Математические методы исследования в экономике

Задача 1.2

Цех хлебозавода по производству муки заключил контракт с мини-пекарней о поставке ежедневно 300 кг ржаной и пшеничной муки, причем пшеничной — не менее 50%. Зерно, поступающее в цех, проходит в нем обмолот, помол и упаковку муки. Трудозатраты (в человеко-часах) на указанные операции представлены в таблице:

Себестоимость одного килограмма ржаной муки составляет 14 рублей, а пшеничной — 18 рублей.

Требуется найти оптимальный план производства продукции, позволяющий цеху выполнить условия контракта с наименьшими затратами.

Решение.

Пусть x₁ — объем производства ржаной муки, x₂ — объем производства пшеничной муки. Тогда задача может быть описана в виде следующей модели линейного программирования:

Заполним данные в среде Microsoft Excel

Добавим в таблицу еще одну строку (например, строку 9 План), в которую будут вноситься получаемые в ходе решения результаты. Объем производства ржаной муки будем предполагать получить в ячейке В9, пшеничной муки — в ячейке С9, а затраты на себестоимость — в ячейке D7.

Для решения задачи необходимо также выделить столбец (в данном примере — столбец D), в который будут введены формулы для расчета значений левой части ограничений. Формула вводится также и в ячейку, в которой будет рассчитаны затраты на себестоимость предприятия (ячейка D7). Нужно обратить внимание на то, что в формулах используются не числа или символьные обозначения, а координаты ячеек таблицы, в которых хранятся эти числа и переменные.

D3= СУММПРОИЗВ (B3:C3;$B$ 9:$C$ 9)

D4= СУММПРОИЗВ (B4:C4;$B$ 9:$C$ 9)

D5= СУММПРОИЗВ (B5:C5;$B$ 9:$C$ 9)

D7= СУММПРОИЗВ (B7:C7;$B$ 9:$C$ 9)

D9=B9+C9

Для запуска процедуры оптимизации в меню Сервис необходимо выбрать пункт Поиск решения. В поле Установить целевую ячейку вводятся координаты ячейки (D7), которую необходимо минимизировать.

В поле Изменяя ячейки вводятся координаты ячеек (разделенные запятыми или объединенные в интервал двоеточием), в которых содержатся значения переменных — объемов производства ржаной и пшеничной муки. Изменяемые ячейки должны быть прямо или косвенно связаны с целевой ячейкой. В поле Ограничения необходимо ввести все граничные условия задачи:

При этом ограничения на неотрицательность переменных можно ввести путем установки флажка Неотрицательные значения в окне Параметры. В случае, если решаемая задача является задачей линейного программирования, лучше отметить это в окне Параметры соответствующим флажком:

Запуск процесса оптимизации производится нажатием кнопки Выполнить. По окончании счета появляется диалоговое окно Результаты поиска решения. Нажав в нем соответствующую кнопку, можно сохранить найденное решение или восстановить исходные значения. Изменения при этом коснутся как целевой ячейки, так и влияющих ячеек. В этом же диалоговом окне можно указать необходимые типы отчетов, которые будут размещены на отдельных листах книги.

Отчет Результаты отражает исходные и результирующие значения целевой и влияющих ячеек, а также сведения о наложенных ограничениях.

Таким образом предприятию необходимо выпустить 150 кг ржаной муки и 150 кг пшеничной муки, тогда минимальная себестоимость выпуска составит 4800 человеко-часов, при этом ресурсы на обмолот и помол будут использованы полностью, а ресурсы на упаковку останутся в избытке в количестве 185 человеко-часов.

Задача 2.2

Руководство птицефабрики имеет возможность закупать корма трех видов. Из этих кормов птицы должны получать питательные вещества (П1, П2, П3 и П4), требуемое количество которых и содержание в кормах (в ед.) приведены в таблице:

Цены за 1 т кормов составляют соответственно 1000, 900 и 800 рублей.

Какие корма и в каком количестве следует закупать, чтобы затраты птицефабрики оказались минимальными?

Решение.

Решение: обозначим за x₁ количество корма К1, за x₂ — количество корма К2, за x₃ — количество корма К3. Тогда:

Подготовим в Microsoft Excel таблицу для решения задачи:

Поскольку Microsoft Excel позволяет путем установки соответствующего флажка автоматически определять неотрицательность переменных, добавление ограничений на неотрицательность в модель при решении задачи в Microsoft Excel не является обязательным.

Введем в таблицу формулы для расчета левых частей ограничений и целевой ячейки:

Е4= СУММПРОИЗВ (B4:D4;$B$ 12:$D$ 12)

Е5=СУММПРОИЗВ (B5:D5;$B$ 12:$D$ 12)

Е6=СУММПРОИЗВ (B6:D6;$B$ 12:$D$ 12)

Е7=СУММПРОИЗВ (B7:D7;$B$ 12:$D$ 12)

Е8=СУММПРОИЗВ (B8:D8;$B$ 12:$D$ 12)

Целевая ячейка Е10=СУММПРОИЗВ (B10:D10;$B$ 12:$D$ 12)

Ограничения запишутся так Запустим модуль Поиск решения и произведем расчеты

В ходе расчетов получим следующие результаты: оптимальный рацион должен содержать 3,125 ед. корма К1, 4,6875 ед. корма К2 и 0,1875 корма К3. При этом стоимость рациона будет составлять 7493,75 руб.

