Методика изучения многогранников в школьном курсе стереометрии

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Вятский государственный гуманитарный университет Математический факультет Кафедра математического анализа и МПМ

Выпускная квалификационная работа Методика изучения многогранников в школьном курсе стереометрии

Выполнил:

студент V курса математического факультета

Коноплева Елена Александровна

Научный руководитель:

кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и МПМ И.В. Ситникова

Рецензент:

кандидат педагогических наук, старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ З.В. Шилова

Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г. Зав. кафедрой М.В. Крутихина

«___"___________2005 г. Декан факультета В. И. Варанкина Киров 2005

Введение

3

1. Подходы к определению многогранника и его видов 6

1.1. Подходы к определению многогранника 6

1.2. Подходы к определению выпуклого многогранника 13

1.3. Подходы к определению правильного многогранника 16

2.Изучение темы «Многогранники» в школьном курсе стереометрии 19

2.1. Изучение темы в учебнике Атанасяна Л. С. 21

2.2. Изучение темы в учебнике Смирновой И. М. 26

2.3. Изучение темы в учебнике Александрова А. Д. 28

3. Виды и роль наглядных средств при изучении многогранников 30

4. Опорные задачи при изучении темы «Многогранники» 34

4.1. Задачи по теме «Призма» 35

4.2. Задачи по теме «Пирамида» 43

Заключение

51

Литература

52

Приложение 1. Опытное преподавание 55

Приложение 2. Различные доказательства теоремы Эйлера 58

Тема «Многогранники» одна из основных в традиционном курсе школьной геометрии. Они составляют, можно сказать, центральный предмет стереометрии. Изучение параллельных и перпендикулярных прямых и плоскостей, двугранных углов и другое, так же как введение векторов и координат, — все это только начала стереометрии, подготовка средств для исследования ее более содержательных объектов — главным образом тел и поверхностей.

Центральная роль многогранников определяется прежде всего тем, что многие результаты, относящиеся к другим телам, получаются исходя из соответствующих результатов для многогранников; Достаточно вспомнить определение объемов тел и площадей поверхностей путем предельного перехода от многогранников.

Кроме того, многогранники сами по себе представляют чрезвычайно содержательный предмет исследования, выделяясь среди всех тел многими интересными свойствами, специально к ним относящимися теоремами и задачами. Можно, например, вспомнить теорему Эйлера о числе граней, ребер и вершин, симметрию правильных многогранников, вопрос о заполнении пространства многогранниками и др.

Многогранникам должно быть уделено в школьном курсе больше внимания еще и потому, что они дают особенно богатый материал для развития пространственных представлений, для развития того соединения живого пространственного воображения со строгой логикой, которое составляет сущность геометрии. Уже самые простые факты, касающиеся многогранников, требуют такого соединения, которое оказывается при этом не совсем легким делом. Даже такой простой факт, как пересечение диагоналей параллелепипеда в одной точке, требует усилия воображения, чтобы его увидеть наглядно, и нуждается в строгом доказательстве.

Более того, использование многогранников с самого начала изучения стереометрии служит различным дидактическим целям. На многогранниках удобно демонстрировать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, показывать применение признаков параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве. Иллюстрация первых теорем стереометрии на конкретных моделях повышает интерес учащихся к предмету.

Также одной из основных задач обучения математики является развитие у учащихся абстрактного мышления. Этой цели в значительной мере способствует применение наглядных пособий, причем не только в младших классах, но и в старших. Широкие возможности для реализации этой цели предоставляет тема «Многогранники», в частности, самостоятельное изготовление учениками наглядных пособий. В процессе изготовления моделей многогранников, кроме теоретических знаний и навыков, ученики закрепляют сформировавшиеся новые понятия при помощи чертежа и фактического решения задач на построение. При самостоятельном изготовлении моделей образ создается по частям, в силу этого с ними можно производить различные манипуляции. При этом все их свойства и особенности легко познаются и прочно закрепляются в памяти учащихся.

Цель работы: рассмотреть особенности методики изучения темы «Многогранники» в курсе стереометрии 10−11 классов.

Задачи работы:

1) рассмотреть подходы к основным определениям данной темы: многогранника, выпуклого многогранника, правильного многогранника;

2) изучить изложение данной темы в школьных учебниках;

3) выделить наглядные средства, которые могут быть применены при изучении многогранников;

4) подобрать основные задачи для решения по данной теме;

5) осуществить опытное преподавание.

Гипотеза исследования: изучение темы «Многогранники» в школе будет более успешным, если при подготовке к урокам учитель математики будет учитывать следующие моменты:

· существующие подходы к определению понятия многогранник и правильный многогранник;

· подходы к изучению темы в разных учебниках геометрии;

· особенности изучения частных видов многогранников;

· удачно подобранный задачный материал.

Объект исследования: процесс обучения геометрии в 10−11 классах средней школы.

Предмет исследования: методика изучения многогранников.

1. Подходы к определению многогранника и его видов.

1.1 подходы к определению многогранника.

Само определение понятия многогранника оказывается как раз таким вопросом, где необходимо особенно внимательно сочетать наглядные представления, рассмотрение реальных примеров и логической точности формулировок. Формулировки должны исходить из реальных примеров, из наглядных представлений и возвращаться к ним для проверки и дальше — для применения.

Выделяют два основных способа введения понятия многогранника в школьном курсе стереометрии:

1) многогранник как поверхность (например, в учебниках и);

2) многогранник как тело.

