Классы Харди, мультипликаторы Фурье и квадратичные функции

Актуальность темы

В последние десятилетия 20 века в теории классов Харди был разработан новый аппарат, основанный на методах вещественного анализа и повлекший за собой значительные результаты. Описание вещественных классов Нр, 0 < р < 1, в терминах различного рода максимальных операторов и атомных разложений прояснило свойства функций из этих классов и в то же время предоставило универсальные средства для оценки сингулярных интегральных операторов. Это привело к новым утверждениям о мультипликаторах Фурье. Отметим лишь следующий замечательный факт, имеющий прямое отношение к содержанию диссертации и обнаруженный в середине 1980;х годов Рубио де Франсиа и Бургейном: «половина» неравенства Харди-Литтлвуда (верхняя /^-оценка для соответствующей квадратичной функции) сохраняется при 1 < р < 2 для любого разбиения спектра на интервалы.

Возможности этих новых методов отнюдь не исчерпаны, а многие важные вопросы ожидают своего решения. В упомянутой выше теореме Рубио де Франсиа и Бургейна неясно было, например, как обстоит дело при 0 < р < 1 (полный ответ дан в диссертации, при этом существенную роль в доказательстве играют атомные разложения). За пределами шкалы Нр, впрочем, и о самих атомных разложениях было известно недостаточно: среди классов Харди-Лоренца Нм при р Ф q результат имелся лишь для р = 1, q = оо (в диссертации этот пробел до некоторой степени восполнен). Выяснилось также, что даже в таком классическом утверждении, как теорема Марцинкевича о мультипликаторах, можно получить новую информацию, относящуюся к показателю р = 1.

Все сказанное свидетельствует об актуальности выбранной темы.

Цели работы. 1. Доказательство теоремы об атомном разложении для пространств Харди-Лоренца Я1'9 при 1 < q < оо.

2. Поиск (и доказательство) вариантов теоремы Марцинке-вича о мультипликаторах Фурье в случае показателя р, равного 1.

3. Доказательство аналога неравенства Литтлвуда-Пэли для произвольных интервалов в случае показателя р Е (0,2].

Общая методика работы. В работе применялись методы анализа Фурье и комплексного анализа, использовалась теория интерполяции. Использовались также классические результаты функционального анализа.

Основные результаты работы. Впервые получено атомное разложение для пространств Харди—Лоренца H1, q при 1 < q < оо. Впервые доказан вариант теоремы теоремы Марцинкевича для показателя р = 1, утверждающий, что оператор, рассматриваемый в классической формулировке, отображает пространство Н1(Ш) в пространство Н1'°°(Ж). Изучение вопросов, связанных с неравенством Литтлвуда-Пэли для произвольных интервалов, привело к распространению результатов Л. Рубио де Франсиа и Ж. Бургейна на случай произвольного показателя р? (0,2]. Доказательство основано на атомных разложениях пространств Нр и теории сингулярных интегральных операторов и позволяет рассмотреть весь указанный интервал значений р единообразно, ранее техника, применяемая при р > 1 (Рубио де Франсиа) существенно отличалась от того, что проделал в случае р = 1 Бургейн.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы в близких вопросах анализа Фурье. Ряд утверждений также может быть применен при исследовании ограниченности сингулярных интегральных операторов на различных классах функциональных пространств.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по математическому анализу ПОМИ РАН и СПбГУ, а также на международной конференции «Новые тенденции в комплексном и гармоническом анализе», 7−12 мая 2007 г., Восс, Норвегия.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в трех научных статьях [19, 20, 21]. Две статьи опубликованы в журналах, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения и трех глав. Нумерация разделов, формул, лемм и следствий ведётся отдельно для каждой главы.

1. J. Garcia-Cuerva, J. L. Rubio de Francia // Weighted norm inequalities and related topics / -North-Holland: 1986.

2. R. Fefferman and F. Soria // The space Weak H1 / -Studia Mathematica 85, No. 1 (1986), — P. 1−16.

3. F. J. Ruiz and J. L. Torrea // Calderon-Zygmund theory for operator-valued kernels / — Advances in mathematics 62, — No. 1 (1986), P. 1−46.

4. A. Torchinsky // Real-variable methods in harmonic analysis / — Academic Press: 1986.

5. Стейн И. // Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций /— Мир, М.: 1973.

6. Stein Е. М. // Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals / —Princeton University Press, Princeton, New Jersey: 1993.

7. Rubio de Francia J. L. // A Littlewood-Paley inequality for arbitrary intervals / — Rev. Mat. Iberoamer., — No. 1 (1985), — P. 1−13.

8. Bourgain J. // On square functions on the trigonometric system / Bull. Soc. Math. Belg., — Vol. 37, — No. 1 (1985), — P. 20−26.

9. Kislyakov S. V. // Fourier coefficients of continuous functions and a class of multipliers / — Ann. Inst. Fourier, — Vol. 38, — No. 2 (1988), P. 147−184.

10. Трибель X. // Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы / — Мир, Москва: 1998.

11. S. V. Kislyakov, Q. Xu // Interpolation of weighted and vector-valued Hardy spaces / — Trans. Amer. Math. Soc., — Vol.343, No. 1 (1994), — P. 1−34.

12. Б. С. Кашин, А. А. Саакян // Ортогональные ряды / — Наука, Москва: 1984.

13. Зигмунд А. // Тригонометрические ряды / — Т. 1, Мир, Москва: 1965.

14. Bourgain J.// Vector-valued singular integrals and the #J-BMO duality./ In: Probability Theory and Harmonic Analysis, J. A. Chao and W. A. Woyczyriski (eds.) Pure and Appl. Math., M. Dekker, New York and Basel: 1983.

15. Koosis, P.// Introduction to Hp Spaces/1.ndon Mathematical Soc. Lecture Notes, — Series 40, — (1980).

16. Fefferman, C., Stein E. M.// Hp Spaces of several variables/- Acta Math, T. 129 (1972).

17. Привалов И. И.// Граничные свойства аналитических функций./ М.- Л.:. ГИТТЛ, 1950. 7.

18. Stein Е. М., Weiss, G.,// Introduction to Fourier Analysis on Euclidian Spaces/ — Princeton Univ. Press, Princeton N.J. (1971)ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

19. Кисляков С. В., Парилов Д. В.// О теореме Литлвуда-Пэли для произвольных интервалов/ Записки научных семинаров ПОМИ. СПб.: 2005. Т. 327. С. 98−113.

20. Парилов, Д. В.// Две теоремы о классах Харди-Лоренца Я1'9/ —Записки научных семинаров ПОМИ. — СПб.: 2005 — Т. 327 С. 150−167.

21. Кисляков С. В., Парилов Д. В.// О сингулярных интегралах, связанных с неравенством Литлвуда-Пэли для произвольных интервалов/ —Записки научных семинаров ПОМИ. СПб.: 2007. Т. 345. С. 113−119.