Решение задачи «Бери и кати»

Условие:

В полуавтоматическом бистро для автомобилистов «Бери и кати» робот-кёльнер выдает подогретый бутерброд и чашку горячего кофе за 5 минут. Оценки показывают, что поток клиентов — 20 машин/ в час. Компания хочет оценить длину очередей автомобилей к автомату, для обеспечения необходимого пространства для них.

Предполагая пуассоновский поток заявок и экспоненциальное распределение для времени обслуживания найти:

a. Долю времени, когда робот загружен;

b. Долю времени, когда он бездействует;

c. Среднее число машин у робота-кёльнера;

d. Среднее число машин в очереди у робота-кёльнера;

e. Среднее время, затрачиваемое клиентом для получения бутерброда и чашки чая;

f. Среднее время, которое клиент проводит в очереди;

g. С какой вероятностью возле банкомата будут стоять более 3 машин.

Решение:

Определим модель системы массового обслуживания, применимую для данного случая. Наиболее важные обстоятельства в этом случае — наличие небольшого числа клиентов или ограничения на размер очереди.

Так как никаких упоминаний о подобных ограничениях в задаче нет, считаем, что имеем дело с моделью неограниченной очереди. Кроме того, речь идет только об одном роботе, т. е. в системе имеется только один сервер.

Поток клиентов л, прибывающих на вход в систему, равен 20 машинам в час. Кроме этого известно, что на обслуживание клиента в среднем тратится 5 минуты. Это означает, что за час в среднем обслуживается 12 клиентов, т. е. поток обслуживания м равен 12 машин в час.

Расчеты представлены на рисунке 1.

Рисунок 1 Расчеты по формулам теории СМО Доля времени, когда банкомат загружен, равна проценту загрузки каждого (в нашем случае единственного) сервера, т. е. 66% всего времени работы.

Разумеется, это средняя оценка, которую можно было бы сделать по многим наблюдениям за системой. Доля времени, когда банкомат бездействует, равна времени, когда все серверы свободны — 34% рабочего времени. Среднее число машин у банкомата соответствует числу клиентов в системе -2 клиента. В это число входит и та машина, которая стоит у банкомата и те, которые ждут своей очереди на подъездной дорожке;

Средняя длина очереди — 1, 33 клиента — показывает среднее число машин в очереди у робота — кёльнер.

В среднее время, затрачиваемое клиентом для получения заказа, входит и время, затраченное на ожидание в очереди, и время, которое клиент тратит на заказ и его ожидание (2 минуты в среднем), т. е. это полное время пребывания в системе. Это время приводится в таблице в тех же единицах, для которых задан поток — в часах. Следовательно, это время равно 0.1 часа или 6 минут. Среднее время, которое клиент проводит в очереди равно 0.06 часа или 3 минуты.

В нижней части таблицы приведены вероятности нахождения в системе заданного числа клиентов (от 1 до 20, но часть строк скрыта для экономии места).

Вероятность того, что у банкомата будет стоять не более 3 машин, т. е. либо ни одной (% времени, когда все серверы свободны), либо одна, либо две, либо три машины можно легко найти, сложив соответствующие вероятности: Pn<=3 = 0,2 222 222+ 0,1 481 481+ 0,987 654+ 0,658 436= 0,5 349 794 или 53%.

После этого можно определить и вероятность того, что в очереди будет более трех машин Pn>3, как 1 -Pn3= 43%. Очевидно, что другой возможный путь — суммирование всех вероятностей для n>3 — гораздо менее удобен, но тоже применим, особенно если эти вероятности быстро падают до нуля. В данной задаче это не так, потому что даже вероятность того, что в системе n=20 клиентов отлична от нуля.