Математическая статистика

Задание 1. Объединение множеств. Привести примеры

Решение:

Понятие множества принадлежит к числу основных, неопределяемых понятий математики. Оно не сводится к другим, более простым понятиям. Поэтому его нельзя определить, а можно лишь пояснить, указывая синонимы слова «множество» и приводя примеры множеств: множество — набор, совокупность, собрание каких-либо объектов (элементов), обладающих общим для всех их характеристическим свойством.

Объединением АВ множеств, А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств, А или В.

Символическая запись этого определения: А В= хА или хВ.

Здесь союз «или» понимается в смысле «неразделительного или», т. е. не исключается, что х может принадлежать и, А и В. Отметим, что в таком случае элемент х, входящий в оба множества, А и В, входит в их объединение только один раз (поскольку для множества не имеет смысла говорить о том, что элемент входит в него несколько раз).

Поясним определение объединения множеств с помощью диаграммы Эйлера-Венна:

На диаграмме объединение множеств, А и В выделено штриховкой.

Если множество, А определяется характеристическим свойством Р (х), а множество В — характеристическим свойством Q (х), то, А В состоит из всех элементов, обладающих, по крайней мере, одним из этих свойств.

Примеры объединений двух множеств:

1) Пусть А={2; 5; 7}, В={3; 5; 6}. Тогда, А В ={2; 3; 5; 6; 7}.

2) Пусть А=[-¼; 2], В=[ -2/3; 7/4]. Тогда, А В=[-2/3; 2] .

3) Пусть А= х=8k, k Z, B= x=8n-4, n Z.

Тогда A B = 4m, mZ.

Операция объединения множеств может проводиться не только над двумя множествами. Определение объединения множеств можно распространить на случай любого количества множеств и даже — на систему множеств. Система множеств определяется так: если каждому элементу б множества М отвечает множество Аб, то совокупность всех таких множеств мы будем называть системой множеств.

Объединением системы множеств {Аб} называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств Аб. При этом общие элементы нескольких множеств не различаются.

Таким образом, элемент х тогда и только тогда, когда найдется такой индекс б 0 М, что х A б0 .

В случае, когда М конечно и состоит из чисел 1, 2, …, n, применяется запись Если M=N, то имеем объединение последовательности множеств .

Рассмотрим ещё один пример: пусть М=(1; 2) и для каждого б є М определим множество Аб =[0;б]; тогда = [0;2).

Из определения операции объединения непосредственно следует, что она коммутативна, т. е. А1 A2 = A2 А1, и ассоциативна, т. е. (А1 A2) А3 = А1 (A2 А3).

C помощью диаграмм показать справедливость утверждения:

Доказательство тождества двух множеств основывается на определении равенства двух множеств: A = B, если A? B и B? A. Берётся любой элемент x, принадлежащий левой части равенства, и показывается, что он входит в правую часть, а затем наоборот.

Эти свойства вытекают из определения. Действительно, пусть x, тогда х и х, следовательно, x

Графическое решение справедливости утверждения

Задание 2. Перестановки. Число перестановок. Привести примеры

Решение:

Перестановки — различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядком элементов (т.е. могут быть получены из того же самого множества).

Перестановки без повторений — различные упорядочивания данного n-множества, отличающиеся друг от друга лишь порядком входящих в них элементов.

Обозначается как Pn (от фр. «permutation» — перестановка) Число перестановок из n элементов по k вычисляется следующим образом:

Pn=n!

Доказательство:

Будем последовательно выбирать элементы данного множества и размещать их в определенном порядке на n местах. На первое место можно поместить любой из n элементов, на второе любой из оставшихся, т. е. (n-1) элементов и т. д. По правилу произведения получим: .

Пример: Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли бить друг друга?

Ясно, что при таком расположении на каждой горизонтали и каждой вертикали стоит по одной ладье. Возьмем одно из этих расположений и обозначим через номер занятого поля на первой горизонтали, через - на второй горизонтали, …, через - на восьмой горизонтали. Тогда будет некоторой перестановкой из чисел 1, 2, …, 8 (ясно, что среди чисел нет ни одной пары одинаковых, так как иначе две ладьи попали бы на одну и ту же вертикаль).

Обратно, если - некоторая перестановка чисел 1, 2, …, 8, то ей соответствует некоторое расположение ладей, при котором они не могут бить друг друга. Например, на рисунке изображено расположение ладей, соответствующих перестановке 7 5 4 6 1 3 2 8. Таким образом, число искомых расположений ладей равно числу перестановок чисел 1, 2, …, 8, т. е. Р (8).Но. Значит ладьи можно расположить требуемым образом 40 320 способами.

Сколько можно составить всевозможных перестановок из n элементов, в которых данные два элемента стоят рядом?

Определим число перестановок, в которых данные элементы (для определенности a и b) стоят рядом: a на первом месте, b на втором; a на втором месте, b на третьем; …; a на (n-1)-м месте, b на n-м — таких случаев n-1. Однако можно впереди ставить b, а затем a — таких случаев также n-1, т. е. существует 2*(n-1) случаев, когда a и b стоят рядом. Каждому из этих случаев соответствует (n-2)! перестановок. Используя правило произведения, искомое решение можно записать в виде

.

Перестановка с повторениями ранее переставлялись предметы, которые были попарно различны. Если же некоторые переставляемые предметы одинаковы, то получается меньше перестановок — некоторые перестановки совпадают друг с другом. В этом случае речь идет о перестановках с повторениями.

