О некоторых вопросах качественной теории дифференциальных уравнений с производными Стилтьеса

В настоящей работе изучается уравнение вида X.

— pu'fl (x) + J ud[Q] = F (x) — F (0) — pu’fl (0) (0.0.1) о и соответствующая ему спектральная задача.

— ри'^х) + J ud[Q) = XJ udM] - pu'^Q) о о (0.0.2) u (0) = u{ 1) = 0.

Здесь p, Q, F — функции ограниченной вариации на отрезке [0,1], (j, М — строго монотонно возрастающие функции на [0,1]. Производная u’lL понимается как производная Стилтьеса, т. е. обращается интегралом Лебега-Стилтьеса. Обрамление d[Q] функции Q (x) квадратными скобками подчеркивает, что речь идет не просто об интеграле Стилтьеса, а о его специальном расширении. X.

При непрерывных Q (x) интеграл f ud[Q] совпадает с обычным интегралом о.

Римана-Стилтьеса, и тогда d[Q] = dQ. Если при этом в (0.0.1) функции Q, F окажутся гладкими, т. е. dQ = Q’dx и dF = F’dx, то обе части (0.0.1) могут быть на решении продифференцированы, и уравнение (0.0.1) примет вид где q = Q' и / = F'. Последнее уравнение оказывается совсем привычным при и' гладкой //, когда для производной и' справедливо равенство u’ft = -у. Так f^x что уравнение (0.0.1) и задача (0.0.2) в случае гладких параметров адекватны классической ситуации, изучаемой в теории Штурма-Лиувилля.

В настоящей работе допускается возможность наличия у параметров уравнения (0.0.3) особенностей как^{-образного} типа, так и более сильных, которые возникают, например, в случае разрывных решений, когда дельтообразные сингулярности присутствуют уже у первых производных, что усугубляется вторым дифференцированием.

Интегро-дифференциальная форма уравнения (0.0.1) и задачи (0.0.2) позволяют нам расширить класс объектов, обычно описываемых в рамках стандартной теории Штурма-Лиувилля, не применяя аппарата теории обобщенных функций Шварца-Соболева. За счет расширения понятия интеграла нам удается сохранить поточечное толкование как решений, так и соотношений, что в рамках теории обобщенных функций было бы невозможно. Таким образом, мы сможем говорить о нулях решений, об их числе, о количестве перемен знака и прочем, что откроет дорогу для точных аналогов осцилляционных результатов Штурма. Большинство классических результатов удается перенести па случай не просто негладких, но даже разрывных решений. Обсуждаемые нами вопросы допускают решения из класса /х-абсолютпо непрерывных (с разрывной, вообще говоря, //(•)) функций, производные которых u'/t имеют ограниченные вариации.

Актуальность темы

Изучению обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с обобщенными коэффициентами и соответствующей задачи Штурма-Лиувилля посвящено достаточно большое количество работ (например, [1], [8] - [11], [13] - [16], [30] - [33], [37, 48, 52, 53, 55, G0]). Решения со скачками производных описаны уже в классической монографии Ф. Аткинсова [1]. Достаточно тонкий анализ однородного уравнения вида (0.0.4) с обобщенными коэффициентами проводился в работах А. Д. Мышкиса [33], J. Kurzweil [30]. Более полную библиографию можно найти, например, у Ф. Аткинсона [1], А. Ф. Филиппова [55], С. Т. Завалищина и А. Н. Сесекина [15]. Из обширного числа работ особо отме.

-(ри'У + qiL^f.

0.0.4) (ри'У + qu — Хти и{ 0) = и (1) = 0.

0.0.5) тим публикации В. Я. Дерра [8, 9, 10, 11], Ю. В. Егорова [14], С. Т. Завалищина [1С], М. Г. Крейна [24, 3], А. Н. Сссекина [52], В. Dragovich [13], A.M. Савчука и А. А. Шкаликова [48].

Для физиков чрезвычайно интересен случаи, когда коэффициенты q, т уравнения (0.0.5) содержат импульсы, т. е. слагаемые типа J-функции. Заметим, что в случае стилтьесовской струны присутствие^{-слагаемых} у функции т — М' означает наличие сосредоточенных масс. Наличие же J-слагаемых у функции q — Q' означает присутствие сосредоточенных упругих опор типа пружинок. Подобное уравнение.

