Метод главных компонент

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

(ГОУ ВПО ВГТУ) ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ПРАВА Кафедра «Макроэкономика, экономическая информатика и статистика»

Индивидуальное задание по МСА Метод главных компонент Выполнила: ст-ка гр 527

Горюнова Зинаида Проверила: Орехова Р.А.

Улан-Удэ

Задача Провести компонентный анализ на основе показателей Х₁ — товарооборот единицы продукции, Х₂ — цена продукции. По данным годовых отчетов 6 предприятий имеем:

Решение

1 ЭТАП

1. Определим среднее значение показателей Х₁ и Х₂ и их среднеквадратическое отклонение

2. Постоим матрицу коэффициентов корреляции, если R₁₂ = 0.28

R= =

3. Оценим вклад в суммарную дисперсию первой и второй компоненты. Преобразуем матрицу R в диагональную матрицу Л собственных значений характеристического многочлена ¦лE — R¦

¦лE — R¦ = = = (л — 1)² — (-0.28)² = 0

л — 1 = ф ф² — 0,28² = 0 ф = ±0.28

ф₁ = 0.28 ф₂ = -0.28

л₁ — 1 = ф₁ л₂ — 1 = ф₂

л₁ — 1 = 0.28 л₂ — 1 = -0.28

л₁ = 1.28 л₂ = -0.72

л_j упорядочены, т. е. л_{1 >} л₂

D =? л_j = л₁ + л₂ = k = 2

Вклад в суммарную дисперсию первой главной компоненты можно подсчитать так:

(Л_r/ m)*100%

л₁/2 *100% = 64%

л₂/2*100% = 36%

Вывод: расчеты показали, что оба фактора Х₁ и Х₂ необходимы для включения в дальнейшие расчеты.

2 ЭТАП.

Рассчитаем элементы матрицы нормированных собственных векторов U, т. е. ортогональную матрицу, составленную из собственных векторов матрицы R Собственный вектор U_j, отвечающий собственному числу л_j, находится как отличное от 0 решение уравнения (л_jE — R) = 0

Т.к. определитель ¦лE — R¦= 0, то строки системы линейно зависимы.

Составим нужные нам 2 уравнения.

j =1 ¦л₁E — R¦= 0

(л₁ — 1) u₁₁ + (-r₁₂)u₂₁ = 0

— r₂₁u₁₁ + (л₁ — 1) u₂₁ = 0

Видим, что система линейных уравнений зависима. Это значит, что для нахождения параметров можно воспользоваться только одним из уравнений. Используем только первое.

(л₁ — 1) u₁₁ + (-r₁₂)u₂₁ = 0

0.28 u₁₁ — 0.28 u₂₁ = 0

Примем u₁₁ = 1, тогда u₂₁ = 1

U₁ = (1,1)

Находим норму вектора U₁

¦U₁¦ = v u_ij² = v u₁₁ ² + u₂₁² = v2 = 1.41

v₁ = u₁/ ¦u₁¦=

Повторяем эту операцию для j = 2 ¦л₁E — R¦= 0

(л₂ — 1) u₁₂ + (-r₁₂)u₂₂ = 0

— r₂₁u₁₂ + (л₂ — 1) u₂₂ = 0

Также выбираем первое уравнение

(л₂ — 1) u₁₂ + (-r₁₂)u₂₂ = 0

Примем u₁₂ =1, тогда u₂₂ = -1

U₂ = (1,-1)

¦ U₂¦ = v u_ij² = v u₁₂ ² + u₂₂² = v2 = 1.41

V₂ = u₂/ ¦u₂¦=

U =

Данная матрица является ортогональной.

UU^T = U^TU = E

U^T=

* = =

3 ЭТАП, А = U Л ^Ѕ

Л ^Ѕ = =

A = =

?a_jr² = л_r

л₁ = a₁₁² + a₂₁² = 0.64 + 0.64 = 1.28

л₂ = a₁₂² + a₂₂² = 0.36 + 0.36 = 0.72

Из матрицы факторных нагрузок, А видно, что первая главная компонента имеет одинаковую тесноту связи 0.80 с обоими признаками Х₁ и Х₂. Вторая главная компонента также определяется признаками Х₁ и Х₂, но со вторым признаком связь обратная -0.60

В результате анализа можно сказать, что первая главная компонента, складывающаяся под влиянием обоих факторов, может быть интерпретирована как фактор, характеризующий уровень организации в отрасли.

4 ЭТАП.

Рассчитаем элементы матрицы F значений главных компонент

F = A^-1z = Л^-ЅU^Tz

m=2, n=6

Строим матрицу нормированных значений z

z_ji = (x_ij — x_j)/ s_j

z₁₁ = (x₁₁ — x₁)/s₁ = = 2.14

z₁₂ = 4.29

z₁₃ = -4.29

z₁₄ = -5.71

z₁₅ = 1.42

z₁₆ = 0

z₂₁ = (x₁₂ — x₂)/s₂ = = 3.46

z₂₂ = 2.69

z₂₃ = -1.92

z₂₄ = 1.15

z₂₅ = -3.84

z₂₆ = -0.77

z =

Значения главных компонент получаем из выражения

f_r1 =(1/ vл_l)*? u_ilz_ji

l = 1,2

f₁₁ = 1/vл₁ (u₁₁z₁₁ +u₂₁z₂₁) = (0.71*2.14 + 0.71*3.46) = 0.88(1.519 + 2.456) = 3.50

f₁₂ = 4.36

f₁₃ = -3.88

f₁₄ = -2.85

f₁₅ = -1.51

f₁₆ = -0.48

f₂₁ = 1/vл₂ (u₁₂z₁₁ +u₂₂z₂₁) = (0.71*2.14 — 0.71*3.46) = 1.18(1.519 — 2.456) = 1.11

f₂₂ = 0.99

f₂₃ = -1.48

f₂₄ = -4.30

f₂₅ = 3.30

f₂₆ = 0.48

Таким образом, матрица значений главных компонент имеет вид:

F =

Элементы каждого столбца характеризуют предприятия в пространстве главных компонент По рисунку видно, что организация производства в отрасли не стабильна.