Краевые задачи для смешанного параболо-гиперболического уравнения с двумя линиями изменения типа

Теория уравнений смешанного типа в силу ее прикладной важности является одним из основных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Основы этой теории были заложены в фундаментальных работах Ф. Трикоми [I], А. В. Бицадзе [2] ,[3], С. Геллерстедта [4], Ф. И. Франкля [б], К. И. Бабенко [б] •.

В математической литературе имеется целый ряд работ отечественных и зарубежных математиков, в которых исследуются основные смешанные краевые задачи и ставятся новые корректные задачи для смешанных эллиптико-гиперболических, параболо-гиперболических и других уравнений (см", например, Л. Берса [7], М. М. Смирнова [8], М. С. Салахитдинова [9], Т. Д. Джураева [Ю], А. М. Нахушева [II]).

В последние годы уделяется большое внимание изучению краевых задач для смешанного эллиптико-гиперболического уравнения.с.одной или с двумя линиями вырождения. Например, Нахушев А. М. в работах [12], [13] исследовал краевые задачи для эллиптико-гиперболических уравнений с двумя непересекающимися. линиями параболического вырождения, а в. работах Зай-нулабидоваМ.М. [14], Монова Б. Т. [15], Салахитдинова М. С., Талипова А. [16], Салахитдинова М. С., Уринова А. К. [17] изучены краевые задачи для эллиптико-гиперболических уравнений с двумя перпендикулярными линиями изменения типа. Как известно, некоторые задачи тепло-массопереноса см. [18]), газо-гидродинамики или же задачи определения напряженности электрического (магнитного) полей в области, заполненной вещественной средой с малой проводимостью [19] сводятся к решению краевых задач для уравнений гиперболического и параболического типов.

В изучении процессов тепло-переноса учитывается тот факт, что при умеренных градиентах температуры тепло-перенос описывается уравнением теплопроводности, а при высоких градиентах температуры гиперболическим уравнением, кроме того образуется подвижная линия раздела при переходе которой тип уравнения меняется.

В настоящее время имеется ряд работ, в которых для таких уравнений ставятся и исследуются различные краевые задачи с одной фиксированной линией изменения типа.

ЛД.Золина [19] изучила аналог задачи Трикоми для уравнения i-Sgny i + ьдпу г- *"" - Чг1- =0 (1) в области Ю «ограниченной снизу при у ^ 0 характеристиками уравнения (I) АС — х + у = о — 8С: ху — I — с боков непрерывными кривыми, А А 0 7 В В0 и сверху (у > о) А0 В0 прямой параллельной оси х с краевыми условиями.

1ас = 04 ** I.

Ею же изучены некоторые обобщения задачи Трикоми для уравнения (I). Для других уравнений смешанного параболо-гипер-болического типа задача Трикоми и ее обобщения с одной линией изменения типа изучены в работах Х. Г. Бжихатлова, А. М. Нахушева [20], 0. А. Ладыженской, Л. Ступялись [21], Т. Д. Джураева, А. Сопуева [22], В. А. Елеева [23] и других авторов.

Б связи с прикладной важностью задачи со свободной границей исследованы многими авторами как у нас в стране, так и за рубежом. Фундаментальные результаты по этой области получены в работах А. Фридмана [24], С. Н. Кружкова [25], Л. И. Рубинштейна [26], С. Н. Кружкова, С. Якубова [27] и др. .

В последние года появились работы, где рассматриваются краевые задачи типа задачи Стефана для смешанного пара-боло-гиперболического уравнения (см* например, [28]).

Следует отметить, что краевые задачи для параболо-гиперболических уравнений с двумя линиями изменения типа мало изучены, тем не менее при изучении движения многофазных сред и других физических процессов часто приходим к краевым задачам для таких уравнений.

Настоящая работа посвящена постановке и исследованию некоторых краевых задач для смешанных параболо-гицерболи-ческих уравнений с двумя фиксированными и со свободными (неизвестными) линиями изменения типа.

Диссертация состоит из двух глав и шести параграфов. В первой главе рассматриваются уравнения.

2) им+аз (ХЛ]1V^*^' *<0-Ц>0 в области 5) ограниченной отрезками BBQ 7 60Д о прямых x = i^tj-i и характеристиками, А 0С0: у-и =•.

СС0: x+j — о j С6: x-g = 1 пересекающимися в точках.

Со («Г 7 i) — С (i 7 «X) • Пусть.

