Теоретические и вычислительные аспекты магнитостатических методов контроля качества изделий

На практике большое значение имеет проблема неразрушающего контроля. Для проверки качества готовых изделий и полуфабрикатов из ферромагнитных материалов наряду с другими способами контроля широко используются магнитные, — точнее, магнитостатические, — методы [1−4]. С их помощью можно решить три основные задачи неразрушающего контроля: (а) -тестирование изделия на предмет существования в нём так называемых дефектов, т. е. макроскопических областей с резко отличающейся структурой, наличие которых оказывает существенное влияние на его механические свойства (дефектоскопия) — (б) — выявление отклонений в структуре материала, из которого изготовлено изделие (структуроскопия) — (в) — измерение основного размера изделия, например, толщины пластины, диаметра прутка, радиуса шара (толщинометрия) [1−3]. Принципиальная возможность разрешения каждого из этих вопросов связана с тем, что доступное изучению результирующее поле намагниченного объекта зависит от его физических свойств и геометрической формы. Изучение характерных особенностей такого влияния и составляет основную задачу магнитного контроля.

Задача магнитного контроля успешно решается экспериментальными методами, теоретический же подход к этой проблеме позволяет указать экспериментатору верное направление в исследованиях и значительно сократить их объём. Начало построения теории электромагнитных методов проверки качества изделий главным образом обязано трудам В. К. Аркадьева [5], Р. И. Януса [6−9], С. В. Вонсовского [10]. Значительный вклад в дальнейшее развитие теории внесли работы А. Б. Сапожникова [3,11,12], Ф. Фёрстера [13−15] и других учёных [16−24].

Теоретические аспекты магнитостатических методов контроля и составляют предмет настоящей диссертационной работы.

В основе физической модели магнитных методов контроля лежат магнитостатические уравнения, которые представляют из себя частный случай фундаментальных законов и уравнений макроскопической электродинамики [25−27]. При условии стационарности в отсутствии электрического поля система уравнений Максвелла может быть записана в следующей форме [27]: гоШ = Т СНУВ = О,.

1) где В — магнитная индукция, Н — напряжённость магнитного поля, j0 -объёмная плотность токов-источников внешнего поля. Магнитная индукция и напряжённость магнитного поля связаны между собой соотношением.

В = 1{Н, г.

2.а) или, как ещё часто пишут.

2.6) где [Л{) — Ак ¦ 10 7 Гн / м — магнитная постоянная, // - характеристика среды (магнитная проницаемость), которая в общем случае имеет тензорный вид и зависит от координат и векторов поля. Когда имеется несколько сред, рассматривается соответствующее количество систем типа (1)-(2) с условиями сопряжения векторов поля на границах их раздела 5 для тангенциальной составляющей вектора напряжённости Нт и нормальной составляющей вектора магнитной индукции Вп.

Можно использовать альтернативную формулировку магнитостатической задачи, если от дифференциальных уравнений перейти к интегральным [28−31]. Векторные интегро-дифференциальные уравнения дают возможность поставить задачу в более компактной форме, поскольку они автоматически удовлетворяют граничным условиям (3). Стоит заметить, что и основные результаты в плане исследования магнитостатической задачи получены именно на основе подхода интегральных уравнений. Помимо этого, данная формулировка оказывается более удобной при численной реализации решения. В последнее время интегральные уравнения достаточно часто используются при решении электродинамических задач. Итак, задача (1)-(3) полностью эквивалентна уравнению:

Я (г) = Й°(г) + УсИУ — г>-1 Щг')с1г';

4) где геЯ3, а =.

4 71 г —г.

— функция Грина. Исследуемый объект занимает область П с магнитной проницаемостью // (в П (Л —), ограниченную достаточно гладкой поверхностью Г. Требование гладкости означает, что в каждой точке Г существует определённая нормаль. Полагают, что токи-источники внешнего поля имеют плотность и локализованны в области, причём П П О0 = 0. При этом напряжённость внешнего поля.

Н° определяется по закону Био-Саварра [26].

Вывод интегральных уравнений электромагнитного поля и доказательства выполнения граничных условий можно найти в [28], а конкретно для 6 магнитостатического случая, — например, в [29−31]. В нашей работе мы будем придерживаться именно этой постановки.

Для того, чтобы конкретизировать задачу, необходимо задать модель источников внешнего поля, определится с геометрией изделия и с характеристиками его физических свойств.

Обычно при решении магнитостатических задач стороннее поле либо считается заданным, либо вычисляется исходя из определенной модели токовой системы, в качестве которой используют какую-нибудь комбинацию токовых проводов различной геометрической формы. Толщиной провода, как правило, пренебрегают. Эта задача решается достаточно легко [32,33].