Задача 3.1

Один из цехов фабрики по пошиву изделий из кожи раскраивает поступающие заготовки для получения 5 видов деталей одним из трех возможных способов. Из одной заготовки получают:

Требуется получить не менее 48 деталей вида А, не менее 32 деталей вида В, не менее 45 деталей вида С, не менее 17 деталей вида D и не менее 24 деталей вида Е.

Какое минимальное количество заготовок нужно раскроить?

Решение.

Обозначим за x₁ количество заготовок, разрезаемых по способу 1, за x₂ — количество заготовок, разрезаемых по способу 2 и т. д.Используя модель линейного программирования с минимизацией расхода материала, получим:

Подготовим таблицу в Microsoft Excel, содержащую исходные данные задачи, введем формулы для расчета целевой функции и левой части ограничений, заполним форму модуля Поиск решения:

Решение

Таким образом, необходимо раскроить 1 заготовку способом I, 1 заготовку способом II, 8 заготовок способом III.

Задача 4.2

Гражданин О. Бендер хочет приобрести некий мебельный гарнитур, стоимость которого 100 тыс. рублей. Администрация аукциона согласна на выплату в рассрочку, с условием, что 20 тыс. руб. О. Бендер выплатит через 2 месяца, а остальную сумму — через 4 месяца.

Однако О. Бендер, справедливо полагая, что найти требуемую сумму ему не удастся, хочет получить средства путем вложения денег по одному из типов вклада: А (сроком на 1 месяц под 1,5%), В (сроком на 2 месяца под 3,5%) или С (сроком на 4 месяца под 8%).

Какую сумму и по какому типу вклада нужно вложить О. Бендеру, чтобы через 4 месяца купить гарнитур?

Необходимо минимизировать размер целевого фонда.

Решение:

Составим таблицу, отражающую возможности вложения и возврата денег по месяцам:

где: Ai — размер вклада типа A в месяце i; Bi — размер вклада типа B в месяце i; Ci — размер вклада типа C в месяце i;

Задача может быть описана следующей моделью:

Функция minimize возвращает вектор значений переменных, являющихся аргументами целевой функции, при которых ее значение будет минимальным. В первой колонке — порядковый номер переменной, начиная с нулевого, по очередности упоминания. Во второй — соответствующие значения переменных.

При необходимости, присвоив переменным полученные значения, можно рассчитать и значение целевой функции.

Задача 5.2

Четыре фермерских хозяйства, находящиеся в Рязанской, Владимирской, Тверской и Смоленской областях, направляют выращиваемые овощи и фрукты на переработку и консервацию на один из трех заводов, которые расположены в Москве, Туле и Ярославле.

Затраты на перевозку 1 т продукции представлены в таблице (в рублях):

В сезон Рязанское хозяйство производит 40 т продукции в неделю, Владимирское — 50 т, Тверское — 60 т, Смоленское — 70 т, в то время как завод в Москве может переработать в неделю 100 т продукции, в Туле — 50 т, в Ярославле — 40 т.

Составьте план перевозок продукции из фермерских хозяйств на заводы с минимальными транспортными расходами, учитывая, что в связи с ремонтом трассы Москва-Рязань в неделю по ней можно перевезти не более 20 т продукции.

Решение:

В данной задаче количество выращиваемых продуктов, на 30 т больше, чем могут переработать заводы. Сведем задачу к замкнутому виду, добавив фиктивного пятого поставщика.

Модель рассматриваемой задачи выглядит так:

Заметим, что в целевую функцию не введены штрафы за нереализацию продукции в связи с их отсутствием в условии задачи.

Для того, чтобы удовлетворить требованию вместо Московского завода введем двух других.

Один из них, под именем Московского завода будет иметь потребности, то есть возможности в переработке в количестве 20 т и с теми же стоимостями перевозок, а второй с возможностью 100 — 20 = 80 и с теми же стоимостями перевозок, за исключением с₁₅, которую примем равной сколь угодно большому числу, например, 1 000 000 000.

После нахождения оптимального плана объемы перевозок в Москву необходимо прибавить к объемам перевозок Потребителя 2

В результате исходная задача примет вид

Решим задачу при помощи модуля Поиск решения:

Целевая ячейка D19 =СУММПРОИЗВ (B2:F5;B12:F15)

Получаем решение С учетом ограничений на трассу Москва-Рязань окончательно получаем план перевозок

И окончательную стоимость

20*500+10*400+60*400+10*600+50*600+40*300 = 86 000 у.е.

Задача 6.2

Фирма получила заказ на срочный перевод четырех книг с итальянского языка. Фирма может располагать услугами 5 переводчиков, способных выполнить работу такого уровня. Время в днях, за которое каждый переводчик справится с работой, приведено в таблице:

Фирма использует повременную оплату труда. Переводчики имеют разную квалификацию, поэтому за день работы фирма платит Иванову 700 рублей в день, Петрову — 800 рублей в день, Сидорову — 600, Андрееву — 500, Васильеву — 550. Поскольку по оценке фирмы качество переводов в итоге будет примерно одинаковым, руководство фирмы просит Вас составить такое распределение работ, которое позволит минимизировать затраты на переводы.

Решение.

Составим модель линейного программирования, отражающую условие:

Решим задачу при помощи Microsoft Excel:

При решении задач о назначении особый интерес вызывает способ ввода ограничений при заполнении формы модуля Поиск решения и формулы целевой функции:

Проведенные расчеты показывают, что минимальное общие затраты на перевод составили 48 800 рублей. Назначение переводчика для перевода книги определяется наличием на пересечении строки и столбца значения 1.

Книгу 1 — Петров Книгу 2 — Иванов Книгу 3 — Васильев Книгу 4 — Андреев