2)1 = Лп (х>о, у >о) — = 5) л (a^ >о, о) ^.

О < ОС, < 1 ?

1 J .

Для уравнения (2) изучены следующие задачи.

Задача Г±Найти непрерывную в замкнутой, области <$ 5 функцию Lt (oi^) со следующими свойствами:

1. Функция является решением уравнения (2) в области S) • (i- = ij i).

2. на линиях J. С 1 = выполняются условия склей-вания.

UO, 4о) ~ nC^-o) } о < ca < i O) = LL^CXj-O)^ О < CC. С 1 ^ чС-о^) 7 1 7 I, o.

3. удовлетворяет краевым условиям.

-|вв = W, (3) aLflc0-V3) —, (5) здесь if — г)/. (I = 4- I) заданные непрерывно дифференцируемые функции, а яр.1 удовлетворяет условию Гельдера соответственно на отрезках [о- ] - [ ^ 7 1 ] .

Если выполняются следующие условия а): удовлетворяет условию Гельдера, причем (^(1,9) < о — aL — 6., с. е t) з б).

— 8 a3~ h Ъ 0 у С3 ^ 0 7 то решение задачи Р4 имеет не более одного решения.

Доказательство этого утверждения устанавливается с помощью принципов экстремума для параболических и гиперболических уравнений.

Доказательство существования решения задачи Г±проводится методом интегральных уравнений.

Во втором параграфе первой главы задача Г±обобщается в следующей постановке.

Задача. Найти функцию при следующих требованиях: п Ci (Z>JLu3i) П С1(&3ийл).

2. функция иЫуу) является решением уравнения (2) в области 5) — (l=) }.

3. на отрезках 3. С l=i-a) выполняются условия склейу вания.

L (*,+о) = Ид (тго) + m1(a!)u.(a:roJ+n1C®) — V"J V-0^") + >)+ Ь 8е, где ^.(i) — m.(t), и. (4) (l = i, d) — о < * < i.

— заданные функции, причем L. (4 J ф о (l- ±-, л).

V / l. JLt).

4, на границах области $ удовлетворяет краевым условиям (3) — (5)..

От заданных функций потребуем выполнения одного из следующих случаев: а) (М*, 9><0 — Vi >° -.

I т. ъ о } i = ijA* у 0 7.

Единственность решения задачи TioC доказывается с помощью принципов максимума для параболических и гиперболических уравнений, а существование решения задачи доказано методом интегральных уравнений..

В третьем параграфе первой главы исследована нелокальная краевая задача Г^ типа задачи Бицадзе-Самарского [29] для уравнения (2)..

Постановка задачи Г^ точно такая же, как и постановка задачи Г,, но теперь граничные значения искомой функции заданные на характеристиках АС и А0С0 заменяются условиями uUc = - X**** ,.

Кроме того, условие (3) заменяется нелокальным условием и ic=i.

O^y^l? 0<1, te^b fik^)) (* = -известные непрерывно дифференцируемые функции..

При исследовании задачи Г^ отдельно изучается случай уравнений с постоянными коэффициентами, которые с помощью элементарных преобразований могут быть приведены к виду Л j при х >0> - i (8).

I- + ci ^ при = поэтому однозначная разрешимость задачи Г^ при постоянных коэффициентах исследована для уравнения (8)..

Во второй главе, состоящей из трех параграфов, исследован аналог задачи Стефана [24] для смешанного парабологиперболического уравнения с двумя линиями изменения типа В первых двух параграфах для уравнения и-ы при —.

ОА иогъ~ при где криволинейный треугольник, (см. рис.1) t 4.

АР: x + t 1.

АаР: x-i^S^Tj.

-Т0 —.

АН, о) о B (t-o) х..

A Ai: х= &±ct), 5⁰)=-tj.

Рис. I.

BE: x-t = lВ1Е: x + t = $А (Т0)+Т03.

BBj x = SACt), SA (o) =? з To,?-C0wt-t>o, To>o)^.

— криволинейная трапеция, ограниченная линиями: t — о -7 ос= б^С-t), t = Т0 — ?>±(-fc) — здесь x = S1(t)? х = 5Л00 неизвестные функции при переходе которых тип уравнения (9) меняется..

Обозначим Я = и и и (х= S?(t)) v (>= ^(t)).

В области Я) рассматривается следующая.

Задача Требуется определить функции U-CXj-t)) со следующими свойствами:.

