Математические методы и модели

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине: Математические методы

На тему: Математические методы и модели

1 Анализ результатов эксперимента

1.1 Оценка надежности аналитической методики

1.2 Дисперсионный анализ результатов опытов

1.3 Аппроксимация результатов эксперимента

2 Описание многофакторной системы

2.1 Расчет линейного уравнения связи

2.2 Расчет полного квадратного уравнения

3 Расчет технологического аппарата

3.1 Определение типа химического реактора

3.2 Определение объема химического реактора Выводы СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ

Целью курсовой работы является выполнение расчетов, связанных с оценкой факторов, определяющих течение технологического процесса, получение его математического описания, выполнение статистического анализа имеющейся информации, определение параметров технологического процесса и промышленного аппарата с использованием типовых моделей структуры потоков.

Основная часть курсовой работы разбита на 3 раздела и включает 7 расчетных заданий. Выполняются следующие расчеты:

— оценка надежности аналитической методики по данным опыта;

— дисперсионный анализ результатов опыта;

— аппроксимация результатов эксперимента;

— расчет коэффициентов линейного уравнения (полинома I степени);

— расчет коэффициентов полного квадратного уравнения (полинома II степени);

— определение типа химического реактора по С-выходной кривой;

— расчет объема химического реактора.

1 АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА дисперсионный анализ линейный уравнение

1.1 Оценка надежности аналитической методики

1) Определение среднего значения выходного параметра:

где m — число параллельных определений;

2) Определение выборочной дисперсии, которая характеризует меру отклонения (рассеивания) результатов параллельных определений от их среднего значения:

где — число степеней свободы выборочной дисперсии;

;

3) Определение средней квадратичной погрешности отдельного или единичного измерения:

;

4) Определение средней квадратичной погрешности среднего арифметического результата:

;

5) Определение табличного значения критерия Стьюдента, который представляет собой нормированную погрешность:

где б — уровень значимости, показывающий допустимую долю (или процент) ошибок; в нашем случае принимаем значение б = 0,05 (или 5%);

6) Определение абсолютной максимальной погрешности опыта:

;

7) Определение относительной максимальной погрешности опыта, %:

;

Вывод: так как относительная максимальная погрешность опыта не превышает 5%, то аналитическую методику можно считать надежной и она может быть использована для определения параметра y в последующем эксперименте.

1.2 Дисперсионный анализ результатов опытов

m=4 n=4

1) Определение среднего значения параметра в каждом опыте:

где m — число параллельных определений в i-том опыте;

;

;

;

.

2) Определение выборочной (построчной) дисперсии для каждого опыта — меры отклонения результатов параллельных определений в каждом из опытов от соответствующей им средней величины:

где — число степеней свободы выборочной дисперсии;

;

;

;

;

.

3) Проверка однородности дисперсий и воспроизводимости опытов по критерию Кохрена:

;

;

;

.

Так как, то дисперсии однородны, а опыты воспроизводимы, т. е. выполнены с заданной степенью точности.

4) Определение внутригрупповой дисперсии — средней меры отклонения всей совокупности результатов параллельных определений от соответствующих им значений в каждом из опытов:

;

где n — число опытов;

;

Число степеней свободы внутригрупповой дисперсии:

;

.

5) Определение среднего значения параметра во всём эксперименте:

;

.

6) Определение межгрупповой дисперсии — меры отклонения средних значений параметра в опытах от среднего значения этого параметра в опытах от среднего значения этого параметра во всем эксперименте:

где — число степеней свободы межгрупповой дисперсии,

;

;

7) Определение критерия Фишера:

;

;

где б — уровень значимости;

;

.

Вывод: так как, то фактор X существенно влияет на систему.

1.3 Аппроксимация результатов эксперимента Исходные данные для аппроксимации результатов эксперимента:

Результат эксперимента описывается уравнением .

Так как уравнение нелинейное, проведем его линеаризацию. Для этого проведем замену переменной: .

В результате получаем данные для определения коэффициентов уравнения:

Линеаризованное уравнение имеет вид .

1) Графический метод.

Строим график зависимости y=f (x) (Рисунок 1):

По графику определяем:

Получаем уравнение .

2) Метод избранных точек.

Выберем 1-ю и 4-ю опытные точки и соответствующие пары значений х и у подставим в уравнение :

Вычтем 1-е уравнение из 2-го и получим:

Получаем уравнение .

3) Метод средних.