Перестановкой с повторениями состава из букв называют любой кортеж длины в который буква входит раз,…, буква -раз.

Пример:

Имеются предметы k различных типов. Сколько перестановок можно сделать из n1 элементов первого типа, …, nk элементов k-го типа?

Число элементов в каждой перестановке равно. Поэтому если бы все элементы были различны, то число перестановок равнялось бы n!.Но из-за того, что некоторые элементы совпадают, получается меньшее число перестановок. Действительно, возьмем, например, перестановку в которой сначала вписаны все элементы первого типа, потом все элементы второго типа,…, наконец, все элементы k-го типа. Элементы первого типа можно переставлять друг с другом способами. Но так как все эти элементы одинаковы, то такие перестановки ничего не меняют. Точно так же не меняют перестановок элементов второго типа, …, перестановок элементов k-го типа.

Перестановки элементов первого типа, второго типа, и т. д. можно делать независимо друг от друга. Поэтому (по правилу произведения) элементы перестановки можно переставлять друг с другом способами так, что она остается неизменной. То же самое верно и для любого другого расположения элементов. Поэтому множество всех n! перестановок распадается на части, состоящие из одинаковых перестановок каждая. Значит число различных перестановок с повторениями, которые можно сделать из данных элементов, равно

где .

множество вероятность математический ожидание Итак, число перестановок с повторениями можно подсчитать по следующей формуле:

Задание 3

В коробке имеется 14 лампочек, из которых шесть по 100Вт, остальные по 60Вт. Найти вероятность того, что среди пяти наудачу извлеченных лампочек будет хотя бы одна на 60Вт.

Используем обозначения: X — группа лампочек, для которых вероятность равна шести по 100Вт: Y — группа лампочек, для которых вероятность равна 60Вт.

Выдвинем три гипотезы: Н1 — оба взятые лампочки из группы Х, Р (Н1) = 14/15*9/14; Н2 — взятые лампочки из разных групп, Р (Н2) = 2*14/15*5/14; Н3 — оба взятые лампочки из группы Y, Р (Н3) = 5/15*4/14. Пусть событие, А — взятые наудачу пять лампочек, из которых одна будет 60Вт. По формуле полной вероятности получим

P (A) = P (H1)*P (A|H1) + P (H2)*P (A|H2) + P (H3)*P (A|H3) = 14/15*9/14*0.9² + 2*14/15*5/14*0.9*0.95 + 5/15*4/14*0.95² = 0,8402 .

Задание 4

В первой урне 4 белых шара и 7 черных шаров, во второй -6 белых и 3 черных шара. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, один шар, а затем из второй урны берут один шар. Найти вероятность, что он белый.

Найдём вероятность противоположного события — все шары одного цвета. Вероятность суммы этих событий равна 2/10*1/9*3/8*2/7*5/6*4/5 + 2/10*1/9*5/8*4/7*3/6*2/5 + 3/10* 2/9*5/8*4/7*3/6*2/5 = 1/126 Поэтому ответ: 1 — 1/126 = 125/126

Задание 5

Стрелок стреляет по мишени 10 раз. Его вероятность попадания в десятку 0,7. Найти вероятность наивероятнейшего числа попаданий в десятку.

Решение:

Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило.

Также можно записать:

Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из определения условной вероятности.

Если события независимые, то, и теорема умножения вероятностей принимает вид:

В случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные события уже совершились.

Из теоремы произведения вероятностей можно сделать вывод о вероятности появления хотя бы одного события.

Если в результате испытания может появиться п событий, независимых в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из них равна Здесь событие, А обозначает наступление хотя бы одного из событий Ai, а qi — вероятность противоположных событий .

Обозначим попадание в цель стрелком — событие, А Тогда:

Тогда вероятность, что стрелок попадет в мишень

Задание 6

Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

Решение:

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина Х может принимать только значения х1, х2, х3,…, хn вероятности которых соответственно равны p1, p2, p3,…, pn. Тогда математическое ожидание М (х) случайной величины Х определяется равенством:

M (x)=х1p1+х2p2+…+хnpn

Найдем математическое ожидание :

M (x)=2×0.11+(-4)х0.52+6×0.13+(-8)х0,04=-1,04

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

D (x)=M[X-M (x)]2

D (x)= 0.608×0.11+1,16×0.52+0,048Х0,13+1,74×0,04=1,365

Средним квадратичным отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии:

у (X)=vD (X)

у (X)=vD (X)=

Задание 7

Заданы математическое ожидание m и среднее квадратичное отклонение у нормально распределенной случайной величины х.

Найти вероятность того, что х примет значение, принадлежащие интервалу (), вероятность того что абсолютная величина отклонения [хm] окажется меньше

Решение:

По условию задачи

, m=14

P (18;

По таблице находим Ф=0,4772. Отсюда искомая вероятность:

P (18=2×0,4772=0,9544

Воспользуемся формулой

По условию

у=4, m=14,

P ()

Задание 8

Найти выборочное уровнение прямой -=(х-) регрессии на х по данной корреляционной таблице.

Решение:

=;;

Выборочное уравнение регрессии на х Коэффициент корреляции не равен нулю, значит присутствует зависимость величин Х и У; а т.к. r близок к единице, то можно предположить наличие линейной зависимости. Предположение подтверждается расположением данных точек и полученных прямых регрессии: угол между прямыми регрессии мал и точки расположены близко к прямым регрессии.