1) х = 6 (t), х = определены и непрерывны при, причем = ?>05.

2) -1 < SA (-t) so, о? sA (t) ^ i —.

3) функция Lt (x-t) непрерывна в !) >.

— 12.

4), ИХ (5ЛСt)±o, t) непрерывны-.

5) U (x, t) удовлетворяет уравнению (9) в каждой из областей (1 = 1³) и условиямт0-е * х < -е- (ю>.

U (6i (-t)^t) = о — о ^ t ^ Т0 7 (II).

U (6A (t)—fc)= ip (t) — ost < Т0 7 да).

U (x, i-e) = i^Cx), U as. < T0 + 5, (13) li (a, o) = LL0C-x) — -i < X < I, (14), (16).

Здесь J^tt), заданные функции, J^(«t) непрерывна при о^-t ^ Т0 — уи-L (+)>0-.

U0(x), ll/. (xj дважды непрерывно дифференцируемые функции при Vt соответственно, a ip (tj непрерывно дифференцируема при о 6 i < Т0 ..

Замечание. Замена (II) не нулевым условием (^М >о) особых затруднений не вызывает, кроме вычислительного характера..

Теорема I. Пусть заданные функции удовлетворяют условиям:.

4W< о 7 ч> Ш 40 0 о* t ±-Т0 — ио (т)<�о^ (-!)>:< о (и±, л), кроме того, ty. невозрастающая функция, удовлетворяет условию Липши, ца и имеет место где oi-L — решение следующего интегрального уравнения.

Тогда решение задачи (9)-(16) существует и единственно..

Доказательство теоремы проводится следующим образом. Пользуясь общим решением уравнения колебания струны и условиями (Ю), (13), (15), (16) разрешимость задачи сводится к аналогу известной задачи Стефана [24] для уравнения теплопроводности, т*е. к задаче (9), (II), (12), (15)—(16), далее данная задача решается в области 0 ^ t ^ Г.

J-iW? да) fl (-t-l) ,.

-4)= u0(-t)=o, u0M) = 440) = ^t).

JL.li) + L ч-t.

4ъ ..

T0 J^ bLd) <. л < s^c-ь) ..

I •.

0 ± (-1) 6. Ci) < 1 (I — 1- Л).

В силу условия решение задачи (9),.

II), (12), (15)-(16) может быть продолжено до любого наперед заданного Т0, а в областях и после определения .

Рис* 2.

В третьем параграфе второй главы исследована краевая задача с. негладкой линией изменения типа для смешанного параболо-гиперболического уравнения..

Пусть.

2) * = { ЫЛ): о<�ъ< 6hCt) — о < i < Т0 }? Т0 — eowbi у Ъ^ = { (ос": -t < х ^ h-t у t < о } }.

Ъъ — обозначает полуполосу, ограниченную линиями x + i — h j x-sC-Ь), oc + i = S (T0) + T0 ..

Обозначим 2) = и й h и? h и 1 иТ и й.

1 tL 3 1 Л 3 см. рис.2)^ { (ayfc): *+t = h, i — = x= ЬС-t), Л.

X=S (t) — неизвестная функция, причем S (o) = h ^ о. Для уравнения.

О.

О. — U. хос, t хх it при (cc^tj? <2)± - при (т,-Ь)? Я* и.

17) исследуется следующая L.

Задача Требуется определить пару функций И (т/Ь) у 6 (i)) обладающих следующими свойствами:.

I. ?-?>h (t) определена и непрерывно дифференцируема при О ^ i ^ Т0 з.

2* аеС (Э1,) — ShCtj] - h eh.

UxeC[^3hUSh (i)], U eCf^uaj ,.

U. e С (и) при и",.

— 16 u>(*j-o) = u (ot,+o) при h±o, X6=J±j Ut (x,-o) = il (t,+o) при.

3, LLC-Xj-t) удовлетворяет уравнению (17) в области 5)*1 кроме точек линии в • (1= л, 7 5) <.

4. на границах области SO удовлетворяет условиям f (t), о — i < Т0 — (18).

— г|/(т) ^ х^о — (19).

U-Oh (t), t) = 0, 0-i — (20).

Aft)Ux (5^t)+o^)-/(tJUx (&h (t)-o, t) — №) 6 (t), (2D.

О s t * Т0, здесьf (t), тг (я), Mt), {ГС±-) 7 oC (i) — заданные функции, причем J.(i) у f (t), Л (-Ь) б С 1 [о7Т0].