Геометрическую модель контролируемого изделия обычно стремятся подобрать таким образом, чтобы достичь хотя бы частичного разделения переменных в уравнениях и удобнее удовлетворить условиям сопряжения векторов поля на границе раздела сред. Часто оказывается целесообразным выбирать такие геометрические модели как полупространство, плоскопараллельная пластина, бесконечный круговой или эллиптический цилиндр и т. д. [3]. Для моделирования дефекта внутрь выбранной области вводят полости различной конфигурации, что, конечно, усложняет задачу и зачастую делает её неразрешимой аналитически.

Для того, чтобы удовлетворить запросам практики, при решении задач необходимо учитывать нелинейность связи (2.а) между напряжённостью магнитного поля и магнитной индукцией. Поскольку завершённой теории этого вопроса пока не существует, зависимость (2.а) имеет смысл брать из опыта. Функция / в (2.а) вообще говоря не является однозначной и определяется целым рядом факторов: свойствами материала, из которого изготовлено изделие, его геометрической формой, особенностями предыдущей магнитной, тепловой и механической обработки [5,34,35]. В расчётных задачах магнитного контроля, как правило, работают с основной (коммутативной) кривой намагничивания, для которой / является однозначной функцией. Учёт 7 нелинейности зависимости индукции от напряжённости магнитного поля приводит к таким вычислительным трудностям, что практически во всех расчётах используют соотношение (2.6), полагаяⁱ —const [3]. Недостатки такого допущения очевидны. Как указывал ещё C.B. Вонсовский, оно может быть приемлемым только для прямолинейных или почти прямолинейных участков кривой намагничивания [10]. К достоинствам же можно отнести то обстоятельство, что что постановка задачи стновится намного проще. Это преимущество, однако, несколько сомнительно ввиду того, что даже для случая /а = const уравнения остаются далеко не элементарными, и их аналитическое решение получено лишь для крайне ограниченного числа моделей объектов контроля и источников внешнего поля.

В математическом плане исследование любой поставленной задачи сводится к поиску функционального класса, в котором обеспечивается существование и единственность её решения. Положительный ответ на этот вопрос даёт возможность судить о степени надёжности тех результатов, которые мы хотим получить, а, кроме того, часто помогает определиться с выбором метода решения.

В работах [36,37] на основе методов классической теории потенциала [38] для ограниченных областей доказана корректность линейной магнитостатической задачи (// = const). Исследование нелинейной задачи проводится на основе сравнительно недавно разработанного метода монотонных операторов [39−41], либо исходя из классического принципа сжимающих отображений [42], применение которых к исследованию данной задачи можно найти в работах [43−47] и [29,48] соответственно. В практических расчётах часто используются неограниченные модели реальных объектов контроля, и для такого случая вопрос существования и единственности решения ещё требует своего обоснования как для линейных, так и для нелинейных сред. 8.

Теперь кратко остановимся на основных результатах, связанных с решением магнитостатической задачи, и, в частности, на тех, которые имеют отношение к проблеме магнитного контроля.

Все задачи условно можно разделить на две группы. Первую составляют те, при постановке которых принимается предположение об однородности свойств среды {? — const). На начальном этапе задачи магнитной дефектоскопии решались для безграничных областей с полостями правильной геометрической формы (бесконечный круговой или эллиптический цилиндр, шар, эллипсоид вращения), при этом предполагалось, что внешнее поле однородно [3]. Методом изображений были получены точное решение задачи об однородно намагниченном полупростанстве [19] и приближённое решение для однородно намагниченной пластины [20] со сквозным цилиндрическим дефектом.

В настоящее время расчёты в основном проводятся путём моделирования поверхностных и внутренних дефектов комбинацией магнитных зарядов. С реализацией данного подхода можно ознакомится, например, в [17,18,23,24,4951]. При этом обычно высказываются определённые аргументы в пользу выбора координатной зависимости плотности магнитных зарядов на гранях дефекта (обычно полагают, что она постоянна). Данные расчёты скорее относятся к разряду приближённых модельных подходов и не обладают необходимой общностью. Поэтому имеет смысл обратиться к решению подобных задач с более последовательных позиций, не принимая, хотя и разумных, но излишних предположений на начальном этапе постановки. В данном случае придётся обратиться к машинным подходам, которые для электродинамических уравнений разработаны достаточно хорошо [58], но пока не нашли широкого применения в магнитной дефектоскопии.

