Метод геометрических преобразований

дидактический обучение геометрический преобразование Сущность метода геометрических преобразований при решении геометрических задач заключается в привлечении того или иного геометрического преобразования, опираясь на свойства которого задача может быть решена.

Процесс овладения умением решать задачи методом преобразований требует не только знания самих преобразований, но и активного использования общей геометрической и графической культуры, что в свою очередь, оказывает положительное влияние на развитие геометрической интуиции, необходимой при решении любых задач.

Рассмотрим применение этого метода по каждому отдельному геометрическому преобразованию.

Метод геометрических преобразований делится на следующие методы:

• 1) метод параллельного переноса;
• 2) метод осевой симметрии;
• 3) метод поворота;
• 4) метод центральной симметрии;
• 5) метод подобия;
• 6) метод инверсии;
• 7) метод гомотетии.

В курсе основной школы изучается лишь несколько методов, такие как: метод параллельного переноса, метод осевой и центральной симметрии, метод поворота.

Метод параллельного переноса. Сущность этого метода состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются некоторые другие фигуры, которые получаются из данных или искомых фигур или их частей путём переноса на некоторый вектор. Этим путём иногда удаётся облегчить проведение анализа. Метод параллельного переноса применяют главным образом для объединения разрозненных частей фигур, когда часто построение фигуры становится затруднительным только от того, что части этой фигуры слишком удалены друг от друга, и потому трудно ввести в чертёж данные. В этих случаях какую-нибудь часть искомой фигуры переносят параллельно самой себе на такое расстояние, чтобы вновь полученная фигура могла быть построена или непосредственно, или легче, чем искомая фигура. Направление такого переноса зависит от условий задачи и должно быть выбрано так, чтобы во вновь полученную фигуру вошло, по возможности, большое количество данных.

Если, например, даны два отрезка и угол, заключённый между ними, и если один отрезок будет перенесён параллельно самому себе так, чтобы один из его концов совместился с одним из концов другого отрезка, то получится треугольник, из элементов которого известны две стороны и угол, между ними заключённый. Этот треугольник легко может быть построен, что может оказаться полезным при решении задачи.

Особенно часто этим методом параллельного переноса пользуются для построения многоугольников. Иногда также данный метод оказывается полезным при решении задач на «кратчайший путь».

Использование метода параллельного переноса требует овладеть следующими действиями:

• 1) строить точки, в которые переходят данные точки при параллельном переносе;
• 2) видеть соответственные при преобразовании точки;
• 3) выделять элементы, и направление параллельного переноса.

Метод симметрии. Применение осевой симметрии к решению задач на построение называют методом симметрии. Метод симметрии состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются также фигуры, симметричные некоторым из них относительно некоторой оси. При удачном выборе оси и преобразуемой фигуры решение задачи может значительно облегчиться, а в некоторых случаях симметрия непосредственно даёт искомые точки.

Метод симметрии заключается в следующем. Предполагают задачу решённой и одну из данных точек (прямую или окружность) отражают в какой-нибудь известной оси; иногда эта ось проходит через известную точку. Тогда полученную симметричную точку (прямую или окружность) подчиняют тем же условиям, которым должна была удовлетворять заменённая точка (прямая или окружность). После этого получится новая задача, которую решают способами, уже нам известными. Обыкновенно, с решением этой новой задачи предложенная задача уже будет решена сама собой, и только в редких случаях придётся ещё переходить к первоначальным условиям задачи. Таким образом, метод симметрии приводит решение предложенной задачи к решению новой задачи.

Использование осевой симметрии требует овладения следующими действиями:

• 1) строить образ фигуры при осевой симметрии;
• 2) выделять при осевой симметрии точки на соответственных при той же симметрии фигуры;
• 3) видеть ось симметрии фигуры;
• 4) строить симметричные относительно прямой точки на заданных фигурах.

Метод поворота (вращения) Вращением (поворотом) также пользуются как методом решения геометрических задач на построение. Идея метода вращения состоит в том, чтобы повернуть какую-либо данную или искомую фигуру около целесообразно избранного центра на соответствующий угол так, чтобы облегчить проведение анализа задачи или даже непосредственно прийти к решению. Поясним этот приём несколькими примерами.

Задачи на вращение около точки можно разделить на три группы. Первая группа. В задачах этой группы вращение имеет тот же характер, как и параллельное перенесение, т. е. оно сближает части фигуры в положение, удобное для построения, вводит в чертёж данные, совмещает равные или неравные углы и линии и вообще сводит данную задачу на другую. В задачах этого рода центр вращения непосредственно известен.

Вторая группа. В задачах этой группы при данных центре, угле и отношении вращения требуется отыскать две соответственные точки, лежащие на данных прямых или окружностях. Очевидно, если умножить и повернуть прямую (или окружность) на данные угол, то она встретить другую прямую (или окружность) в искомой точке.

Третья группа. В задачах этой группы даны две линии и на каждой из них по соответственной точке; требуется определить на тех же линиях по новой соответственной точке так, чтобы они удовлетворяли каким-либо условиям; центр вращения неизвестен. Допустим, что имеется достаточно данных для совмещения данных линий и искомых точек. Тогда можно определить центр вращения. Остаётся заметить зависимость между данными, искомыми и центром вращения. Эта зависимость даст указание на решение задачи.