A (tJ>o, oC (t) >0 7 X (t)>0, if^CxJограниченная Функция при х + °°, кроме того f (x)? СА (х*0), f (i)6C" (o^i.

Теорема 2. Пусть заданные функции удовлетворяют условиям:.

4(t)^о при о^ i ^ Т0, гр’ед^о (x^oj aW^'(o) ^^^(t)^ тогда решение задачи (17)-(21) существует и единственно..

В ходе доказательства теоремы рассматриваются два случая И 70 и И — О ..

В случае h > о поставленная задача эквивалентным образом сводится к разрешимости системы нелинейных интегральных уравнений второго рода типа Вольтерра, затем доказано существование единственной неподвижной точки, которая является решением системы нелинейных интегральных уравнений..

При исследовании задачи (17)-(21) в случае Ь = о необходимо учитывать, что область вырождается, т. е. полученное решение уравнения теплопроводности в начале координат имеет особенность. Поэтому предварительно построены последовательности {Л*)}, |ihK")} и установлены априорные оценки независящие от Ь. Используя теорему Арцеля [30] доказано существование такой подпоследовательности, когда.

Ь = h ^ + О при fc 00, что.

1. { 6h|c J 6(t) равномерно при о ^ t ^ Т0 -7 в при этом 6 Li) >, о 6 (Л) ^ 1 5.

2. функции { u^cc^ijJсходятся к непрерывному решению U (x, t) уравнения (17) обладающие в области непрерывными частными производными U^ 1 7 ..

— 18.

Решение задачи в гиперболической части области после определения 5(t) может быть выписано в явном виде..

Результаты работы докладывались на семинаре «Дифференциальные уравнения с частными производными и математические вопросы механики» Института механики и сейсмостойкости сооружений им. М. Т. Уразйаева АН УзССР (руководитель член-корр. АН УзССР Т.Д.Джураев), на семинаре отдела дифференциальных уравнений Института математики им. В.И.Романовско-го АН УзССР (руководитель академик АН УзССР М.С.Салахитди-нов), на Всесоюзном семинаре — совещании по теории кубатур-ных формул и смежным вопросам (г.Бухара, 1983 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [42 — 46] ..

Пользуясь случаем, выражаю искреннюю благодарность моему научному руководителю член-корр. АН УзССР Тухтамура-ду Джураевичу Джураеву за постоянное внимание и ценные советы при выполнении этой работы..

1. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производ-ных. -М.: ИЛ., 1957, 192 с..

2. Бтцадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд. АН СССР, 1959, 164 с..

3. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частныхпроизводных. М.:" Наука", 1981, с. 295−402..

4. Gellerstedt S. Arkiv mat. Astr. Och. Fysik 3,1938, В. 26A, p. 1−32..

5. Ф p, а н к л ь Ф. И. Избранные труды по газовой динамики.- М.: «Наука», 1973, 712 с..

6. Бабенко К. И. К теории уравнений смешанного типа. УМН УШ, 2(54), 1953, с. 160..

7. Б е р с Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: ИЛ., 1961, 231 с..

8. М о н о в Б. Т. Об одной краевой задаче для уравнениясмешанного типа в неограниченной области. Изв. АН УзССР, сер. физ.-мат.наук, 1972, IS 2, с. 26−29..

9. Салахитдинов М. С., ТолиповА. К проблеме уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения. В сб. «Краевые задачи для дифференциальных уравнения», 5, Ташкент: «ФАН», 1975, с. 3−18..

10. Салахитдинов М. С., У р и н о в А. К. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа с негладкими линиями вырождения. Докл. АН СССР, 1982, Т.262, Я 3, с. 539−541..

11. Л ы к о в А. В. Тепломассообмен. Справочник, М.: Энергия, 1978, 460 с. 19. 3 о л и н, а Л.А. О краевой задаче для модельного уравнения гиперболо-параболического типа. Ж Ш и МФ, 1966, Т.6, В 6, с. 99I-I00I..

12. Бжихатлов Х. Г., Н, а х у ш е в A.M. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболи-ческого типа. Докл. АН СССР, 1968, Т.183, Я 2, с.261−264..

13. Ладыженская О. А., Ступялис Л. Об уравнении смешанного типа. «Вестник ЛГУ, сер.мат., мех. и астр.» 1965, T. I9, JR 4, с.38−46..