Подставляем поочередно в уравнение все шесть пар значений х и у, полученную систему дели на 2 части, каждые части уравнения почленно складываем:

Получаем уравнение .

4) Метод наименьших квадратов Составим расчетную систему уравнений:

Получаем уравнение .

2 ОПИСАНИЕ МНОГОФАКТОРНОЙ СИСТЕМЫ

2.1 Расчет линейного уравнения связи

Подставляя опытные данные в уравнение получим следующую систему:

Решаем систему линейных уравнений по методу Крамера. Определители 3-го порядка решаем разными способами (метод треугольников, разложение по элементам строки (или столбца) без зануления и с занулением):

Рассчитываем значения коэффициентов:

Линейное уравнение связи имеет вид

Данное уравнение справедливо для области исследования факторов

Построим линии равного отклика и :

2.2 Расчет полного квадратного уравнения

Полное квадратное уравнение для двух факторов имеет вид:

.

Подставляем исходные данные в полином II степени и получаем следующую систему:

Вычитаем первое уравнение из всех последующих с целью избавления от b0 и получаем следующую систему:

Чтобы избавиться от b1, домножаем 1-е уравнение сначала на (-2) и прибавляем 2-е и 4-е уравнение, затем на (-5) и прибавляем 3-е уравнение, далее на (-3) и прибавляем 5-е уравнение. Дальнейшие действия по избавлению от коэффициентов показаны сбоку от систем:

Ответ: полное квадратное уравнение имеет вид

.

3 РАСЧЕТ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО АППАРАТА

3.1 Определение типа химического реактора

Среднее время пребывания индикатора в системе:

мин.

Уравнение для расчета безразмерного времени:

.

Условная концентрация индикатора на входе:

где — интервал отбора проб.

Так как по условию задачи, то кг/м3.

Уравнение для расчета безразмерной концентрации:

.

В результате получаем безразмерные величины для построения С-выходной кривой:

Используя безразмерные величины, строим С-выходную кривую в равных масштабах по осям.

Согласно визуальной оценке С-выходной кривой аппарат следует модели идеального вытеснения (осложненной наличием диффузии).

Для окончательного вывода о типе реактора проведем статистическую оценку С-выходной кривой.

1) Определение размерной дисперсии:

;

.

2) Определение безразмерной дисперсии:

;

.

3) Определение обратной величины диффузионного критерия Пекле:

;

.

Так как, то реактор следует модели идеального вытеснения и является реактором вытеснения (Рисунок 3).

Рисунок 3 — Реактор вытеснения

3.2 Определение объема химического реактора В реакторе, соответствующем модели идеального вытеснения протекает реакция при константе скорости химической реакции, концентрации реагентов кмоль/м3, кмоль/м3. Степень превращения реагента равна %. Производительность реактора м3/с. Определить объем реактора.

1) Найдем конечную концентрацию реагента А:

.

2) Найдем конечную концентрацию реагента В через связь расходов реагентов:

Для уравнения расход реагента В в 2 раза больше расхода реагента А: .

Расход реагента А: кмоль/м3.

Тогда расход реагента В: кмоль/м3.

Отсюда: кмоль/м3.

Степень превращения реагента В:

%.

3)Установим размерность константы скорости химической реакции, использую уравнение скорости реакции по закону действующих масс:

;

;

.

4) Перед расчетом реактора вытеснения требуется установить связь между концентрациями реагентов. Для этого используем связь расходов:

.

В произвольный момент времени:

;

; .

5) Рассчитываем реактор вытеснения:

м3.

ВЫВОДЫ

1) Аналитическую методику можно считать надежной и она может быть использована для определения параметра у в последующих экспериментах, так как относительная максимальная погрешность опыта не превышает 5%;

2) Фактор Х существенно влияет на систему, так как расчетное значение критерия Фишера намного больше табличного;

3) Уравнение надёжно описывает опытные данные;

4) Линейное уравнение связи имеет вид ;

5) Полное квадратное уравнение (полином II степени) имеет вид ;

6) Реактор следует модели идеального вытеснения и является реактором вытеснения;

7) Полученный расчетом объем реактора равен 21,24 м³, соответствующий ему стандартный объем равен .

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Цаплина, С. А. Методы математического моделирования: учеб. пособие. — Архангельск: Изд-во Арханг. гос. тех. ун-та, 2011. — 88с.;

2 Стандарт АГТУ СТО 01.04−2005 «Работы студентов. Общие требования и правила оформления» 2013.