Как отмечал H.H. Зацепин [16], достаточно актуальной практической проблемой является развитие теории линейной магнитостатики для случая неоднородного намагничивания. Им же были получены общие решения 9 основной магнитостатической задачи для полупространства, пластины и бесконечного кругового цилиндра в неоднородном внешнем поле. Дополнительная работа в этом направлении является весьма полезной, поскольку подобные решения вполне можно получить и для областей иной геометрической формы. Аналитические решения помимо общепознавательной и прикладной ценности представляют из себя надёжный материал для тестирования численных алгоритмов.

Результаты работы с нелинейной задачей магнитного контроля более разрознены. Продвижение в этом направлении главным образом сдерживалось отсутствием надлежащего математического исследования данной задачи. В работах [11,59−64] можно ознакомиться с основными достигнутыми результатами, полученными с помощью различных приближённых методов. К сожалению, зачастую остаётся открытым вопрос законности применения некоторых из задействованных в этих работах подходов, т.к. не проводится необходимое математическое обоснование. В этой связи для тестирования результатов приближённого решения также неплохо было бы заручиться надёжными тестовыми примерами, с помощью которых можно было бы проводить оценку точности вновь создаваемых сложных численных алгоритмов.

Таким образом, можно сделать вывод, что несмотря на несомненную ценность предыдущих теоретических исследований, многие вопросы требуют дополнительного рассмотрения.

В данной диссертационной работе представлены следующие основные результаты, которые и выносятся на защиту.

1. Доказана теорема существования и единственности решения линейной и нелинейной задач магнитостатики для неограниченных моделей реальных тел в предположении квадратичной суммируемости внешнего поля по объёму этих тел. На частном примере полупространства показано, что решение также принадлежит классу интегрируемых с квадратом по объёму полупостранства.

10 вектор-функций. Полученные результаты справедливы и для двумерных задач магнитостатики.

2. Получено точное решение задач о полупространстве и пластине в поле приставного электромагнитаприводятся некоторые практические результаты расчётов, которые могут быть пригодны для магнитной толщинометрии.

3. Получены точные решения магнитостатической задачи для бесконечного эллиптического цилиндра и несоосных круговых цилиндров {¡-л — const) без упрощающего предположения об однородности внешнего поля. Показано, что некоторые ранее полученные результаты являются прямым следствием предложенного общего решения.

4. Разработан алгоритм численного решения двумерных задач магнитой дефектоскопии, основанный на методе сеток, проведено его тестирование на точно решаемых задачах и дана апостериорная оценка погрешности численного решения. С его помощью решены две конкретные задачи о нахождении поля (а) — бесконечной пластины, содержащей дефект в виде эллиптического цилиндра с произвольным углом наклона к поверхности пластины- (б) — ограниченной пластины с цилиндрическим дефектом. Выявлен ряд практически важных закономерностей.

5. Получено точное решение основной задачи магнитостатики для шара в однородном внешнем поле с использованием конкретной модельной зависимости магнитой проницаемости от координат. Рассмотрены основные закономерности формирования результирующего поля в данном случае.

Кратко остановимся на структуре диссертации.

В первой главе проводится рассмотрение основной задачи магнитостатики (/i = const) для бездефектных областей. В первую очередь приводятся доказательства существования и единственности решения для бесконечных моделей реальных тел. Затем даются решения задач об эллиптическом цилиндре в неоднородном внешнем поле и о пластине в поле приставного электромагнита.

Вторая глава посвящена решению рассмотрению областей, содержащих дефекты. Приводится аналитическое решение задачи магнитостатики в бицилиндрических координатах, рассматриваются основные следствия и перспективы дальнейшего использования полученных результатов. Описывается алгоритм численного решения задач магнитного контроля, с помощью которого затем решаются задача о пластине с произвольно ориентированным дефектом в виде бесконечного эллиптического цилиндра, а также задача о пластине конечного сечения с дефектом в виде кругового цилиндра.

В третьей главе расмматриваются одна неоднородная и одна нелинейная задачи магнитостатики, которые допускают получение точного решения. При этом сначала приводятся доказательство существования и единственности решения нелинейной задачи, имеющее силу для неограниченных и ограниченных моделей реальных тел. Затем — точное решение задачи магнитостатики для шара, находящегося в однородном внешнем поле с модельной зависимостью магнитой проницаемости от координат в виде Iи (г) = с0 ехр (аг) — точное решение нелинейной задачи об однородно намагниченном шаре.

В заключении подводится краткий итог проделанной работе и обозначаются аспекты дальнейших исследований.