14. Д ж у р, а е в Т.Д., Сопуев А. О краевых задачах дляуравнения смешанного параболо-гиперболического типа. Изв. АН УзССР, сер. физ.-мат.наук, 1981, JS 4, с.23−27..

15. Е л е е в В. А. Обобщенная задача Трикоми для смешанныхгиперболо-параболических уравнений с характеристической линией изменения типа. Диф. уравнения, 1980, Т. ХУ1, Jt I, с.59−73..

16. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. -М.: «Наука», 1968, 427 с..

17. К р у ж к о в С.Н. О некоторых задачах с неизвестнойграницей для уравнений теплопроводности. ПММ, 1967, Т.31, вып. 6, с. 1009−1020..

18. Рубинштейн Л.й. Проблема Стефана. Ригазвайгзне 1967, 457 с..

19. Кружков С. Н., Якубов С. О разрешимости одного класса задач с неизвестной границей для уравнения теплопроводности и поведения решений при неограниченном возрастании времени. В сб. Динамика сплошной среды, вып. 36, Новосибирск, 1978, с.46−70..

20. X у б и е в Р. Н. Аналог задачи Стефана для гиперболо-параболического уравнения с неизвестными линиями. Диф. уравнения, 1980, Т.16, й I, с. 145−149..

21. Б и ц, а д з е А.В., Самарский А. А. О некоторыхпростейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач. Докл. АН СССР, 1969, T. I85, Ш 4, с.739−740..

22. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теориифункций и Функционального анализа. М.: «Наука», 1976, с. ПО-112..

23. Пулькин С. П. Задача Трикоми для общего уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Докл. АН СССР, Т.118, Л I, с.38−41..

24. Б и ц, а д з е А. В. Уравнения математической физики. М.:Даука", 1976, 269 с..

25. Ильин А. М., Калашни ков А.С., 0 л е йн и к О. А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа. ЖН, 1962, Т. ХУЛ, вып. З, с.3−146..

26. Тихонов Н. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: «Наука», 1972, 734 с..

27. Соболев С. Л. Уравнения математической физики.М.: «Наука», 1966, 443 с..

28. К л о к о в Ю. Л. Метод решения предельной краевой задачидля обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Мат. сб., 1961, Т.53(95) Ш 2, с.219−232..

29. В е к у, а И. Н. Обращение одного интегрального преобразования и его некоторые применения, Сооб^АН ГССР, 1945, Т. У1, В 3, с.180−183..

30. Салахитди нов М.С., У р и н о в А.К. 0 некоторых краевых задачах со смещением для уравнения смешанного типа. В сб. «Дифференциальные уравнения и вопросы теории ветвления». Ташкент: «ФАН», 1982, с.3−12..

31. Б, а б и ч В.М., Капилевич М. Б.,.Линейныеуравнения математической физики. М.- «Нада», 1964, 198 с..

32. Смирнов В. И. Курс высшей математики. М.: «Наука», 1974, Т.4, 336 с..

33. Р е п и н Ю. М. Об устойчивости решений с запаздывающимаргументом. ШМ, 1957, Т. XXI, вып.2, с.253−261..

34. Якубов С., Эгамбердиев У. О некоторыхкраевых задачах с неизвестной границей для смешанных параболо-гиперболических уравнений второго и третьего порядков. Диф. уравнения ТХХ, В I, 1984, с.154−161..

35. Д ж у р, а е в Т. Д, Эгамбердиев У. О некоторыхкраевых задачах для смешанного гиперболо-параболичес-ного уравнения. Известия АН УзССР, серия физ.-мат. наук, Ш 2, 1984, с.15−20..

36. Эгамбердиев У. О некоторых краевых задачахдля смешанного параболо-гиперболического уравнения с двумя линиями изменения типа. В сб. «Краевые задачи механики сплошных сред.» Ташкент: «ФАН» УзССР, 1982, с.117−127..

37. Эгамбердиев У. Об одной краевой задаче длясмешанного параболо-гиперболического уравнения с двумя линиями изменения типа. В сб. «Краевые задачи для дифференциальных уравнений», Ташкент: «ФАН» УзССР, 1984, с, 56−63,.

38. Д ж у р, а е в Т.Д., Якубов С., Эгамбердиев У. О некоторых краевых задачах с неизвестной границей для смешанных параболо-гиперболическихуравнений второго порядка. Докл. АН УзССР, 1984, В 6, с.9−10..