-(и')' = А тщ (0.0.G) где т есть обобщенная производная от неубывающей функции М (х), изучалось в 50-е гг. М. Г. Крейном и И. С. Кацем [23, 24]. М. Г. Крейн уравнение (0.0.G) трактовал в виде интегро-диффереициального уравнения z+0 и'+(х) = и'(0)-А J udM, о где и'+(х) — правая производная, и'(0) — число, служащее для продолжения правой производной влево от точки х = 0. Интерес к этому уравнению авторы [23, 24] мотивировали более ранними исследованиями Феллера [54], который в связи с задачей рассеяния (см. также комментарии в [1]) рассматривал уравнение.

— ЦЩ<{Х) = Хи{х)¦

При такой постановке для случая абсолютно-непрерывных решений авторам [23, 24, 54] удалось исследовать спектральную функцию.

Оказалось, что осцилляционные свойства Штурма не известны для задачи (0.0.5) даже в случае непрерывных решений, когда q = Q', т = М', где.

Q — неубывающая, M — строго монотонно возрастающая функции, Q' и М' — соответствующие обобщенные производные. Дело в том, что уравнения с обобщенными коэффициентами традиционно исследуются с позиции теории распределений (обобщенных функций) Шварца — Соболева. Однако в некоторых качественных вопросах теория распределений оказывается недостаточно эффективной вследствие потери локального (т.е. поточечного) характера классического обыкновенного дифференциального уравнения.

В 1999 г. Ю. В. Покорным был предложен [38] подход, позволяющий превратить уравнение (0.0.5) с обобщенными коэффициентами (q = Q', т = М') в поточечное, т. е. обыкновенное d. (1Q. (1М где символ обозначает дифференцирование в смысле Радона — Никодима по da некоей сг-мере, определяемой лишь внешними параметрами исходной задачи. В случае непрерывных решений для уравнений с подобными производными в работах [12, 39, 43, 44, 57] был построен достаточно полный аналог классической качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

Случай, когда у решений уравнения (0.0.5) допускается конечное число точек разрыва при условии регулярности коэффициентов q, т, изучался в работах [2, 59]. Осцилляционность спектра здесь была доказана путем переноса теории «ядер Келлога» .

В настоящей диссертации обсуждаются вопросы качественного анализа решений уравнения (0.0.4) и соответствующей задачи (0.0.5), включая информацию о переменах знака решений, о числе нулевых точек собственных функции, о простоте (алгебраической и геометрической) всех точек спектра, когда у коэффициентов q = Q', т = М' допускаются ^'-слагаемые, т. е. возможные скачки Q, М осложняются присутствием «^-слагаемых, а решения допускают бесконечно много точек разрыва (но не более чем счетно). В рамках классической осцилляционной теории подобный круг вопросов исследуется обычно с помощью хорошо развитых методов, восходящих к Штурму. Однако эти методы оказываются непригодными для обобщенных (по Шварцу-Соболеву) производных, исключающих локальную (поточечную) трактовку. Данную трудность мы обходим, следуя концепции Ю. В. Покорного, согласно которой уравнению (0.0.4) может быть придано поточечное представление d, , dQ dF где в обобщенное дифференцирование — вкладывается более узкий (по сраваа нению со случаем непрерывных решений) смысл, определяемый предложенной Ю. В. Покорным [38] расширенной трактовкой интеграла Стилтьеса, которую мы будем называть тг-иитегралом. Для более корректного восприятия уравнения (0.0.4), (0.0.5) будем рассматривать в интегро-дифференциальной форме (0.0.1) и (0.0.2) соответственно. Такой подход требует переноса на задачу (0.0.2) классических методов регулярной теории, что и делается в настоящей работе. Основой для переноса являются полученные в данной работе результаты, уподобляющие уравнение (0.0.1) обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка, включающие теоремы о разрешимости, вронекп-анную технику, теоремы Штурма о распределении и перемежаемости нулей и проч.

Используемому нами понятию производной Стилтьеса можно придать следующий вид: //-суммируемую функцию/(ж) будем называть производной Стилтьеса от функции F (x) и обозначать F', если на множестве полной /z-меры справедливо равенство х.

F (s) -Jf (s)Ms) = со, 1St, где интеграл понимается, но Лебегу-Стилтьесу. Последняя формула позволяет.

A F определять значения f (x) = F' в точке? либо как предел отношения ——,.

