Комбинаторные методы в теории групп

Пусть G — свободная группа с базисом S. Группа G действует свободно и без инверсий ребер на дереве Г (С, S). Если НG, то Н тоже действует свободно и без инверсий ребер на том же дереве. По теореме 2.2 группа Н свободна.

Следствие (Формула Шрайера). Если G — свободная группа конечного ранга и Н — ее подгруппа конечного индекса п, то.

rk (H)-1 = n (rk (G)-1).

Доказательство. Пусть S — некоторый базис группы G, НG — множество правых смежных классов группы G по подгруппе Н. Группа Н действует на вершинах и положительно ориентированных ребрах дерева Г (G, S) по следующим правилам: g hg, (g, s)(hg, s). Здесь hН, gG, sS. Поэтому фактор-граф Y=НГ (G, S) задается формулами Y°=HG, Y+1 = (HG) х S, причем ребро (Hg, s) соединяет вершины Hg и Hgs. По теореме 2.2 имеем rk (H)=n-rk (G)—n+l.

Определение 2.

7. Пусть G — свободная группа с базисом S и Н — ее подгруппа. Система представителей Т правых смежных классов G по Н называется шрайеровой, если из того, что tТ имеет приведенную форму s1, s2,. sn (siSUS-1) следует, что s1, s2,. siT для каждого 0in. Такую систему будем называть коротко шрайеровой трансверсалью для Н в G.

В частности, 1 Т. Для gG обозначим через g такой элемент из Т, что Нg = Н.

Теорема 2.

6. 1) Для любой подгруппы Н свободной группы G с базисом S существует шрайерова трансверсаль в G. Более точно, пусть ∆—произвольное максимальное поддерево в фактор-графе Y=НГ (G, S). Тогда множество Т (∆) = {s (pv)-vY0}.

является шрайеровой трансверсалью для Н в G.

2) Соответствие ∆ Т (∆) задает биекцию из множества максимальных поддеревьев в Y в множество шрайеровых трансверсалей для Н в G.

3) Пусть Т — произвольная шрайерова трансверсаль для Н в G. Тогда Н имеет базис.

{ts (ts)-1-tT, sS и ts (ts)-1 ≠1}.

Доказательство. 1) Так как v пробегает множество правых смежных классов группы G по подгруппе Н и v=Hs (pv), то Т (∆) — система представителей этих классов. Осталось заметить, что для пути pv = e1e2. • en в дереве ∆ его метка s (pv) = s (e1)s (e2)…s (en) является приведенным словом и любое начальное подслово этого слова является меткой соответствующего начального подпути пути pv.

Пусть Т — произвольная шрайерова трансверсаль для Н в G. Пусть t = s1… Sk — произвольный элемент из Т, записанный в приведенной форме. Сопоставим ему путь lt = е1… ек в Y такой, что a (e1) = Н, s (ei) = si. Пусть ∆(Т) — подграф в Y, образованный всеми ребрами, входящими в пути lt (tТ), обратными к ним ребрами, а также их началами и концами. Легко понять, что ∆(Т) — максимальное поддерево в Y, и что соответствия и задают взаимно обратные отображения.

В самом деле, пусть ∆ — максимальное поддерево в Y, соответствующее системе Т. Для любого пути ре = pa (e)epω(e)-1 имеем s (pe) = tst-1, где t=s (pa (e)), s = s (e), ti = s (pw (e)).

По первому утверждению t, t1 T, имеем tst1−1H, т. е. t1=. Осталось заметить, что (еY1+s (e)S) и (е∆1s (pe) = 1).

§ 2.

6. Деревья и свободные произведения с объединением Теорема 2.

7. Пусть G = G1* G2- Тогда существует дерево X, на котором G действует без инверсий ребер так, что GX — сегмент. При этом в X существует сегмент Т, являющийся поднятием сегмента GX, стабилизаторы двух вершин и ребра которого в группе G равны GG2 и, А соответственно.