Диссертация выполнена под руководством доктора физико-математических наук В. В. Дякина и доктора технических наук В. А. Сандовского. Основные результаты изложены в работах [65−69] и доложены в тезисах доклада на XIX Уральской региональной конференции «Контроль технологий, изделий и окружающей среды физическими методами», Уфа, 2000, 30 мая-2 июня.

Все расчёты выполняются в системе единиц СИ.

Основные результаты и выводы можно сформулировать следующим образом.

1. Для часто используемых при практических расчётах неограниченных моделей реальных тел доказана теорема существования и единственности решения основной задачи магнитостатики при условии, что поле внешних источников тока квадратично суммируемо по объёму этих тел. На частном примере полупространства показано, что и окончательное решение также принадлежит классу квадратично суммируемых функций. Результаты справедливы как для трёхмерных, так и для двумерных задач магнитостатики. Приведённое доказательство обосновывает правомерность использования неграниченных моделей для решения целого ряда магнитостатических задач вообще и задач магнитного контроля в частности.

2. Получено точное решение двумерной задачи магнитостатики при ¡-л — const в плоских эллиптических координатах при произвольном внешнем поле. Дстоверность результатов общего решения обоснована путём предельного перехода к ранее решённым задачам.

3. Получено точное решение задачи о пластине, помещённой во внешнее поле приставного электромагнита. Результаты могут быть использованы для решения обратной задачи магнитной толщинометрии по определению толщины пластин и толщины неманитных покрытий.

4. Приведено точное решение однородной задачи магнитостатики в бицилиндрических координатах (область, ограниченная несоосными.

109 цилиндрами в неоднородном двумерном внешнем поле). Путём предельного перехода, превращающего внешний цилиндр в плоскость, а область в полупространство со сквозным цилиндрическим отверстием, установлено соответствие полученных результатов с уже имеющимися.

5. На основе метода сеток разработан алгоритм численного решения задач магнитной дефектоскопии. Алгоритм протестирован на точно решаемых задачах, показана практическая сходимость результатов решения при увеличении плотности разбиения контуров интегрирования и оценены погрешности машинного эксперимента, возникающие как за счёт дискретизации, так и за счёт ошибок округления при приближённых вычислениях с плавающей точкой. Показано, что при надлежащих условиях ошибка не превосходит 2%. С помощью этого алгоритма решены две задачи магнитной дефектоскопии и выявлен ряд типичных зависимостей поля дефекта от параметров поставленных задач.

6. Доказана теорема существования и единственности решения нелинейной магнитостатической задачи в предположении, что среда изотропна, а связь между намагниченностью и напряжённостью поля задаётся основной кривой намагничивания. Полученное доказательство имеет силу как для ограниченных, так и для неограниченных моделей реальных тел в двумерных и трёхмерных задачах магнитостатики.

7. С целью расширения базы для проверки сложных алгоритмов численного решения магнитостатических задач получено точное решение одной неоднородной задачи о шаре с модельной зависимостью магнитной проницаемости от координат вида ¡-Л = /и{г) = с0 ехр (скг). Построены поверхности постоянного потенциала, иллюстрирующие влияние неоднородных свойств среды на особенности формирования поля такого объекта. Методом последовательных приближений решена задача о шаре с нелинейной зависимостью магнитной проницаемости от поля.

Дальнейшие перспективы в работе можно связывать с рассмотрением более реальных задач о телах с ограниченными дефектами различной формы. В случае, когда магнитая проницаемость предполагается постоянной, здесь можно использовать подход, основанный на преобразовании интегрального уравнения к виду, содержащему нормальную составляющую поля только на поверхности дефекта. При этом в зависимости от геометрической формы моделирующей изделие области будет изменятся ядро уравнения. Такой подход может значительно повысить эффективность численных расчётов.

Помимо этого остаётся актуальным направление, связанное с разработкой надёжных алгоритмов решения ноднородных и нелинейных задач магнитного контроля. В качестве инструмента здесь имеет смысл использовать либо метод последовательных приближений, либо метод конечных элементов.

В заключении хотелось бы выразить глубокую благодарность научным руководителям В. В. Дякину и В. А. Сандовскому за ценные уроки, полученные в ходе деятельности под их руководством, а также за постоянную помощь в работе над диссертацией.

Ill.

Заключение

.

Не смотря на то, что проблема развития теоретических и численных подходов к решению задач магнитного контроля имеет свою давнюю историю, она и на сегодняшний день является достаточно актуальной. Рассмотрению некоторых аспектов этого научного направления и была посвящена настоящая диссертационная работа.