Ад либо пару односторонних пределов — левые и правые производные, если они различны, либо тройку чисел, которая получается добавлением промежуточного (между левым и правым) значения производной «собственно в точке равной отношению скачков ————-—. Подобная ситуация возникад (£ + 0) — д (£ - 0) ет, например, при дифференцировании функции Хевисайда0(ж) (равной 1 при х > 0 и 0 при х < 0) по ц (х) = х + 0(х), когда вместо привычного 0'(х) = 5(х) оказывается 0'fl = С (^)? гДе С 0е) = 0 ПРИ х Ф 0» 11 С (0) — 1.

Используя понятие 7г-интсграла, мы раскрываем уравнение (0.0.1) в сингулярных точках следующим образом. Пусть? — точка разрыва ц (х). Тогда уравнение (0.0.1) реализуется в виде двух равенств:

— А-ри-.(0 + - 0) A-Q (O = A.

— А+ри'Д) + «Й + 0) A+Q (O = A+F (0, где через A~z (?) обозначен левый скачок функции г в точке т. е. А~.г (?) = л (^) — — 0), а А±г (?) обозначает правый скачок функции z в точке т. е. ~(? + 0) — z (?). Если же в точке? функция fi (x) непрерывна, а одна из функций р, Q, F терпит разрыв, то уравнение (0.0.1) реализуется в точке? в виде равенства.

— дрм-4(0 + «(OAQCO = где через Az (?) обозначен скачок функции с в точке т. е. Az (?) = z (? + 0) — о).

Цель работы. Установить аналог классической качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для иптегро — дифференциального уравнения (0.0.1) и соответствующей задачи Штурма — Лиу-вилля (0.0.2).

Методика исследований. В работе используется аппарат теории меры, теории интеграла Лебега-Стилтьеса, идеи и методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории пространств с конусами.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

Установлена точная параллель классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка:

1. Доказан аналог теорем о непрерывной зависимости решений от начальных условий и спектрального параметра.

2. Доказаны аналоги теорем Штурма о перемежаемости нулей решений однородных дифференциальных уравнений.

3. Доказан аналог теоремы Пойа — Мамманы о представлении неосцилли-рующего дифференциального оператора в виде суперпозиции квазипроизводных.

4. Доказан аналог принципа Хикса.

5. Доказан аналог теоремы об осцилляционности спектра задачи Штурма-Лиувилля.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер.

Апробация работы. Основные результаты из всех разделов диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и совещаниях: Международная конференция, посвященная 103 — летию со дня рождения.

И.Г.Петровского, Москва, 1G — 22 мая 2004, Воронежских весенних математических школах «Понтрягинские чтенияXV» (2004 г.) и «Понтрягинские чтения — XVI» (2005 г.), па семинарах профессора Покорного Ю. В. в 2002 -2005гг, Научной сессии Воронежского государственного университета (2005 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [17, 18, 19, 20, 25, 40, 41, 42]. Из совместных работ [40−42]. в диссертацию включены только результаты автора.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения и четырех глав, изложенных на 113 страницах машинописного текста, списка цитируемой литературы из СО наименований на 7 страницах. Общий объем диссертации составляет 120 страниц.

1. Аткинсон, Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи: пер. с англ. / Ф. Аткинсон. — М.: Мир, 19G8. — 749 с.

2. Боровских, А. В. Системы Чебышева Хаара в теории разрывных ядер Келлога / А. В. Боровских, Ю. В. Покорный // УМН. — 1994. — Т.49, К0−3. -С.3−42.

3. Гантмахер, Ф. Р. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем / Ф. Р. Гантмахер, М.Г. КреГш. М.- J1.: Гос. изд-во техн.-теоретич. литературы, 1950. — 359 с.

4. Гливенко, В. И. Интеграл Стилтьеса / В. И. Гливепко. ОНТИ НКТП СССР, 193G. — 217 с.

5. Гулынина, Е. В. Принцип Хикса в теории линейных и нелинейных интегральных уравнений и краевых задач: дис. кан. физ.- мат. наук / Гулынина Елена Владимировна. Ставрополь, 2004. — 113 с.

6. Данфорд, И. Линейные операторы. Общая теория: пер. с англ. / II Дан-форд, Дж. Т. Шварц. М.: ИЛ, 19G2. — 89G с.

7. Данфорд, И. Линейные операторы. Спектральная теория: пер. с англ. / Н Данфорд, Дж. Т. Шварц. М.: ИЛ, 19GG. — 10G4 с.