Чаще используется второй путь.

Дать строгое определение понятию многогранника в школе трудно, так как в определение входят такие понятия как поверхность, ограниченность, внутренние точки и др. Такая попытка была сделана в книге В. М. Клопского, З. А. Скопеца, М. И. Ягодовского «Геометрия 9−10» [16], но было очень сложно, так как определение вводилось в несколько шагов, было много вспомогательных понятий.

Наиболее целесообразно дать описание на основе наглядных представлений школьника. Проще и короче всего определить многогранник как тело, поверхность которого состоит из многоугольников (в конечном числе). При этом «тело» и «поверхность» можно понимать в наглядном смысле, как понимают обычно. Тело в отвлечении его от материальности — это часть пространства. Поэтому данное определение можно пересказать и так: многогранник — это часть пространства, ограниченная конечным числом многоугольников.

Например, у Погорелова А. В.: «Многогранник — это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников»; У Атанасяна Л. С.: «Многогранник — это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело».

При этом в согласии с наглядным представлением подразумевается следующее:

(1)Имеется в виду конечная часть пространства; конечная в смысле конечности её размеров, или, как принято говорить в математике, ограниченная. (Это оговаривается, поскольку можно считать, что многоугольники, ограничивающие конечную часть пространства, ограничивают вместе с нею и остальную его часть — бесконечную; во всяком случае, они тоже образуют его границу.)

(2)Многоугольники, ограничивающие многогранник, присоединяются к нему (содержаться в нем). Они образуют его поверхность; остальная же часть многогранника — это его внутренность, так что многогранник состоит из поверхности и внутренности. (Это можно считать описательным определением поверхности и внутренности.) Поверхность всюду прилегает к внутренности и отделяет его от остального пространства — внешнего по отношению к многограннику. Поэтому, например, куб с «крылом», т. е. с приложенным к нему прямоугольником со стороной на ребре куба, не считается многогранником: крыло не прилегает к внутренности и никаким образом ее не ограничивает, не отделяет от остального пространства (рис 1.1).

(3)Многогранник, и даже одна его внутренность, состоит из одного куска, или, как принято говорить в математике, связна: не выходя из нее, можно непрерывно пройти от одной ее точки до любой другой. Или, что в данном случае равносильно, любые две точки внутренности можно соединить лежащей в ней ломаной.

Поэтому, например, два куба, приставленные один к другому по ребру, т. е. имеющие общее ребро и ничего больше, не образуют многогранника, а приставленные по куску грани — образуют его, так же как объединение параллелепипеда с поставленным на него кубом и т. п. (рис. 1.2)

Все сказанное содержится в наглядном представлении о многограннике и явно оговаривается для того, чтобы проанализировать это наглядное представление и тем самым выяснить, во-первых, те его элементы, которые должны фигурировать в формально строгом определении многогранника, а во-вторых, точнее различать в конкретных случаях, какая фигура должна быть признана многогранником, а какая — нет.

2)Дадим строгое определение многогранника, предложенное А. Д. Александровым.

Начнем с кратких предварительных определений; все они относятся как к пространству, так и к плоскости.

Фигура — это то же, что множество точек.

Точка называется граничной точкой данной фигуры, если сколь угодно близко от нее есть точки, как принадлежащие фигуре, так и не принадлежащие ей.

Точка фигуры, не являющаяся ее граничной точкой, называется внутренней.

Множество всех граничных точек фигуры называется ее границей, а множество всех ее внутренних точек — внутренностью.

Замкнутой областью называется множество точек, обладающее следующими свойствами:

(1)Оно содержит внутренние точки, а внутренность его связна.

(2)Оно содержит свою границу, и она совпадает с границей его внутренности.

Данное определение относится либо к множеству точек на плоскости, либо — в пространстве. Замкнутая область в пространстве называется телом, а на плоскости — плоской замкнутой областью или просто замкнутой областью, если ясно, что речь идет о фигуре на плоскости.

Из определения замкнутой области — как на плоскости, так и в пространстве — следует, что она состоит из внутренности и ее границы, которая оказывается так же границей самой замкнутой области. Поэтому замкнутую область можно определить несколько иначе. Замкнутая область — это множество точек, имеющее (не пустую) связную внутренность и состоящее из нее и ее границы.

Оба данные выше определения равносильны. Граница замкнутой области всюду прилегает к ее внутренности. У «куба с крылом» (рис 1.1) «крыло» входит в границу фигуры, но не содержится в границе ее внутренности. Граница тела называется его поверхностью.

В определении замкнутой области не требуется, чтобы она была ограниченной — имела конечные размеры; допускаются и бесконечные области. Примерами в пространстве могут служить полупространство, двугранный угол, как множество, ограниченное двумя полуплоскостями, и др. Все пространство тоже является телом — это единственное тело, не имеющее границы.

Часто в само понятие тела включают требование его ограниченности — конечности его размеров, но этого делать не будем, потому что в геометрии имеют дело и с бесконечными телами. Точно так же и в планиметрии встречаются и бесконечные области, например угол — часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Дадим теперь определение многоугольника и многогранника.

Многоугольником называется замкнутая область конечных размеров, граница которой состоит из конечного числа отрезков. Многоугольник называется простым, если его граница представляет собой одну простую замкнутую ломаную.

