Решение задач путем составления уравнения

Как же решаются задачи путем составления уравнения?

Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса).

В условии сообщаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекты, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними.

Требование задачи — это указание того, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной форме (Найти площадь прямоугольника) или в вопросительной форме (Чему равна площадь прямоугольника?).

Иногда задачи формулируются таким образом, что часть условия или все условие включены в одно предложение с требованием задачи.

Одна и та же задача может рассматриваться как задача с избыточными (недостающими) данными и как задача с достаточным числом данных в зависимости от имеющихся у решающего знаний.

Решить задачу — это значит через логически верную последовательность действий и операций с имеющимися в задаче явно или косвенно числовыми величинами, отношениями выполнять требования задачи (ответить на ее вопросы).

Исходя из этого, кроме арифметических и алгебраических способов решения текстовых задач, в математике используются и другие способы (графический, практический).

Классифицировать задачи очень сложно. При решении задач алгебраическим методом берут классификацию по фабуле: движение, покупка, на проценты и так далее.

Когда люди говорят о математике, они обычно вспоминают не только числа и фигуры, но также формулы и уравнения. И в самом деле, в математике без формул и уравнений не обойтись! А в них обязательно участвуют выражения с буквами, которые называют буквенными выражениями. Нужно хорошо понимать, что в каждом таком выражении за буквами скрываются числа. Как же возникают и используются при решении задач буквенные выражения, формулы и уравнения.

Как возникают буквенные выражения при решении задач Задача 1. Когда родился Игорь, его отцу было 24 года. Сколько лет было Игорю, когда отцу было: а) 25 лет; б) 26 лет; в) 27 лет; г) 28 лет; д) 29 лет и так далее?

Ответ можно дать таблицей:

Но Игорь и отец собираются жить долго, что же обязательно писать данную таблицу дальше? Нельзя ли выразить ответ покороче? Можно. И очень просто. Обозначим возраст отца буквой n. Тогда возраст Игоря будет n-24. Вот и возникло буквенное выражение. Какое число скрывается в нем за буквой n? Число лет отца.

Вот еще примеры буквенных выражений:

n+1; n-1; a+b; 2d-5; (a+30):7.

Буквенным выражением называют запись, в которой числа и буквы соединены знаками действий и скобками. Если в буквенное выражение вместо букв подставить числа, то получится числовое выражение. Значит, из одного буквенного выражения возникает много числовых выражений. Все они похожи. Чем именно? В них одни и те же действия надо выполнить в одном и том же порядке. Только числа вместо букв могут быть разные. При каждом наборе чисел можно вычислить значение полученного числового выражения. Его называют числовым значением буквенного выражения при данных значениях букв.

Например, в выражении n-24, подставляем вместо n число 33, получаем числовое выражение 33−24. Его значение число 9. Из задачи 1 — это возраст Игоря, когда отцу было 33 года. Говорят: «При n=33, выражение n-24 принимает значение 9» .

Итак, буквенные выражения возникают при решении задач, когда какие-то данные в их условиях могут меняться.

Но буквенные выражения могут появляться и в других случаях, когда без обозначения чисел буквами не обойтись.

Буквы необходимы для записи свойств и правил, которые выполняются для любых чисел:

• 1). Нахождение неизвестного слагаемого: «Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из известной суммы вычесть известное слагаемое» .
• 2). Нахождение неизвестного уменьшаемого: «Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к известному вычитаемому прибавить известную разность» .
• 3). Нахождение неизвестного вычитаемого: «Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из известного уменьшаемого отнять известную разность» .
• 4). Нахождение неизвестного множителя: «Чтобы найти неизвестный множитель, надо известное произведение разделить на известный множитель» .
• 5). Нахождение неизвестного делимого: «Чтобы найти неизвестное делимое, надо известный делитель умножить на известное частное» .
• 6). Нахождение неизвестного делителя: «Чтобы найти неизвестный делитель, надо известное делимое разделить на известное частное» .

Буквенное выражение, указывающее, как зависит какая-то одна величина от какой-то другой величины, называется формулой. Формула может указывать зависимость какой-то величины и от нескольких других величин. Так что и букв в формуле может встретиться несколько. С помощью формул можно также записывать свойства действий над числами.

В математической задаче тоже какие-то числа известны, а какое-то число (пока неизвестное) надо найти. Условие задачи обычно записывают словами. Но можно написать его, используя только математические знания. Тогда известное число легко будет найти.

Рассмотрим задачу.

Покупая бублик, Вася подал 20 копеек и получил сдачу 14 копеек. Сколько стоит бублик? Обозначим неизвестное число копеек буквой x. Что такое сдача? Это такое неизвестное число, которое дополняет х до 20. Тогда условие задачи говорит нам, что х+14=20. Вот мы и записали условие математическими знаками. Мы получили равенство.

Равенство, содержащее вывод, называется уравнением, если требуется найти неизвестное число, обозначенное этой буквой. Неизвестное число, обозначенное этой буквой и содержащееся в этом равенстве, называется переменной.

