Математический анализ

1. Найти следующие пределы

точка функция дифференциальное исчисление а)

Решение:

Числитель и знаменатель разделим на наивысшую степень —

= =

б)

~ .

~

2. Найти производные функций, заданных в явном и неявном виде

3. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее график

Решение:

1.

2. y (x) непрерывна на D (y).

3. Наклонные асимптоты:

Асимптот нет

4. Точки экстремума

Приравняем производную к нулю

не существует в точке x = 0.

5. Точки перегиба

Точек перегиба нет

не существует в точке x=0

6. Точки пересечения с осями

Ох: у=0,

x = 0, x =1

(0,0) (1,0)

Оy: x = 0, у=0 (0,0)

7. График функции:

Найти градиент функции Z в точке М

Рассматривая у как постоянную величину, дифференцируем функцию по переменной х.

.

Аналогично, рассматривая х как постоянную величину, получаем:

.

Находим значения частных производных в точке :

Таким образом,

Ответ:

5. Вычислить неопределенные интегралы

Замена:

=

При t:

При :

A=1, B=-1

=

Зам а:

.

Разложим правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей:

.

Приводя дроби к общему знаменателю и приравнивая числители, получим:

При :

При :

При :

При :

A=-1, B=2, C=1, D=-2

6. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций, вокруг оси OX (2.11−2.15)

.

.