8. Дерр, В.Я. К определению решения линейного дифференциального уравнения с обобщенными функциями в коэффициентах / В. Я. Дерр // Докл. АН СССР. 1988. — Т.298, Л" «2. — C.2G9−272.

9. Дерр, В. Я. Неосцилляция решений линейного квазидифференциальпого уравнения / В.Я. Дер]) // Изв. Ин-та математики и информатики УдГУ. Ижевск, 1999. — Выи.1 (1G). — С.3−105.

10. Дерр, В.Я. О решениях дифференциальных уравнений с обобщенными функциями в коэффициентах / В. Я. Дерр // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск, 1995. — Вып.1. — С.51−75.

11. Дерр, В.Я. О дифференциальных уравнениях с обобщенными функциями и С-интегральных уравнениях / В. Я. Дерр // Вестник Удмуртского университета. 2000. — Вып.1. — С.49-С0.

12. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю. В. Покорный, О. М. Пенкин, B. J1. Прядиев и др. М.: Физматлит, 2004 .- 268 с.

13. Dragovich, В. Обобщенные функции на аделях / В. Dragovich, Я.В. Рады-но, А. А. Хренников // Труды Воронежской математической школы «Пон-трягинские чтенияXI». Воронеж, 2000. — 4.1. — С.85−94.

14. Егоров, Ю. В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа / Ю. В. Егоров. М.: Наука, 1984. — 360 с.

15. Завалшцин, С. Т. Импульсные процессы: модели и приложения / С.Т. За-валищин, А. Н. Сесекин. М.: Наука, 1991. — 255 с.

16. Завалищин, С. Т. Формула Коши для линейного уравнения общего вида в обобщенных функциях / С. Т. Завалищин // Дифференциальные уравнения. 1973. — Т.9, Л*"6. — С.1138−1140.

17. Зверева, М.Б. О разрывах стильтьесовской струны / М. Б. Зверева // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронеж, весен, мат. шк. «Понтрягинские чтения XV», 3−9 мая 2004 г. — Воронеж, 2004. — С.96.

18. Зверева, М.Б. О функции влияния разрывной струны / М. Б. Зверева // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронеж, весен.мат. шк. «Понтрягинские чтения XVI», 3−9 мая 2005 г. — Воронеж, 2005.-C.G8-G9.

19. Зверева, М. Б. Принцип Хикса для разрывной струны / М. Б. Зверева // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронеж, весен, мат. шк. «Понтрягинские чтения XVI», 3−9 мая 2005 г.- Воронеж, 2005.-C.G7-G8.

20. Зверева, М.Б. О некоторых вопросах из качественной теории уравнений с разрывными решениями / М.Б. ЗвереваВоронеж, гос. ун-т. 2005. — 12 с. — Деп. в ВИНИТИ 02.06.2005, № 797-В 2005.

21. Камке, Э. Интеграл Лебега-Стилтьеса: иер. с нем. / Э. Камке. М.: Физ-матлит, 1959. — 328 с.

22. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: пер. с нем. / Э. Камке. М.: ИЛ, 1950. — 828 с.

23. Кац, И. С. Существование спектральных функций обобщенных дифференциальных систем второго порядка с граничными условиями в сингулярном конце / И. С. Кац // Математический сборник. 19G5. — T. G8 (110), № 2. -С.174−227.

24. Кац, И.С. О спектральных функциях струны / И. С. Кац, М. Г. Крейн // Дискретные и непрерывные граничные задачи / Ф. Аткинсон, М.: Мир, 19G8. — C. G 18−733.

25. Красносельский, М. А. Положительные решения операторных уравнений / М. А. Красносельский. М.: Физматгиз, 1962. — 394 с.

26. Красносельский, М. А. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов / М. А. Красносельский, Е. А. Лифшиц, А. В. Соболев. М.: Наука, 1985. — 256 с.

27. Курант, Р. Методы математической физики / Р. Курант, Д. Гильберт. -М.: Гостехиздат, 1951. Т.1. — 476 с.

28. Kurzweil, J. Generalized ordinary differential equations / J. Kurzweil // Czech. Math. J. 1958. — V.8. — P.360−388.

29. Левин, A.IO. Вопросы теории обыкновенного линейного дифференциального уравнения / АЛО. Левин // Вестник Ярославского университета. -1974. Вып.8. — С. 122−144.

