Матричный метод решения линейных уравнений. 
Аналитическая геометрия

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3
• Задание 4
• Задание 5
• Задание 6
• Задание 7
• Задание 8
• Задание 9

Задание 1

Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить ее:

а) по формулам Крамера;

б) с помощью обратной матрицы (матричным методом);

в) методом Гаусса.

.

Решение

1) Вычислим:

— система совместна;

Найдем x, y, z по формулам Крамера:

.

Иак, получаем ответ (3;-2;1).

2) Составляем матричное уравнение ,

где, , .

Найдем все алгебраические дополнения матрицы A:

Составляем матрицу и транспонируем ее:

.

Запишем обратную матрицу:

.

Следовательно,

.

Итак, получаем ответ (3;-2;1)

3) Решим систему методом Гаусса:

.

Тогда

Ответ: (3;-2;1).

Задание 2

По координатам точек А, В и С для указанных векторов найти:

а) модуль вектора; б) скалярное произведение векторов и; в) проекцию вектора на вектор; г) координаты точки M, делящей отрезок l в отношении: , и, ,, ,, , .

Решение Найдем векторы

1) .

2) .

3) Проекция вектора на вектор равна:

.

Тогда .

4) Координаты точки М, делящей отрезок l в отношении, находятся по формулам:

.

Значит, M (;;).

Задание 3

Даны векторы. Показать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, найти координаты вектора в этом базисе: (2;0;8;5), (-10;3;0;2), (-3;5;-1;-6), (-1;-7;9;0), (33;-4;23;3).

Решение

Векторы (2;0;8;5), (-10;3;0;2), (-3;5;-1;-6), (-1;-7;9;0) образуют базис, так как:

.

Обозначим координаты вектора в новом базисе. Тогда в новом базисе будем иметь:

.

получим систему уравнений:

.

Вычислим:

— система совместна;

Найдем x, y, z, q по формулам Крамера:

;

.

Итак, получаем ответ .

Задание 4

Даны вершины, и треугольника.

Найти: 1) длину стороны АВ; 2) внутренний угол, А в радианах с точностью до 0,001; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину С; 4) уравнение медианы проведенной через вершину С; 5) точку пересечения высот треугольника; 6) длину высоты, опущенной из вершины С; 7) систему линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника АВС. Сделать чертеж.

Решение

Рисунок 1

1) ;

2); .

По теореме косинусов:

.

Тогда угол A равен 29,5.

3) Уравнение стороны АВ запишем, используя уравнение прямой, проходящей через точки А (), В ():

.

Тогда .

Уравнение прямой АВ примет вид: .

Так как СН перпендикулярна АВ, то .

Тогда .

4) Так как CM — медиана, то точка M — середина AB. Значит,

или .

Уравнение прямой CM примет вид: .

5) Уравнение стороны АС запишем, используя уравнение прямой, проходящей через точки А (), С ():

.

Тогда .

Уравнение прямой АС примет вид:

.

Так как BK перпендикулярна АC, то

.

Тогда .

уравнение матрица предел производный Прямые BK и CH пересекаются в точке O, найдем ее координаты. Для этого решим систему:

.

Тогда O (0;5) — точка пересечения высот исходного треугольника.

6) Прямые AB и CH пересекаются в точке H, найдем ее координаты. Для этого решим систему:

.

Тогда H ().

Значит, .

7) Уравнение стороны BС запишем, используя уравнение прямой, проходящей через точки B (), С ():

.

Тогда .

Уравнение прямой BС примет вид:

.

Cистемa линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника АВС, примет вид:

.

Задание 5

а) Составить уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка перпендикулярно к этому отрезку, если, .

б) Найти координаты точки пересечения прямой

с плоскостью .

Решение а) ;

;

- уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка перпендикулярно вектору (отрезку).

б) ;

t=-2

Отсюда координаты точки пересечения прямой и плоскости (-3;-4;0).

Задание 6

Найти пределы:

а) ;

б)

;

в) ;

г) .

Задание 7

а) Найти производные указанных функций:

;

б) Найти производную неявно заданной функции:

;

;

;

;

в) Найти производные функций, используя логарифмическую производную:

;

.

Задание 8

Исследовать функцию и построить ее график: .

Решение

1. Область определения функции .

2. Функция ни четная, ни нечетная; непериодическая.

3. График функции пересекает ось Oy в точке, точки пересечения с Oх —; .

4. Производная функции равна. Точки, подозрительные на экстремум:; x=0, х=2.

При, тогда функция возрастает;

при — функция убывает;

при, тогда функция возрастает.

Следовательно, в точке функция достигает своего максимума; в точке функция достигает своего минимума .

5.. Вторая производная существует всюду и всюду конечна: она обращается в нуль при .

При — функция выпуклая, при — функция вогнутая. При переходе через точку вторая производная меняет знак, значит, в соответствующей точке имеется перегиб.

6. Функция не имеет асимптот.

7. Инструментами программы MathCad построим график заданной функции:

Задание 9

Мотком проволоки длиною 20 м требуется огородить клумбу, имеющую форму кругового сектора. При каком радиусе круга площадь клумбы будет наибольшей?

Решение

Площадь клумбы (кругового сектора) равна

где .

Длина дуги, ограничивающей сектор, равна .

Тогда .

Отсюда .

Получаем функцию

.

Вычислим производную первого порядка:

.

Найдем R из уравнения

: .

При ,

тогда функция возрастает;

при — функция убывает. Следовательно, в точке функция достигает своего максимума .

Таким образом, радиус круга должен быть равен 5 м, чтобы площадь клумбы была наибольшей.

Ответ: 5 м.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике. — М., 1977, 872 с. с илл.

2. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц. — М.: Издательство «Наука» (Главная редакция физико-математической литературы), 1966. — 576 с. с илл.

3. Гусак, А. А. Справочное пособие по решению задач: аналитическая геометрия и линейная алгебра. — Мн.: ТетраСистемс, 1998.

4. Гусак, А. А. Справочное пособие по высшей математике / А. А. Гусак, Г. М. Гусак, Е. А. Бричикова — 4-е изд. Стереотип. — Мн.: ТетраСистемс, 2002.

5. Кузнецов, А.В., Кузнецова, Д.С., Шилкина. Е.И. и др. Сборник задач и упражнений по высшей математике. Общий курс. Учебное пособие. Мн., Выш. шк., 1994 г. 284 с.

6. Руководство к решению задач по высшей математике: Учеб. пособие. В 2ч. Ч.1,2 / Г. И. Гурский, В. П. Домашов, В. К. Кравцов, А. П. Сильванович; Под общ.ред. Г. И. Гурского — Мн.: Высш.шк., 1990.