Обратная задача рассеяния для одномерного оператора Шредингера с медленно убывающим потенциалом

Исследование обратных задач спектрального анализа является вот уже более тридцати лет одним из наиболее важных и плодотворных направлений математической физики. При их решении получен ряд существенных результатов как с точки зрения спектральной теории, так и с точки зрения приложений к физическим задачам. Особый интерес к обратным задачам вызвало открытие в 1967 г, Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой метода «обратной задачи рассеяния» решения ряда нелинейных уравнений математической физики.

Рассмотрим одномерный оператор Шредингера (оператор Штурма?-Лиувилля).

I) с вещественным потенциалом удовлетворяющим условию оо.

2).

Используя уравнение Лиувилля A.

L^x + j вещественных нетрудно показать, что уравнение вещественных Л^О решение дением при X —* -+ о показать, что уравнение имеет при енных ^ 0 решение зо следующим при X —* -+ ©-о зо следующим повеимеет при всех.

Аналогичным образом устанавливается существование решения с таким поведением при X — ^.

Эти решения называются решениями Йоста.

При Л^О пары функций е+(Я>х) и е~(Хх)э образуют фундаментальные системы решений, следовательно, е+(Хх) = а (X) е~С, х) + BftKU,*),.

Вводя обозначения й = Ш^ХиХ'Х.уд), M^CVUcax)), I можно убедиться с помощью соотношений (3), что имеет место зависимость.

U =? Г, где 5 =, aCX)4, su (30 = eCXVaCX), $л00 = - &(-W/aOM.

Матрица.

ЗСМ называется &—матрицей оператора Н. Обратная задача теории рассеяния (ОЗР) для рассматриваемого оператора при отсутствии точечного спектра состоит в а) восстановлении потенциала поматрице и б) отыскании необходимых и достаточных условий, которым должна удовлетворять матрица.

5 а) чтобы быть Рматрицей некоторого оператора Шредин-гера с вещественным потенциалом, удовлетворяющим условию (I). В общем случае, когда у оператора И имеется точечный спектр, та же задача ставится для так называемых данных рассеяния, которые состоят из элементов £-матрицы и набора констант — нормировочных коэффициентов, характеризующих соответствующие собственные функции.

Если потенциал С](х) удовлетворяет более жесткому условию оо со такие функции будем называть быстроубывающими), то решения Йоста допускают представление через операторы преобразования Б. Я. Левина [i].

Xоо.

Операторы преобразования играют важную роль в решении ОЗР. Восстановление потенциала сводится в этом случае к решению относите-* льно функции к (х интегрального уравнения (уравнения.

В.А.Марченко).

СхЭ х +.

Ядро этого уравнения — функция однозначно определяется по данным рассеяния, а потенциал находится по формуле.

В классе быстроубывающих потенциалов ОЗР на полуоси была решена в 1955 г. В. А. Марченко [2] и МЛЧКрейном [з]. Аналог уравнения Марченко на всей оси был выведен в 1956 г. Кэем и Мозесом, а полное решение ОЗР на оси, включающее необходимые и достаточные условия на данные рассеянияьбыло получено в 1964 г. Л. Д. Фаддеевым [5]. Ключевым пунктом в выводе характеристических свойств данных рассеяния является доказательство^ того, что в результате решения уравнений Марченко для ядер должен получиться один и тот же потенциал.

При этом в. существенном используются с одной стороны аналитичность коэффициентов ЯцШ — S22(x), с другой стороныповедение элементов о-матрицы при.

Л-О Соответственно именно эти свойства iE> -матрицы составляют нетривиальную часть необходимых и достаточных условий, и их доказательство является наиболее трудоемкой частью рассмотрений.

Целью настоящей работы является решение обратной задачи рассеяния для оператора Шредингера (I) с медленно убывающим потенциалом вида г хг.

0 (х > О), где С[^0(Х) — быстроубывающая функция (точное описание класса рассматриваемых потенциалов будет дано ниже), а также обобщение метода ОЗР применительно к решению задачи Коши для уравнения Корте-вега-де Фриза с медленно убывающими начальными данными.

Центральное место в исследовании задачи рассеяния для указанного класса потенциалов занимает установление зависимости свойств данных рассеяния от характера убывания потенциала. В простейшем случае потенциала вида (А), когда «решения Йоста при |х|>1 совпадают с соответствующими функциями Ханке-ля-Риккати,, 5-матрица выписывается в явном виде и при Л О cor4), 8и (М-(-ЛОСА1иИ).

Таким образом, скорость приближения функций а) И ?>2.1 (X) к -1 прямо связана с числами Пи п, то есть со скоростью убывания потенциала при ЭС -*• ±. Это свойство сохраняется и в общем случае: имеется точная зависимость между поведением коэффициентов отражения sJX) и вЛУ) • при убыванием потенциала.

Перейдем к описанию содержания работы. В первом параграфе главы I вводится семейство многообразий.

Т. рациональных функций С (см. [б]), параметризованных точками Кмерного векторного пространства (С^ (R- • При.