30. Максимов, В.П. О некоторых обобщениях обыкновенных дифференциальных уравнений, краевых задач и их приложениях к задачам экономической динамики / В. П. Максимов // Вестник Пермского университета. 1997. -Выи.4. — С.103−120.

31. Мышкпс, А.Д. О решениях линейного однородного двучленного дифференциального неравенства второго порядка с обобщенным коэффициентом / А. Д. Мышкис // Дифференциальные уравнения. 1996. — Т.32, jY"5. -С.615−619.

32. Наймарк, М. А. Линейные дифференциальные операторы / М. А. Наймарк. М.: Паука, 1969. — 526 с.

33. Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной / И. П. Натансон. М.: Наука, 1974. — 480 с.3G. Никайдо, X. Выпуклые структуры и математическая экономика / X. Ни-кайдо. М.: Мир, 1972. — 518 с.

34. Pandit, S.G. Differential systems involving impulses / S.G. Pandit, S.G. Deo // Lect. Notes Math. 1982. — V.954.

35. Покорный, Ю. В. Интеграл Стилтьеса и производные по мере в обыкновенных дифференциальных уравнениях / 10.В.Покорный // Докл. АН. -1999. Т.364, № 2. — C.1G7−1G9.

36. Покорный, Ю.В. О дифференциалах Стилтьеса в обобщенной задаче Штурма-Лиувилля / Ю. В. Покорный // Докл. АН. 2002. — Т.383, № 5. -С.1−4.

37. Покорный, Ю.В. О задаче Штурма-Лиувилля для разрывной струны / Ю. В. Покорный, М. Б. Зверева, С. А. Шабров // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естественные науки. Математика и механика сплошной среды. -2004, — Спецвыпуск. C.18G-191.

38. Покорный, Ю. В. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с обобщенными коэффициентами / Ю. В. Покорный, С. А. Шабров // Труды математического факультета ВГУ (новая серия). 1999. — Вып.4. — C.84−9G.

39. Pokornyi, Yu.V. Toward a Sturm-Liouville theory for an equation with generalized coefficients / Yu.V. Pokornyi, S.A.Shabrov // Journal of Mathematical Sciences. Vol.119, № 6. — 2004. — P.7G9−787.

40. Радыно, Я. В. Функциональный анализ и интегральные уравнения / Я. В. Радыно, А. Б. Антонович. Минск. — 1984. — 351 с.

41. Рисс, Ф. Лекции по функциональному анализу: пер. с франц. / Ф. Рисс, Б. Секефальви-Надь. М.: Мир, 1979. — 588 с.

42. Рудии, У. Основы математического анализа: пер. с англ. / У. Рудин. М.: Мир, 197G. — 320 с.

43. Савчук, A.M. Операторы Штурма Лиувилля с сингулярными потенциалами / A.M. Савчук, А. А. Шкаликов // Мат. заметки. — 1999. T.GG.- Вып. G.- С.897−911.

44. Сакс, С. Теория интеграла / С. Сакс. М.: ПЛ., 1949. — 544 с.

45. Сапсоне, Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Дж. Сан-соне. М.: Госиноиздат, 1954. T.l. — 34G с.

46. Сансоне, Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Дж. Сан-соне. М.: Госиноиздат, 1954. Т.2. — 414 с.

47. Сесекин, А.И. О нелинейных дифференциальных уравнениях в классе функций ограниченной вариации / А. Н. Сесекин // Дифференциальные уравнения. 1989. — Т.25, № 11. — С.1925;1932.

48. Тонков, E. J1. К вопросу о неосцилляции линейной системы / Е. Л. Тонкой // Нелинейные колебания и теория управления. Ижевск, 1982. — Вели.4. — С. С2−74.

49. Feller, W. Generalized second order differential operators and their londitions / W. Feller // Illinois J. Math. 1957. V. l, №. — P.459−504.

50. Филиппов, А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А. Ф. Филлипов. М.: Наука, 1985. — 224 с.5G. Халмош, П. Теория меры: пер. с англ. / П. Халмош. М.: ИЛ, 1953. — 291 с.

51. Шабров, С.А. О краевых задачах с импульсными коэффициентами: дис.кан. физ.- мат. наук / Шабров Сергей Александрович. Воронеж, 2000. — 74 с.

52. Шилов, Г. Е. Интеграл, мера и производная (общая теория) / Г. Е. Шилов, Б. Л. Гуревич. М.: Наука, 1967. — 220 с.