Многогранником называется тело конечных размеров, граница (поверхность) которого состоит из конечного числа многоугольников. Данное определение повторяет определение на основе наглядных представлений, однако теперь входящие в него понятия тела и его поверхности понимаются не только наглядно, но и с точки зрения данных им выше определений.

Нередко, как уже говорилось, многогранником называют не тело, ограниченное многоугольниками, а поверхность, составленную из многоугольников; такое словоупотребление встречается вне школьного курса даже чаще. Встречается и смешение терминов, когда «многогранник» понимается то в одном, то в другом смысле. Так, когда говорят, например, «склеим из развертки куб», то имеют в виду не тело, а поверхность.

Подобное употребление одного и того же слова в разных, хотя и тесно связанных, смыслах встречается в геометрии постоянно и, можно даже сказать, характерно для нее. Углом называют и фигуру, состоящую из двух лучей, и ограниченную ею часть плоскости; так же как двугранный угол понимается или как фигура из двух плоскостей, или как ограниченная ею часть пространства; многоугольником называют и ломаную, и ограниченную ею часть плоскости, и т. п. В этом нет ничего страшного, если каждый раз понимать, в каком именно смысле употребляется в данный момент тот или иной термин.

3)Можно дать другое определение понятия многогранника, если учесть следующее: фигура, составленная из многогранников, прилегающих друг к другу по граням или по кускам граней, сама оказывается многогранником, и так можно из простых многогранников составлять сколь угодно сложные. Это замечание можно уточнить и получить из него новое определение многогранника, исходя из самых простых многогранников — из тетраэдров. А именно выполняется теорема.

Теорема. Всякое тело, составленное из тетраэдров, является многогранником и всякий многогранник можно разбить на тетраэдры или, что равносильно, составить из тетраэдров.

В несколько уточненной форме и не пользуясь понятием тела, эту теорему можно высказать так:

Фигура является многогранником тогда и только тогда, когда ее можно составить из конечного числа тетраэдров так, что:

(1)каждые два тетраэдра либо не имеют общих точек, либо имеют только одну общую вершину, или одно общее ребро, или одну общую грань;

(2)от каждого тетраэдра к каждому можно пройти по тетраэдрам, последовательно прилегающим один к другому по целым граням.

Данная теорема позволяет определить многогранник как фигуру, составленную из тетраэдров так, что выполнены условия (1), (2).

Такое определение, которое характеризует предмет тем способом, каким он может быть построен, называется конструктивным. Полученное определение многогранника именно такое; любой многогранник строится последовательным прикладыванием тетраэдров по граням; а как строить тетраэдры — известно.

В противоположность этому определения многогранника, рассмотренные ранее, состоят в указании его характерных свойств или, иначе говоря, в точном его описании. Такие определения называют дескриптивными, т. е. описательными.

Описательное определение многогранника позволяет судить о фигуре, является ли она многогранником или нет. Посмотрел со всех сторон на данное тело, увидел, что всюду его поверхность состоит из многоугольников, — значит, многогранник. Такой же характер имеют, например, обычные определения призмы и пирамиды.

Как и для многогранника, конструктивные определения можно дать многоугольникам многогранной поверхности. [2]

4) Другой подход к определению многогранника представлен в книге В. Г. Болтянского «Элементарная геометрия» [7], построенный на основе вейлевской векторной аксиоматики геометрии. Этот подход не применяется в школьных учебниках, но для примера можно привести одно из определений.

При вейлевском изложении геометрии первоначальными понятиями являются точка, вектор и следующие операции над ними: паре точек сопоставляется некоторый вектор, сумма векторов, произведение вектора на число и скалярное произведение, а также их свойства.

Наиболее известным примером многогранника является параллелепипед. Его можно описать следующим образом. Берется параллелограмм ABCD и из его вершин откладываются равные векто-ры АА₁=ВВ₁ =СС₁ =DD₁ =e, где с не параллелен плоскости параллелограмма ABCD (рис. 1.3). [7]

Определение частных видов многогранников (призмы, пирамиды и др.) в данном подходе практически не отличаются от определений в школьном курсе, однако интересен сам подход к определению на основе другой аксиоматике.

Таким образом, определение многогранника может быть дано различными способами, и в разной литературе и в разных учебниках можно встретить различные подходы к определению.

Можно дать понятию многогранника как дескриптивное, так и конструктивное определение, как определение, основанное на наглядном представлении, так и строгое. Можно определить многогранник как тело и как поверхность. Различны также определения многогранника, данные на основе различных аксиоматик. В школьных учебниках чаще дается какое-то одно определение, но полезно учащимся показывать и другие способы определения многогранника.

Как и при введении понятия многогранника, существуют различные способы введения выпуклых многогранников и правильных многогранников. Рассмотрим эти способы подробнее.

1.2 Подходы к определению выпуклого многогранника.

