Пусть:
- — Т — длительность периода времени, на котором реализуется запас;
- — х — реализуемые значения спроса на промежутке времени[0;Т];
- — F (x) — соответствующая функция распределения спроса на [0;Т];
- — f (x) — плотность распределения спроса на [0;Т].
Тогда в классической постановке задача определения наилучшего объема запасов применительно к соответствующей вероятностной оптимизационной модели имеет вид.
q min.
при ограничении.
1-Рдоп F (q),.
где Рдоп — допустимая граница для вероятности дефицита;
q — объем создаваемого запаса.
ЭКОНОМИЧЕСКИЕ или ЛОГИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Введем, дополнительно, следующие обозначения (применительно к ситуации, когда значение реализуемого спроса на [0;Т] составляет х):
- — h (q-x) — избыточные расходы на хранение за период;
- — v (q-x) — компенсация убытков продажей остатков запаса в случае, когда xq;
- — c (q) — расходы по созданию запасов на указанный период.
Тогда средние ожидаемые расходы (обозначим их через L (q)) на хранение и штрафы составят. При этом задача оптимизации объема создаваемых запасов имеет вид L (q)+c (q)> min. q ?0
Оптимальный объем запаса q=q* находится далее обычными методами как точка минимума функции L (q)+c (q) в области q>0.
Соответствующая задача оптимизации с учетом временной стоимости денег Для моделей указанного типа, в рамках которых дополнительно требуется учесть временную стоимость денег (или временную структуру процентных ставок) введем следующее обозначение. А именно, пусть rТ далее обозначает ставку наращения применительно к периоду времени [0;Т], причем длительность такого промежутка времени известна. Принимая, что все необходимые затраты по созданию такого одноразового запаса и его хранению соотносятся с началом соответствующего периода времени [0;Т], получаем следующее. Вид функций h (q-x) и c (q) при такой модификации модели можно оставить без изменения (т.е. таким же, как и для рассмотренной выше задачи оптимизации уровня создаваемого одноразово запаса). Кроме того, принимая, что денежные поступления от компенсации убытков продажей остатков запаса (случай xq) соотносятся именно с концом такого периода времени, видим, что потребуется следующая модификация указанных функций. А именно, функции v (q-x) и p (x-q) применительно к модели учета временной стоимости денег (например, по схеме простых процентов) уже должны быть соответственно модифицированы. Обозначим такие модифицированные функции далее через vВС (q-x) и pВС (x-q) соответственно. Тогда, если rТ — ставка наращения для периода времени [0;Т], то для указанных модифицированных функций имеем:
vВС (q-x)= v (q-x)/(1+ rТ),.
pВС (x-q)= p (x-q)/(1+ rТ).
