил преобразования квадратичных числовых иррациональностей и таким образом упрощал довольно сложные выражения. Например:

.= =.

Возможно, что исходными здесь были преобразования правой части. Некоторые преобразования, например,, могли использоваться для более удобного приближенного извлечения корней.

Такое свободное пользование иррациональностями также было воспринято в странах ислама, где Омар Хайям в XI веке предложил расширить понятия числа до того, что мы называем положительным иррациональным числом.

2.5 Извлечение квадратного корня Пример.. Разобьем число, начиная с единиц, на четные и нечетные места, обозначая их буквами ч — четные и н — нечетные.

Операцию начинают с последнего нечетного места, т. е. с 18. Вычтем наибольший квадрат, т. е. 16. Разность 18 — 16 = 2 запишем вместо 18, а удвоенный квадратный корень, т. е. 2 · 4 = 8, запишем под следующим четным местом:

8 (линия удвоенного квадратного корня) Разделим 26 на 8 и поместим 3 на линии удвоенного квадратного корня, а остаток 2 запишем вместо 26. Имеем:

Вычтем квадрат частного (т.е. 9) из нечетного места (т.е. из 26) и поместим удвоенное частное (т.е. 6) на линии удвоенного квадратного корня вместо частного, получим

Один цикл операции закончен.

Передвинем 86 на одно место вправо, получим:

Разделим 172 на 86, напишем частное 2 на линии квадратного корня, а 172 сотрем, т.к. разность 172 — 86*2 = 0

Имеем:

Вычтем квадрат частного (т.е. 4) из нечетного места (т.е. из 4), поместим удвоенное частое (т.е. 4) на линии корня вместо частного.

Процесс окончен. Последнее число разделим пополам. Получим число 432.

Приведем современный вариант извлечения квадратного корня из числа. Сначала разделим число на грани справа налево, так чтобы в каждой грани было по две цифры.

2.6 Линейные уравнения Наиболее ранняя индийская классификация уравнений относится к III в до н.э. и составлена в зависимости от степени уравнений: линейное, квадратное, кубическое, биквадратное. Однако Брахмагупта подразделяет уравнения не только степеням неизвестного, по и пао их числу (уравнения с одним неизвестным, с несколькими неизвестными и т. д.).

У Ариабхаты I имеется несколько задач, сводящихся к решению линейного уравнения с одним неизвестным. Одна из них связана с вычислением стоимости вещи, если известно, что два человека с первоначально равными капиталами имеют различное число вещей и различные оставшиеся после покупки суммы .

Задача сводится к решению уравнения .

Ариабхата дает следующее правило решения.

«Разность между известными суммами двух людей следует разделить на разность коэффициентов при неизвестных. Частное даст величину неизвестного, если общее капиталы равны».

Таким образом, .

Среди задач, приводящих к решению линейного уравнения с одним неизвестным известна задача, обошедшая в дальнейшем под названием «задачи о курьерах» мировую алгебраическую литературу, — она приводится и в нынешних школьных руководствах. В ней требуется определить время встречи двух небесных светил по данным скоростям V1, V2 и расстоянию S между ними.

Ариабхата сообщает решение:

при движении в одну сторону; если V1

.

О случае, когда встреча произошла в прошлом, Ариабхата не упоминает. Индийские математики и позднее не принимали в расчет отрицательные решения уравнений и для этого изменяли подходящим образом условия задач.