Доказательство. Положим Х° = G/G1UG/G2, X+1= G/A (здесь все смежные классы левые). Положим a (gA) = gG1, ω{gА)=gG2, и пусть Т — сегмент с вершинами G1, G2 и положительно ориентированным ребром А. Определим действие группы G на X левым умножением.

Докажем, что граф X связен. Без ограничения общности достаточно доказать, что его вершина вида gG1 связана путем с вершиной G1. Запишем элемент g в виде g1g2… gn, где giG1 или giG2 в зависимости от четности i. Тогда вершины g1… g-1G1 и g1.. giG1 при giG1 совпадают, а при giG2 соединены ребрами с вершиной gi… gi-1G2 (= g1.

. giG2). Теперь связность легко следует индукцией по n.

Докажем отсутствие циклов в графе X. Предположим, что в X существует замкнутый путь без возвращений е1… еn. Сдвигая его на элемент из G, можно считать без ограничения общности, что а (е1)=G1. Так как соседние вершины являются смежными классами по разным подгруппам, то n четно, и существуют такие элементы xiG1 — А, yiG2-А, что а (е2) =x1G2, а{е3) =x1y1G1,. ., а (еп) = х1у1… xn/2G2, ω(en) = x1y1… xn/2yn/2G1- Так как ω(en) = а (еi) = Gi, то мы получаем противоречие с единственностью нормальной формы элемента в группе Gi * G2.

§ 2.

7. HNN-расширения Пусть G — группа, А и В — ее изоморфные подгруппы и φ:АВфиксированный изоморфизм. Пусть (t) — бесконечная циклическая группа, порожденная элементом t, не входящим в G. Группа G*, равная фактор-группе группы G*(t) по нормальному замыканию множества {t-1at (φ(a))-1-аА], называется HNN-расширением группы G относительно А, В и φ. Группа G называется базой HNN-pac ширения G*, t — проходной буквой, А и В — ассоциированными подгруппами. Для обозначения группы G* используют записи {G, t-t-1at = φ(a)(aА)) и G*A, указывая в последнем случае изоморфизм φ.

Определение 2.

8. Нормальной формой называется последовательность (g0,tε1,g1,…, tεn, gп) в которой gо — произвольный элемент из G,.

если εi = -1, то gi ТA,.

если εi = 1, то gi Тв, нет последовательных вхождений tε, 1, t-ε.

Определение 2.

9. Петлей называется граф, состоящий из одной вершины и двух противоположных ребер, имеющих начало и конец в этой вершине:

Теорема 2.

8. Пусть G = (H, t-t-1at = φ(a) (аА)) — HNN-pacширение группы Н с ассоциированными подгруппами, А и φ(А). Тогда существует дерево X, на котором G действует без инверсий ребер так, что GX—петля. При этом в X существует сегмент Y, отображающийся на эту петлю, стабилизаторы двух вершин и ребра которого в группе G равны Н, tHt-1 и, А соответственно.

Теорема 2.

9. Пусть группа G действует без инверсий ребер на дереве X и фактор-граф Y=GX—петля. Пусть Y — любой сегмент в X, отображающийся на эту петлю, Gp, Gq и Ge — стабилизаторы вершин Р, Q и ребра е этого сегмента. Пусть хG — произвольный элемент такой, что Q = хР. Положим G’e = х-1Сех и пусть φ:GeG'e — изоморфизм, индуцированный сопряжением элементом х. Тогда G’eGp и гомоморфизм {GP, t-t-1at= φ(a) (a Ge)) G, тождественный на Gp и переводящий t в х, является изоморфизмом.

Заключение

В данной работе мы рассмотрели основные понятия комбинаторной теории групп. Исключительная роль конечных простых групп объясняется тем, что из них может быть построена любая конечная группа. Долгое время исследования групп велись в терминах групп подстановок. В частности, изучался вопрос о кратно транзитивных группах подстановок. В последние 15 лет на небосклоне комбинаторной теории групп наблюдаются вспышки новых идей и теорий, источником которых является геометрия и топология.

Список литературы

Богопольский О.В.

Введение

в теорию групп. Москва-Ижевск 2002 г Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп Изд-во «Мир» М-1980.