1x1 — гЛх. ЙЛ = 1Ь (хД" * ос**> ^ + 0(х.

Функции 1ГК^Х, С*характерны тем, что уравнения.

I 2 >. 2.

4−2е? = A Cf olx интегрируемы явным образом, и решения выражаются через элементарные функции.

Во втором параграфе дается точное определение исследуемого класса операторов, а именно рассматриваются операторы Шредингера с потенциалами Cj^OO ^ С (ВО такими, что при х и.

X •" — оо они совпадают с рациональными функциями соответственно и с точностью до функций, убывающих быстрее любой степени [X • Многообразие всех таких функций будем обозначать через • (Через) обозначаем множество функций «Убывающих быстрее любой степени |Х| при (соответственно), при которых уравнение Hlf = О не имеет ограниченных на всей оси решений, а через.

— i, m/ множество функций с подобными асимптотиками, но отличных тем, что уравнение Н (р = 0 имеет ограниченное на всей оси решение).

Далее в первой главе вводятся решения Йоста соответствующих уравнений и выясняются их свойства (леммы 1.2 — 1.5). Существенную роль при этом играют преобразования Крума-Дарбу, позволяющие переходить от одного класса потенциалов.к.другому. Заметим, что аналогичные преобразования применяли В. Ф. Короп [7] и А. С. Сохин [в], рассматривая обратную задачу рассеяния на полуоси для оператора Шредингера с особенностью.

Первые два параграфа второй главы посвящены исследованию свойств данных рассеяния для рассматриваемого класса операторов. Основной результат состоит в следующем. Если потенциал.

Q (xl? (RVi уу1, то оператор Н может иметь только конеч.

2. ное число неположительных собственных значений =.

— матрица удовлетворяет условиям:

I. Матрица $(Х) унитарна (^()0,$CX) ~ IV s1(m=s22a s^oo = 6ц (-зо.

П. Элементы матрицы суть бесконечно дифференцируемые функциипри функции &12.

СХ) и Б^д ОО убывают быстрее любой степени «и при всех.

Ш. Функция S^CX) продолжается аналитически в полуплоскость Ли > 0, где она может иметь конечное число полюсов первого порядка Lv^ (к = ., С) на мнимой оси и нигде не обращается в нульпри 12(в полуплоскостх 3m Z>0 1 * ФГ1) .

1У. при Л — О.

6и (зо-(-<�Госо, г эе где (э ^ О, а X = И + Ш.-1, если оператор Н имеет нулевое собственное значение, и П + Ш. + 4 в противном случае.

В последних двух параграфах главы 2 доказывается достаточность сформулированных свойств данных рассеяния и приводится алгоритм восстановления потенциала. Полученные здесь необходимые и достаточные условия на данные рассеяния (теоремы 2.1 и 2.2) являются основным итогом этой главы.

Третья глава посвящена приложению полученных результатов к решению задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза й-t+ ri’Lxx ' 6=0, 0) = с^оо с начальной функцией CjOO? (R-«i, т.. Показывается, что метод Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [9], базирующийся на теории ОЗР, может быть обобщен на рассматриваемый случай. Доказывается разрешимость поставленной задачи Коши при помощи этого метода и исследуется поведение решений при X. Оказывается (теорема 3.3), что решения принадлежат тому же классу функций (R-n т. ЧТ0 и начальные данные, причем, при всех t fx —ч где.

— рациональные решения уравнения Кортевега-де Фриза, найденные Л. А. Бордаг и В. Б. Матвеевым [ю], и М. Адлером и Ю. Мозером [б], а добавки £+(Х) и £~(Х) убывают быстрее любой степени когда.

ОС — ioo соответственно.

Результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения» (г.Черноголовка, 1981 г.), 1-ем республиканском семинаре «Интегральные и дифференциальные уравнения» (г.Одесса, 1982 г.), харьковском общегородском семинаре по математической физике, а также на конференциях молодых исследователей Физико-технического института низких температур АН УССР. Основные результаты опубликованы в работах [28−3l] .

Нумерация формул, утверждений и параграфов ведется в каждой главе независимо. Первая из цифр номера соответствует номеру главы.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю академику АН УССР В. А"Марченко за постоянное внимание к работе и ценные обсуждения.

На защиту выносятся следующие новые результаты:

— необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять матрица, чтобы быть оматрицей некоторого оператора Шредингера с квазирациональным потенциалом.

Х) € (ЯП)т .

— алгоритм восстановления потенциала по данным рассеяния;

— точная взаимосвязь между поведением элементов 5-матри.

ЦЫ при А-0 и поведением потенциала при (х—* ;

— обобщение метода ОЗР на задачу Коши для уравнения Корте-вегаг-де Фриза с медленно убывающими начальными данными х, о) е (Яп>пг .

— исследование асимптотического поведения при х —± 00 и всех t решений u (x5″ 0 задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза с медленно убывающими начальными данными.

U (X, 0)? .

1. Левин Б. Я. Преобразования типа Фурье и Лапласа при помощи решений дифференциального уравнения второго порядка.-ДАН СССР, 1956, т. 106, № 2, с. 187−190.