После введения понятия многогранника в школе, как правило, рассматривают выпуклые многогранники. Удачным считается подход, когда сразу дается определение выпуклого многогранника и для него определяются элементы, что сделать легче. Изучение свойств как выпуклых многоуголь-ников, так и выпуклых многогранников занимает очень большое место в школьном курсе геомет-рии. Однако точный смысл понятия «вы-пуклый» в средней школе не раскрывается и причины, заставляющие требовать вы-пуклости рассматриваемых многоугольни-ков и многогранников, нигде не объясняют-ся. Учащиеся часто вообще не воспринима-ют смысла прилагательного «выпуклый» и лишь по привычке, машинально в ответ на предложение изобразить какой-либо че-тырехугольник рисуют фигуру, изображен-ную на рисунке l.4,а (а иногда даже фигуру, изображенную на рис 1.4,б), а не фигу-ру, изображенную на рис l.4,в. При этом может показаться, что лишь недостаток об-щей математической культуры заставляет их считать все четырехугольники выпуклы-ми, подобно тому как наиболее слабые школьники иногда не в состоянии предста-вить себе четырехугольника, отличного от прямоугольника (рис. 1.4,б), параллело-грамма или, в лучшем случае, от трапеции. В некоторых случаях игнорирование усло-вия о выпуклости многоугольника или мно-гогранника оказывается даже совершенно законным — какую, например, ценность имеет оговорка о выпуклости в теореме: сумма углов выпуклого n-угольника равна (n — 2) .180° Условие этой теоремы пол-ностью сохраняет силу и для невыпуклых (простых) многоугольников; так, например, ясно, что сумма углов и невыпуклого четы-рехугольника (рис. 1.4,в) равна 360°. Прав-да, приводимое в школе доказательство теоремы справедливо лишь для выпук-лых многоугольников.

Понятие выпуклого многогранника чаще всего вводят по аналогии с выпуклым многоугольником. Очень хорошо эта аналогия просматривается в учебнике Александрова. Существует два способа определения выпуклого многогранника. Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой из ограничивающих его плоскостей. Такой подход принят в учебниках и. Либо многогранник называется выпуклым, если любые две его точки могут быть соединены отрезком. Такое определение дается в учебнике. В учебнике за основу берется второе определение и доказывается возможность другого (в нашем случае первого) определения.

Остановимся подробнее на втором определении. Чаще всего в геометрии рассматривают связные фигу-ры, т. е. такие, в которых любые две точки можно соединить линией, целиком принад-лежащей этой фигуре. При этом соединяю-щая линия может оказаться довольно слож-ной (рис 1.5). Естественно выделить класс фигур, для которых в качестве линии, со-единяющей две ее точки А, В, всегда мож-но выбрать самую простую линию — прямо-линейный отрезок АВ. Такие фигуры на-зываются выпуклыми.

Фигура F называется вы-пуклой, если вместе с каждыми двумя точ-ками А, В она целиком содержит и весь отрезок АВ. Примеры выпуклых фигур показаны на рис. 1.6; на рис. 1.7 изображены неко-торые невыпуклые фигуры.

Кроме плоских, можно рассматривать пространственные выпуклые фигуры (их обычно называют выпуклыми телами). Примерами могут служить тетраэдр, параллелепипед, шар, шаровой слой и другие.

Выпуклые тела в прост-ранстве можно определить как пересечение некоторого множества полупространств. Простейшими выпуклыми телами являются те, которые можно представить в виде пере-сечения конечного числа полупрост-ранств. Такие выпуклые тела называются выпуклыми многогранниками.

Свойство, положенное в основу опреде-ления выпуклых фигур (существование в фигуре прямолинейного отрезка, соединя-ющего любые две ее точки), с первого взгляда может показаться несущественными, даже надуманным. В действительности же выделяемый этим определением класс выпуклых фигур является весьма интерес-ным и важным для геометрии. Дело в том, что «произвольные» геометрические фигу-ры могут быть устроены необычайно слож-но. Например, определить, находится ли точка А «внутри» или «вне» замкнутого многоугольника, изображенного на рис1.8, совсем не просто. Если же рассмат-ривать фигуры, не являющиеся многоугольниками, то можно столкнуться и с гораздо большими сложностями. Существует, например, плоская фигура, ограниченная не пересекающей себя замкнутой линией и в то же время не имеющая ни площади, ни периметра. Для выпуклых фигур такие чудовищные явле-ния не могут иметь места: внутренняя об-ласть выпуклой фигуры сравнительно про-сто устроена, любая ограниченная плоская выпуклая фигура обладает определенными площадью и периметром, а пространствен-ное выпуклое тело — объемом и площадью поверхности и т. д. Таким образом, выпуклые фигуры со-ставляют класс сравнительно просто устро-енных фигур, допускающих изучение геометрическими методами.

С другой стороны, класс выпуклых фигур является достаточно обширным. Так, все фигуры и тела, рассматриваемые в элементарной геометрии, либо являются выпуклыми, либо представляют собой несложные комбинации выпуклых фигур и тел. [6]

1.3 Подходы к определению правильного многогранника.

После введения выпуклых многогранников изучаются их виды: призмы, пирамиды и их разновидности. Практически во всех учебниках они определяются одинаково. А при введении определения правильного многогранника авторы учебников расходятся во взглядах. Поэтому интересно рассмотреть различные подходы к определению понятия правильного многогранника и их методические осо-бенности.

В различных учебниках по стереометрии используются разные определения этого понятия. Так, в учебнике и других выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники и, кроме того, в каждой вершине сходится одно и то же число ребер. В учебнике вместо условия равенства правильных многоугольников требуется, чтобы правильные многоугольники были с одним и тем же числом сторон. Пособие А. Д. Александрова и других по сравнению с учебником накладывает дополнительное требование ра-венства всех двугранных углов правильного многогранника. При этом многогранник называется выпуклым, если любые две его точки соединимы в нем отрезком. [3]

Учебное пособие дает такое определение: выпуклый многогранник называется правиль-ным, если все его грани — конгруэнтные правильные многоугольники, и все его многогранные углы имеют одинаковое число граней.

В многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники и все многогранные углы равны. И, наконец, в книге сказано: многогранник называется правильным, если все его граниравные правильные многоугольники, и все его двугранные углы равны.

Как видим, во всех перечисленных учебниках даются раз-личные определения понятия правильного многогранника, использующие разные свойства правильных многогранников.

Перечислим их:

1°. Выпуклость многогранника.

2°. Все грани — равные правильные многоугольники.

3°. Все грани — правильные многоугольники с одним и тем же числом сторон.

4°. В каждой вершине сходится одинаковое число ребер.

5°. Все многогранные углы имеют одинаковое число гра-ней.

6°. Равны все многогранные углы.

7°. Равны все двугранные углы.

Возможны и другие свойства правильных многогранников, например:

8°. Равны все ребра многогранника.

9°. Равны все плоские углы многогранника.

Какие же свойства следует взять для определения пра-вильного многогранника? Каким методическим требованиям оно должно удовлетворять?

Нам представляется, что для отбора свойств в определе-нии правильного многогранника нужно руководствоваться следующими требованиями:

— Всякое определение должно быть полным, т. е. вклю-чать те свойства, которые полностью определяют данное по-нятие. Иными словами, любое свойство данного понятия должно быть выводимо из свойств, перечисленных в опреде-лении.

— Всякое определение должно быть по возможности эко-номным, т. е. не содержать лишних свойств, которые выво-дятся из остальных свойств правильного многогранника.

— Определение понятия правильного многогранника должно отражать уже имеющиеся представления учащихся о слове «правильный» (правильный многоугольник, правильная пирамида и т. д.).

— Определение понятия правильного многогранника должно быть пространственным аналогом определения понятия правильного многоугольника на плоскости.

— Определение правильного многогранника должно до-пускать возможные обобщения, например, на случай полу-правильных и топологически правильных многогранников.

— Определение должно быть педагогически целесообраз-ным, т. е. свойства, включенные в него, должны в той или иной степени использоваться при изучении правильных мно-гогранников, нести определенные педагогические функции.

Пространственными аналогами определе-ния правильного многоугольника являются определения, данные в пособиях [15]и. К числу достоинств этих опре-делений мы относим и то, что в них отсутствует требование выпуклости, которое, с одной стороны, является довольно сложным для учащихся, а с другой — фактически не используется при доказательстве теорем и решении задач. К недостаткам этих определений следует отнести то, что они не обобщаются на случаи полуправильных и топологически правильных многогранников. Например, равенство двугранных углов не переносится на случай полуправильных много-гранников.

Для определения топологически правильных многогранников следует использовать свойства, носящие топологиче-ский характер. Такими свойствами из перечисленных выше являются 3°, 4° и 5°. Поэтому лучше всего для этих целей подходит определение правильных многогранников, данное в учебнике.

Таким образом, мы видим, что ни одно из рассмотренных выше определений правильного многогранника не является универсальным, т. е. удовлетворяющим всем требованиям. В зависимости от целей обучения следует выбирать и соответствующее им определение. Так, если надо только ознако-мить учащихся с определением правильного многогранника, установив аналогию с определением правильного многоуголь-ника, не исследуя при этом подробно свойства правильных многогранников, то целесообразно использовать определения, данные в пособиях и. Если же мы хотим рассмотреть свойства правильных многогранников более подробно, в ча-стности перейти к полуправильным и топологически пра-вильным многогранникам, то лучше всего обратиться к оп-ределениям из учебников и. [29], [27]

2.Изучение многогранников в школьном курсе математики.

В школьных учебниках после изучения «бес-конечно-протяженных» и в силу этого весьма абстрактных геомет-рических фигур: прямых и плоскостей (вернее сказать, их взаимного расположения в пространстве) изучаются зримые, «конечные», даже, можно сказать, осязаемые пространственные фигуры, и в пер-вую очередь многогранники. Многогранник {точнее, модель много-гранника) можно изготовить, повертеть в руках, «развернуть» его поверхность или даже «разрезать» — посмотреть на сечение. В дан-ной теме это весьма существенно, и учителю необходимо использо-вать значительно расширившиеся возможности привлечения наглядности, наглядных средств (не забывая уделять достаточное внима-ние и построению проекционных чертежей). О наглядных средствах поговорим немного позднее.

Можно указать на такие две проводимые методологические линии в изучении геометрии многогранников: это их классификация и изу-чение различного рода количественных характеристик. Конечно, эти линии переплетаются между собой. В данной теме рассматри-ваются простые характеристики — численные: длины ребер, высоты, величины углов, площади поверхностей, — и качественные, типа «правильности». Собственно говоря, качественные характеристики — -это одна из основ классификации многогранников. Если исключить стоящие чуть в стороне от ведущей линии курса правильные много-гранники (пять «платоновых тел»), то логическую схему классификации «школьных» многогранников можно описать примерно следующим образом. Рассматриваются (и строго опреде-ляются) только два вида многогранников: призмы и пирамиды. Конечно, внутри этих видов проводится грубая классификация по числу углов — призмы и пирамиды бывают n-угольными, где n = 3, 4, 5,…. Более детальная классификация — по взаимному располо-жению ребер и граней, по виду граней. Для призм она относительно «разветвленная»:

И далее:

Школьная классификация пирамид менее разветвленная:

Первая задача учителя — добиться от всех учащихся знания этой классификации в том виде, в каком она подается в учебном пособии, т. е. в виде соответствующих определений. И у ученика, и у учителя при изучении данной темы может возникнуть вполне естествен-ный вопрос: почему столько внимания (и столько задач) посвящается всего лишь трем частным типам многогранников — параллелепипе-дам, правильным призмам и правильным пирамидам? Причин по крайней мере три: 1) эти многогранники нужны для дальнейшего построения теории (главным образом теории объемов); 2) они обладают симметрией, как многие формы природы и творения рук человеческих (скажем, архитектурные формы); 3) они обладают «хорошими свойствами», т. е. для них можно сформулировать и доказать достаточно простые теоремы.