Компонентами умения применять метод поворота являются следующие действия:

• 1) строить образы фигур при повороте;
• 2) выделять соответственные при повороте точки на соответственных при этом же повороте фигуры;
• 3) видеть центр поворота;
• 4) строить соответственные при повороте точки на любых заданных фигурах;
• 5) использовать специфические свойства поворота.

Методом подобия Основная идея метода подобия состоит в следующем.

Сначала строят фигуру, подобную искомой, так, чтобы она удовлетворяла всем условиям задачи, кроме одного. Затем строят уже искомую фигуру, как фигуру подобную построенной и удовлетворяющую опущенному требованию.

Метод подобия находит применение обычно в случаях, когда среди данных лишь одно является отрезком, а все остальные данные — либо углы, либо отношения отрезков.

Обычно целесообразно вспомогательную фигуру строить так, чтобы она была не только подобной искомой, но и подобно расположена ей, успех решения существенно зависит в этих случаях от выбора центра подобия.

При решении задач на построение методом подобия часто полезно воспользоваться следующим замечанием.

Если две фигуры подобны, то коэффициент подобия равен отношению любых двух соответствующих отрезков. Если отрезкам a, b, c, … фигуры Ф соответствуют отрезки aґ, bґ, cґ, … подобной фигуры Фґ, то коэффициент подобия равен также отношениям и т. д.

Компонентами умения применять метод подобия являются следующие действия:

• 1) использовать специфические свойства преобразования;
• 2) выделить при методе подобия точки на соответственные при той же симметрии фигуры;
• 3) строить соответственные при повороте точки на любых заданных фигурах.

Метод инверсии Рассмотрим ещё одно геометрическое преобразование — инверсию, которая даёт возможность решить ряд сравнительно сложных задач на построение, трудно поддающихся решению с помощью других рассмотренных нами приёмов. Новый способ решения конструктивных задач, который мы здесь рассмотрим, носит название метода инверсии, или метода обращения, или метода обратных радиусов. Заметим попутно, что этот метод значительно «моложе» ранее рассмотренных. Инверсию стали изучать впервые лишь в 30-х годах прошлого веках.

Данный метод даёт возможность заменять фигуры, содержащие окружность, более простыми фигурами. Сущность метода инверсии заключаются в следующем. Наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваем фигуры, инверсные им или их частям. Иногда этого оказывается уже достаточно для нахождения таких связей между искомыми и данными, которые нужны для решения задачи.

В большинстве случаев решение задачи сводится к построению фигуры, инверсной искомой, в предположении, что уже построена фигура, инверсная данной. Эта последняя задача, при удачном выборе базисной окружности, может оказаться проще данной задачи. Построив фигуру, инверсную искомой, затем строят искомую фигуру. Метод инверсии даёт возможность решить ряд наиболее трудных конструктивных задач элементарной геометрии.

Компонентами умения применять метод интроверсии являются следующие действия:

• 3) использовать специфические свойства преобразования;
• 4) строить соответственные при преобразовании точки на любых заданных фигурах;
• 5) строить образы фигур при данном преобразовании.

Недостатком этого метода является его громоздкость, связанная с необходимостью выполнять большое число построений.

Метод гомотетии Преобразование фигуры, при котором каждая её точка переходит в точку полученную построением, называется гомотетией относительно центра О. Гомотетия, есть преобразование подобия, которая широко применяется на практике при выполнении чертежей деталей машин, сооружений, планов мест и др. Эти изображения представляют собой подобные преобразования воображаемых изображений в натуральную величину. Коэффициент при этом называется масштабом. Например, если участок местности изображается в масштабе 1:100, то это значит, что одному сантиметру на плане соответствует 1 м. на местности.

Компонентами умения применять метод гомотетии являются следующие действия:

• 1) использовать специфические свойства преобразования;
• 2) строить образ изображений на плоскость;
• 3) находить центр гомотетии, вычислить его коэффициент.

И так если мы хотим овладеть умением решать задачи методом преобразований, необходимо выработать у учащихся следующие умения и навыки метода:

• 1) строить образы фигур в каждом требуем преобразовании;
• 2) видеть соответствующие при указанном преобразовании точки на соответствующих фигурах;
• 3) выделять элементы, определяющие то или иное преобразование (ось или центр симметрии, центр и угол вращения, вектор параллельного переноса, центр и коэффициент гомотетии и т. п.);
• 4) строить соответствующие при указанном преобразовании точки на несоответствующих фигурах;
• 5) использовать специфические свойства преобразований.

Иерархия выделенных умений применять геометрические преобразования в конкретных ситуаций такова, что каждое последующее умение охватывает предыдущее и вместе с тем поднимает учащихся на новую, более высокую ступень в овладении методом геометрических преобразований. Необходимо иметь в виду то, что умение применять геометрические преобразования в конкретных ситуациях предполагает владение почти всеми указанными действиями на умственном этапе. Так же стоит отметить то, что применение осевой симметрии, а также и других преобразований предполагает владение умением мысленно строить образы фигур без непосредственных построений. И овладение различными действиями предполагает различные уровни их формирования, что должно быть предусмотрено при конструировании упражнений.