2. Марченко В. А. Восстановление потенциальной энергии по фазам рассеянных волн.-ДАН СССР, 1955, т. Ю4,№ 5,с.695−698.

3. Крейн М. Г, Об определении потенциала частицы по ее fb-функ-ции.-ДАН СССР, 1955, т.105,№ 3, с.433−436.

4. Kay I.} Mosgs Н. Е, Jia cJetermLna’tlovi scaite,-Kht) potentlat tVn spectral measure |uruction. .1, Nuovo Clwiertto, 19 565 v.5, mZ^ p. 276−304.

5. Короп В. Ф. Обратная задача рассеяния для уравнений с особенностью .-Сибирский математический журнал, 1961, т.2,№ 5,с.672−693.

6. Сим ММ. А^сааЫ SWwi-Ltotwlffe systems. Ш fyuflrterfoj journal of MatUmaties 3 ОфыI (2*)э1955, V, р. М-Ш.

7. Dat^oux 6 г, Sur иие proposition refatlve auxequations tuieares.- Comptes Rehdues3 4882., v, p. ^56-^59,.

8. Крейн М. Г. 0 континуальном аналоге одной формулы Кристоффе-ля из теории ортогональных многочленов, ДАН СССР, 1957,113, № 5, с.970−973.. .

9. Агранович 3.С., Марченко В. А., Обратная задача теории рассея-ния.-Харьков, Изд-во ХГУД960, 268 с.

10. Matveev У.В.(Матьее& б, Б,") Darboux transom at ion аиЛ ik explicit solutions of «tk Kacbmicev-PetvLas^i/ e^utftum, depending on tU. functional parameters e~1.tters wi MatkefoaticaC Ш,*3,Р.213−2К.

11. Matveev V, E>, (Матьеее, Ь. Ъ) Some comments ova iUa rutixmai solutions of tk 2dWiarov Sckabat equations.-Letters lv MatltematieaC РЦ^с, 5^.503−512,.

12. Ьигс-fUnaW З. ЦСкаиЦ} T.W. Commutative огЛшя-^ c (L|ferentla? operators. Proceeding Ro^aC Soc, London, ser. 2., V.24, p. 420-^0.

13. Фаддеев Л. Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния.П.-В кн.:Современные проблемы математики. М.:ВИНИТИ, 1974, т. З, с.93−180.

14. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения.- К.: Наукова Думка, 1977, 331 с.

15. Марченко В. А. Периодическая задача Кортевега-де Фриза.- Мат. сборник, 1974, т.95 (137),№ 3, с.331−356.

16. Новиков С. П. Периодическая задача Кортевега-де Фриза. I.-Функц.анализ, 1974,№ 8,вып.3,с.54−66.

17. Хруслов Е. Я. Асимптотика решения задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза, с начальными данными типа ступеньки.-Мат.сборник, 1976, т.99 (141),№ 2, с.261−281.

18. Ермакова В. Д. Асимптотика решения задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза с неубывающими начальными данными специального типа.-.Доклады АН УССР, Сер. А, 1982,№ 7, с.3−6.

19. Ломоносова О. М. Обратная задача рассеяния для уравнения Шредингера на оси и. новый класс решений уравнения Кортевега-де Фриза.- ДАН СССР, 1982, т.264,№ 4,с.823−826.

20. Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П. Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи.-М.: Hay к а, 1980.319 с.

21. Lax. P.D. Litajr-ats of vmCmear ec^atuws of evofctt-tuws and sotiiaHj waves.-Comm. Pure and Appf, MatL, <968, v.2<, .</5, р. Н'МЗО, (перевод: Лаке П., Интегралы нелинейных уравнений эволюции и уединенные волны.-Математика, 1969, т.13,вып.5,с.128−150).

22. AMowLtz М. 1, Сог-1я1Й€ W* On soEutiovis о| tk Ког—teweg de Vines e^uaiioti, — ph^s, Le-fct fJ 4979, v. 71 A3 p. 2?

23. Давыдов P.H. Обратная задача рассеяния на оси для уравнения Штурма-Лиувилля с квадратично-убывающим потенциалом.- В кн.: Функциональный анализ и прикладная математика. Киев: Нау-кова Думка, 1982, с.3−13.

24. Давыдов P.H. $-матрица уравнения Штурма-Лиувилля с медленно убывающим потенциалом.- Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Респ. межвед.научн.сб. Харьков: Вища школа, 1982, вып.38, с.25−31.

25. Давыдов Р. Н. Об одном классе неособых медленно убывающих решений уравнения Кортевега-де Фриза.1. Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Респ. межвед. научн. сб. Харьков: Вища школа, 1983, вып. 40, с.47−56.

26. Давыдов Р. Н. Медленно убывающие решения уравнения Кортевега-де Фриза.- ФТИНТ АН УССР, Харьков,.1982, 42 с. Рукопись депонирована в ВИНИТИ 25 янв.1983 г.,№ 393−83 Деп.(РЖМат., 1983, 5Б469).