Последнее преимущество обусловлено свойствами симметрично-сти; с другой стороны, как раз «хорошие свойства» и используются в теоретических целях. Все теоремы этой темы относятся к «избран-ным» многогранникам, причем совсем просто доказываются и на-половину имеют вычислительный характер (т. е. вид формул). По-этому вторая задача учителя — добиться знания учащимися всех теорем (с доказательствами).

Третья по счету, но первоочередная для учителя задача — на-учить школьников решать задачи. Практически все задачи (упраж-нения) темы вычислительные, большую часть из них составляют простые или совсем простые задачи, и здесь перед учителем рас-крываются большие возможности в продолжение линии обучения школьников эвристическим приемам решения задач. В задачах на-ходят отражение и главные методологические идеи решения задач — аналогия стереометрии с планиметрией, све-дение стереометрических задач к планиметрическим.

Рассмотрим изучение темы «Многогранники» в школьных учебниках. Для примера возьмем учебники разного уровня изложения материала: предназначенные для общеобразовательной школы, для гуманитарных классов, для классов с математическим уклоном.

2.1 Учебник Атанасяна Л.С.

Рассмотрим изучение темы «Многогранники» по учебнику Атанасяна. Этот учебник предназначен для общеобразовательной школы. Остановимся на нем подробнее.

Данная тема изучается в главе 3. На изучение ее отводится 12 уроков. Ниже приведено поурочное планирование в таблице.

Еще до изучения темы «Многогранники» учащиеся знакомятся с их простейшими видами в главе 1 § 4 «Тетраэдр и параллелепипед». На их изучение отводится 5 часов. Понятия тетраэдра и параллелепипеда вводятся в данной главе для того, чтобы рассмотрение их свойств, построение сечений способствовали углублению понимания вопросов взаимного расположения прямых и плоскостей, поэтому необходимо, чтобы решение задач сопровождалось ссылками на аксиомы, определения и теоремы.

При объяснении понятий тетраэдра и параллелепипеда необходимо подчеркнуть, что многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность, а тетраэдр и параллелепипед — поверхности, составленные из плоских поверхностей (многоугольников).

Для формирования у учащихся представления о способах изображения на чертеже тетраэдра и параллелепипеда полезно с помощью диапроектора показать на экране различные проекции их каркасных моделей. Полезно также обсудить простейшие свойства параллельной проекции.

В результате изучения параграфа учащиеся должны уметь объяснить, что называется тетраэдром, параллелепипедом, указывать и называть на моделях и чертежах элементы этих многогранников; знать свойства граней и диагоналей параллелепипеда; уметь изображать тетраэдр и параллелепипед, строить их сечения.

Основная цель темы «Многогранники» — дать учащимся систематические сведения об основных видах многогранников.

Учащиеся уже знакомы с такими понятиями, как тетраэдр и параллелепипед, и теперь им предстоит расширить представления о многогранниках и их свойствах. В учебнике нет строгого математического определения многогранника, а приводится лишь некоторое описание, так как строгое определение громоздко и трудно не только для понимания учащимися, но и для его применения. Такое наглядное представление о геометрических телах вполне достаточно для ученика на первичном уровне рассмотрения понятия. Ниже, в п. 26, рассматривается определение геометрического тела, в связи с чем вводится ряд новых понятий. Этот материал могут прочитать самостоятельно наиболее подготовленные учащиеся, проявляющие повышенный интерес к математике.

На уроке, используя модели многогранников (куб, параллелепипед, тетраэдр, призма), необходимо назвать учащимся их элементы: вершины, грани, ребра, диагонали граней и диагонали рассматриваемых тел. Важно, чтобы школьники усвоили эти понятия, что позволит правильно понимать формулировки задач, не смешивая названия различных элементов в процессе их решения. После этого вводится понятие выпуклого и не выпуклого многогранников; обязательно учащимся показать примеры невыпуклых многогранников.

Призма А₁ А_2… А_n В₁ В₂ …В_n определяется как многогранник, составленный из двух равных многоугольников А₁ А_2… А_n и В₁ В₂ …В_n , расположенных в параллельных плоскостях, и n-параллелограммов А₁ А₂ В₂ В₁, …, А_n А₁ В₁ В_n. Далее вводятся определения элементов призмы, с помощью моделей разъясняются понятия прямой призмы, наклонной призмы, правильной призмы. Необходимо обратить внимание учащихся на то, что четырехугольная призма — это знакомый им параллелепипед. У произвольного параллелепипеда все шесть граней — параллелограммы, а боковые грани — прямоугольники, у прямоугольного параллелепипеда все шесть граней — прямоугольники. При изучении площади поверхности призмы доказывается теорема о площади боковой поверхности прямой призмы.