Понятие переменной — одно из важнейших понятий математики. Определение переменной учащимся не дается, а разъясняется на конкретных примерах. В тексте рассматриваются различные переменные. В дальнейшем чаще всего будут встречаться числовые переменные, значениями которых являются числа. В курсе математики 5-го класса довольно часто представляются возможности рассматривать переменные, значениями которых являются точки. К сожалению, на эти переменные учителя не обращают внимания, сосредотачивая его на числовых переменных. Причина ясна. Числовая переменная обычно обозначается строчной буквой латинского алфавита (полезно было бы и ее чаще обозначать прописными буквами, как это делается в физике), а ее значение — цифрами. Переменная на множестве точек, как и сами точки, обозначается прописной буквой. Учащимся трудно самим заметить, где буквой обозначена точка, а где переменная.

Перед изложением объяснительного текста учитель может заранее написать на доске ряд предложений:

К доске пойдет Иванов.

К доске пойдет Сидоров.

К доске пойдет Петров При чтении этих предложений учащиеся замечают, что слова «К», «доске», «пойдет» повторяются во всех предложениях. Они не изменяются при чтении предложений одного за другим. Последнее слово — фамилия, изменяется. Все эти предложения, если бы их было и значительно больше, можно выразить и другим предложением: К доске пойдет х.

Если в это предложение вместо буквы х подставить слово «Иванов», то получится первое предложение. Заменяя букву х словом «Сидоров», получаем второе предложение и так далее.

Букву х называют, поэтому, переменной.

Рассмотрим числовые выражения (10−5)*7, (6−5)*7, (8−5)*7. Можно записать еще сколько угодно числовых выражений в такой же форме. Воспользовавшись переменной, все их можно выразить одной записью (R-5)*7, которая не является числовым выражением, но обращается в числовое выражение всякий раз, когда вместо переменной подставляют ее значение. Такие записи как (R-5)*7, называют выражениями с переменной.

Переменная может входить в выражение несколько раз. Например, переменная х входит в выражение (х+2)*х два раза. Тогда при нахождении значения выражения вместо одинаковых букв подставляют одно и то же число. Начинать надо с выражений, в которые входит лишь одна переменная и только один раз.

При изложении объяснительного текста учитель может предложить детям рассмотреть несколько числовых выражений одной и той же формы, отличающихся друг от друга каким-нибудь одним числом. Учащиеся заметят, что изменяется при переходе от одного выражения к другому и что остается неизменным. Они сами предложат использовать переменную для краткой записи всех этих выражений. Написав выражение с переменной, учитель подчеркнет, что из него можно получить любое из написанных числовых выражений, если только вместо переменной подставлять по очереди ее значения. Учащиеся должны понять, что значение выражения с переменной зависит от значения переменной.

Несмотря на то, что с выражениями, содержащими переменные, учащиеся встречались еще в начальных классах, решение задач с буквенными данными у части учащихся вызывает серьезные затруднения. Поэтому и предлагается начать упражнения с задачи, имеющей лишь числовые данные, а затем рассмотреть три подобные задачи с переменными. Всякий раз, как только решение задачи с буквенными данными вызывает затруднение, надо вместо буквы подставлять числовое значение, формулировать и решать получающиеся задачи до тех пор, пока учащийся не сделает необходимого обобщения. С уравнениями учащиеся 5₆ классов знакомы уже с первого класса, в объяснительном тексте они впервые встретятся с уравнением, имеющим два вхождения одной переменной (буква х в одном уравнении написана два раза). К тому же переменная содержится как в левой, так и в правой частях уравнения. Учащиеся должны понять, что при испытании числа на корень уравнения это число надо подставить вместо каждой буквы х, сколько бы раз она не входила в уравнение.

Чтобы создать у учащихся более полное представление об уравнении, им показывают уравнения, которые имеют более одного корня, а также уравнения, которые не имеют корней. Однако в 5 классе было бы преждевременным требовать, чтобы каждый учащийся умел приводить примеры таких уравнений. Важно, чтобы он знал, что не всякое уравнение имеет только один корень.

При изучении уравнений внимание учащихся сосредотачивается не на способе решения уравнений, а на понимании корня уравнения и множества его корней, на понимание постановки задачи о решении уравнения. Решить уравнение — это значит найти множество его корней. Для усвоения учащимися это мысли полезно при решении уравнений в ответе писать чаще множество корней. Итак, при изучении переменной в V-VI классах учащиеся должны знать и уметь правильно употреблять термины «переменная» и «значение переменной», подставлять в предложение вместо переменной ее значения. Уметь составлять простейшие выражения с одно переменной по условию задачи, находить значение выражения при различных значениях переменной, записывать в виде таблицы значения переменной и соответствующие им значения выражения. Кроме того, учащиеся должны приобрести знания и умения при решении текстовых задач алгебраическим путем.