Пирамида определяется как многогранник, составленный из n-угольника А₁ А₂ … А_n и n-треугольников. При введении понятия правильной пирамиды следует акцентировать внимание учащихся на двух моментах: основание пирамиды — правильный многоугольник, и отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром ее основания, является высотой пирамиды. Можно устно доказать, что боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники. После этого вводится понятие апофемы правильной пирамиды (высота боковой грани правильной пирамиды, проведенной из ее вершины), при этом нужно подчеркнуть, что этот термин употребляется только для правильной пирамиды, хотя у неправильной пирамиды также могут быть равны высоты боковых граней.

При изучении теоремы о площади боковой поверхности правильной пирамиды полезна символическая запись доказательства. Пусть сторона основания n-угольной пирамиды равна а, апофема равна d, S_? — площадь боковой грани. Тогда

S_бок=n• S_?, S_бок=n•ad, S_бок=(n•a)•d, S_бок= Pd, где P — периметр основания пирамиды.

Далее вводится понятие усеченной пирамиды. Плоскость, параллельная основанию пирамиды, разбивает ее на два многогранника: один из них является пирамидой, а другой называется усеченной пирамидой. Усеченная пирамида — это часть полной пирамиды, заключенная между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию данной пирамиды. При выполнении рисунков к задачам на усеченную пирамиду удобно вначале начертить полную пирамиду, а затем выделить усеченную пирамиду.

При введении понятия правильной усеченной пирамиды надо отметить, что ее основания — правильные многоугольники, а боковые грани — равные равнобедренные трапеции; высоты этих трапеций называются апофемами усеченной пирамиды. Также выводится формула площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды.

Последнее, что изучается в теме «Многогранники» в учебнике [4], это симметрия в пространстве и понятие правильного многогранника. Основными понятиями здесь являются понятия симметричных точек относительно точки, прямой, плоскости; понятия центра, оси, плоскости симметрии фигуры. При введении понятия правильного многогранника нужно подчеркнуть два условия, входящие в определение: а) все грани такого многогранника — равные правильные многоугольники; б) в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. В учебнике доказано, что существует пять видов правильных многогранников и не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные n-угольники при n? 6. Целесообразно предложить учащимся изготовить дома модели правильных многогранников. Для этой цели надо использовать развертки, изображенные в учебнике.

Таким образом, в данном учебнике многогранники изучаются с опорой на наглядность, предметы окружающей действительности.

Весь теоретический материал темы относится либо к прямым призмам, либо к правильным призмам и правильным пирамидам. Все теоремы доказываются достаточно просто, результаты могут быть записаны формулами, поэтому в теме много задач вычислительного характера, при решении которых отрабатываются умения учащихся пользоваться сведениями из тригонометрии, формулами площадей, решать задачи с использованием таких понятий, как «угол между прямой и плоскостью», «двугранный угол» и др. [4], [24]

2.2Учебник Смирновой И.М.

Данный учебник предназначен для преподавания геометрии 10−11 классах гуманитарного профиля. По сравнению с традиционным изложением в учебнике несколько сокращен теоретический материал, больше внимания уделяется вопросам исторического, мировоззренческого и прикладного характера.

Как и в [4], особенностью учебника является раннее введение пространственных фигур, в том числе многогранников, в п. 3 «Основные пространственные фигуры». Цель — сформировать представления учащихся об основных понятиях стереометрии, ознакомить с пространственными фигурами и моделированием многогранников. Вводиться понятие многогранника как пространственной фигуры, поверхность которой состоит из конечного числа многоугольников, называемых гранями многогранника. Стороны этих многоугольников называются ребрами многогранника, а вершины многоугольников — вершинами многогранника.

Учащимся демонстрируются следующие многогранники:

— куб — многогранник, поверхность которого состоит из шести квадратов;

— параллелепипед — многогранник, поверхность которого состоит из шести параллелограммов;

— прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, у которого грани — прямоугольники;

— призма — многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов, называемых боковыми гранями (причем у каждого параллелограмма два противоположных ребра лежат на основаниях призмы);

— прямая призма — призма, боковые грани которой — прямоугольники; правильная призма — прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники;

— пирамида — многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников с общей вершиной, называемых боковыми гранями пирамиды;

— правильная пирамида — пирамида, в основании которой правильный многоугольник, и все боковые ребра равны.

Показываются более сложные многогранники, в том числе правильные, полуправильные и звездчатые многогранники. Рассматривается несколько способов изготовления моделей многогранников из разверток и геометрического конструктора. Моделирование многогранников служит важным фактором развития пространственных представлений учащихся.

Таким образом, к началу непосредственного изучения темы «Многогранники» учащиеся уже знакомы (на доступном для них уровне) с традиционным материалом по этой теме. Появляется возможность расширить представления учащихся о многогранниках, рассмотрев с ними более подробно правильные, полуправильные и звездчатые многогранники.

Основная цель данного раздела — ознакомить учащихся с понятием выпуклости и свойствами выпуклых многогранников, рассмотреть теорему Эйлера и ее приложения к решению задач, сформировать представления о правильных, полуправильных и звездчатых многогранниках.

Можно привести примерное тематическое планирование данной темы.

Среди пространственных фигур особое значение имеют выпуклые фигуры и, в частности, выпуклые многогранники. Данное понятие в учебнике вводится следующим образом: многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок. Далее рассматриваются свойства выпуклых многогранников.

После изучения выпуклых многогранников рассматривается теорема Эйлера и ее приложения. В качестве таких приложений рассматриваются задача о трех домиках и трех колодцах, проблема четырех красок, вводится понятие графа.

Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Выпуклый многогранник называется полуправильным, если его гранями являются правильные многоугольники (возможно, и с разным числом сторон), причем в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Рассматриваются пять видов правильных многогранников, некоторые виды полуправильных и четыре звездчатых многогранника.

При изучении правильных, полуправильных и звездчатых многогранников следует использовать модели этих многогранников, изготовление которых описано в учебнике, а также графические компьютерные средства. [28], [27], [29], [30]

2.3 Учебник Александрова А.Д.

Данный учебник предназначен для классов и школ с математической специализацией, он дает богатую математическую информацию, развивает ученика, но является достаточно трудно усваиваемым. В учебнике рассматриваются такие темы, которые в основной школе не доступны даже для «сильных» учеников, например, сферическая геометрия.

Отметим особенности изучения многогранников в данном учебнике. Во-первых, многогранники изучаются после круглых тел. Во-вторых, при изучении многогранника и его элементов прослеживается связь с многоугольником. Вследствие чего возможны две последовательности изложения темы: 1) обобщить понятие многоугольника, затем разобрать аналогичные вопросы в пространстве; 2) пользуясь § 21 учебника, дать сначала определение многогранника, далее обобщить понятие многоугольника. Особенностью является введение двух определений призмы (как в учебниках, рассмотренных выше, и как цилиндр, в основании которого лежит многоугольник), причем доказывается равносильность этих определений. Аналогично дается другое определение пирамиде: как конус с многоугольником в основании. Пункт 23.6 содержит раздел о триангулировании многогранника, и в нем дается другое, конструктивное определение многогранника. § 24 «Выпуклые многогранники» впервые излагается в столь серьезном виде, рассматривается вопрос равносильности двух определений выпуклого многогранника. Изложение темы «Правильные многогранники» также отличается от ее изложения в учебниках по геометрии других авторских коллективов: сначала показываются пять типов правильных многогранников, построением доказывается, что все пять типов правильных многогранников существуют, и только после этого доказывается, что других правильных выпуклых многогранников быть не может. Обычно же после определения сразу доказывалась теорема, а существование показывалось позже, что усложняло методику рассказа.

Таким образом, учебник содержит очень богатый теоретический материал по многогранникам, которого нет в других учебниках по геометрии, также он может быть использован как учебник для дополнительного изучения в основной школе. Ниже в таблице приведено примерное поурочное планирование материала. [3],[20]

Подводя итоги выше сказанного, можно сказать, что во всех учебниках при изучении многогранников рассматривается практически одни и те же основные темы: определение многогранника, выпуклые многогранники, призма, пирамида, правильные многогранники. Разница лишь в глубине изучения этих вопросов: в гуманитарных классах тема изучается более поверхностно, практически без доказательств, в классах с углубленным изучением математики данный вопрос рассматривается глубоко, с научными обоснованиями. Также есть различия в некоторых дополнительных темах, например, полуправильные и звездчатые многогранники рассматриваются только в. В настоящее время во многих общеобразовательных школах идет обучение по учебнику [4], поэтому при выборе содержания можно опираться на него.

3. Виды и роль наглядных средств при изучении многогранников.

Тема «Многогранники», как никакая другая тема школьного курса стереометрии, за исключением, быть может, изучения круглых тел, дает широкие возможности использования различных наглядных средств.

Наглядность является обязательным качеством любого обучения. Путем целенаправленных действий мы формируем в созна-нии учащегося некоторую систему понятий, отношений между ними. Для того чтобы обучение было успешным, необходимо, чтобы ученик мог воспринимать эту систему и работать с ней. Но для этого, в свою очередь, необходимо предъявить ученику некоторую ее материальную модель. Для этого применяют наглядные средства обучения. Например, если изучается понятие пирамиды, то такой моделью может быть: 1) словесное описание (определение) этого понятия; 2) объемная модель пи-рамиды (каркасная или сплошная); 3) ее развертка; 4) изображе-ние пирамиды или ее развертки на доске, на бумаге, на экране и т. п. Все перечисленные объекты являются материальными мо-делями, с той или иной стороны отражающими понятие пирамиды.

Основными наглядными средствами при изучении многогранников являются объемные модели. Такие модели, сделанные из разных материалов, соответствуют различным дидактическим целям.

Так, например, с помощью картонной модели можно показать форму многогранника. Также на таких моделях удобно показать развертку поверхности тела. Но из-за непрозрачности картона уже нельзя использовать картонные многогранники для демонстрации сечения тел и тел, вписанных друг в друга. Стеклянные мо-дели рекомендуется использовать в тех случаях, когда необходимо показать в много-граннике сечение или другое вписанное в него геометрическое тело. Деревянные модели отличаются прочностью. Проволочные каркасные модели также находят широкое применение на уроках стереометрии. Они позволяют показать виды, элементы и про-екцию многогранника на плоскость (тень модели на листе белой бума-ги), сечение многогранника плоскостью, комбинации геометрических тел. Такая модель является связующим звеном между объемной моделью многогранника и чертежом на бумаге. Можно перечислить серии каркасных моделей, которые могут быть использованы на уроке: набор моделей правильных призм и пирамид (полных и усечен-ных), набор моделей четырехугольных пирамид, вершины которых проектируются в точку пересечения диагоналей основания (кроме основного контура, модель должна иметь высоту, диагональ основания и высоты боковых граней), набор моделей на комбинации многогранников.