Методика обучения теме «Теорема Безу» в школьном курсе алгебры

Содержание Введение Глава 1. Педагогические технологии

1.1 Понятие педагогической технологии

1.2 Принципы и сущность технологии академика В.М. Монахова

1.3 Дидактические принципы организации обучения

1.4 Возрастные особенности подростков Глава 2. Методические особенности изучения Теоремы Безу

2.1 Принципы отбора содержания

2.2 Авторская программа

2.3 Обзор теории

2.4 Методические рекомендации

2.5 Банк задач

Заключение

Список изученной литературы

Анализируя результаты проверки знаний выпускников средней школы по математике, можно сказать что, уровень математической подготовки не удовлетворяет тем целям, которые были поставлены перед учителем с пятого класса. Если некоторые шаблоны и алгоритмы школьниками и усвоены, то любое отступление от стандарта в формулировке задач и упражнений приводят ученика в замешательство. Это происходит потому, что в средней школе не уделяется достаточно внимания развивающей стороне математики. В школьном курсе нет возможности получить формулы решения кубических уравнений. Между тем круг задач, которые целесообразно решать в школе, значительно шире стандартной задачи «Решить уравнение» — можно говорить и о числе корней уравнения, и о нахождении целых и рациональных корней и т. д., а многие из этих вопросов вовсе не требуют умения находить все корни уравнения. Поэтому один из таких крупных разделов как «Тождественные преобразования многочленов и решение уравнений» необходимо обогатить заданиями, связанными с теоремой Безу. Подобное расширение внутри этой важнейшей темы послужило бы глубокому и прочному усвоению базовых знаний, умений и навыков, которые позволят решать более широкий спектр задач, развить мышление учащихся, расширить их математический аппарат.

Кроме того, существует большой разрыв между математикой, которая преподается в средней школе, и наиболее живыми и важными для естествознания и техники разделами современной математической науки. Отсутствие в курсе средней школы заданий связанных с схемой Горнера, теоремами о целых и дробных корнях многочлена, теоремой Безу является одной из причин этого разрыва. Теорема Безу включена в проект программы по математике для двенадцатилетней школы, поэтому нужно изучить особенности прохождения этой темы в школьном курсе. Но в проекте программы по математике для двенадцатилетней школы эта тема рассматривается в старшей школе. В своей дипломной работе я собираюсь показать, что изучение этой темы возможно и на более раннем этапе — материал по данной теме вполне доступен для изучения учащимися 7−9 классов. Его изучение подготовит ребят к успешному усвоению курса алгебры в старшей школе. В отличие от большинства тем школьного курса алгебры, ориентированных в целом на изучение функций, теорема Безу представляет собой математический аппарат для решения задач более широкого содержания — прежде всего решения уравнений. Она позволит учащимся решать уравнения третьих и более высоких степеней с целыми коэффициентами, которые в школьном курсе не рассматриваются. В свой дипломной работе я постараюсь показать, что теорему Безу можно и нужно изучать в школьном курсе алгебры, хотя для этого придется дополнить его некоторым теоретическим материалом. Целью моей дипломной работы является разработка методики обучения теме «Теорема Безу» в школьном курсе алгебры. В связи с этим мною были поставлены следующие задачи:

— проанализировать методическую, педагогическую и психологическую литературу по данной теме, с целью определения роли и места теоремы Безу в школьном курсе алгебры;

— отобрать материал, который должен входить в содержание темы;

— определить место этого материала среди традиционных тем курса алгебры;

— разработать методические рекомендации, обеспечивающие усвоение теоремы Безу.

Часть материала, предлагаемая к изучению в седьмом классе, была опробована при работе с семиклассниками (общеобразовательного класса) в средней общеобразовательной школе № 818. Более подробно о результатах этого эксперимента я расскажу во второй главе, а сейчас отмечу лишь, что ранняя пропедевтика изучения материала, связанного с теоремой Безу и ее следствиями посильна учащимся 7-х классов, начавшим изучать тему «Разложение многочленов на множители» .

ГЛАВА I. Педагогические технологии

1.1 Понятие педагогической технологии

В последнее время образовательное пространство России бурно заполняется не только различными новыми и новейшими технологиями, но и псевдотехнологиями, для которых характерно прежде всего безответственное отношение их авторов к самому термину «технология» .

Как правило, ими игнорируются два принципиальных признака технологии: гарантированность конечного результата обучения (точнее, степень гарантии) и определенная процедурность проектирования той или иной формы учебного процесса, к этому можно еще добавить отсутствие в школьной практике диагностируемых целей обучения, существующие традиции бессмысленных домашних заданий.

Обращает на себя внимание та легкость, с которой любые рекомендации стали называться технологиями.

Термин «технология» в педагогической литературе используется в различных словосочетаниях: педагогическая технология, технология личностно ориентированного образования, технология учебного процесса, технология обучения, технология развивающего обучения и т. д. В научно-педагогической литературе представлен широкий спектр трактовок этих понятий. Так, понятие педагогической технологии предлагают вводить как посредством расплывчатых, вычурных определений, так и с помощью аксиоматического метода. Приведем ряд трактовок:

* Педагогическая технология — целенаправленное использование объектов, приемов, технических средств, обучения, событий и отношений в учебном процессе.

* Педагогическая технология — концептуальная мозаика педагогических понятий; педагогическая технология — педагогическая профессия.

* Педагогическая технология — комплексный интегративный процесс, включающий людей, идеи, средство, способы организации деятельности.

* Педагогическая технология есть область исследования теории и практики (в рамках системы образования), имеющая связи со всеми сторонами организации педагогической системы для достижения специфических и потенциальных воспроизводимых результатов.

Как положительное явление отметим попытки авторов выделить признаки педагогической технологии. Среди них есть такие, которые совершенно не имеют отношения к технологии, однако диагностическое целеполагание, результативность, целостность, управляемость, корректируемость, алгоритмируемость относятся, несомненно, к признака технологии.

Термин «технология», вообще говоря, не является для нас новым, правда,. ранее он связывался главным образом с производственной сферой, например, технология металлов, технология изготовления бетона и т. д. Поскольку понятие технологии в педагогику пришло из производственной сферы, то рассмотрим основные признаки технологии производственного процесса. Энциклопедия разъясняет технологию как совокупность методов обработки, изготовления, изменения состояния, свойств, формы сырья материала или полуфабриката, осуществляемых в процессе производства продукции. Технологическая карта, важнейший элемент технологии, рассматривается как форма технологической организации, в которой записан весь процесс обработки изделия, указаны операции и их составные части, материалы, производственное оборудование и технологические режимы, необходимые для изготовления изделия время, квалификация работников и т. п. Укажем еще одно понятие — технологические теории, для которых характерно признание определяющей роли производства, техники в развитии общества и отрицание значения производственных отношений. Эти теории получили распространение в 40-х гг. ХХ в. под воздействием работ П. Друкера (США). Итак, технологизация процесса изначально предполагает достаточно глубокое знание закономерностей его функционирования и отрицание роли личностного фактора в его осуществлении. Главное в управлении технологизируемым процессом заключается в знании всех его этапов, последовательности их реализации, закономерностей протекания процесса. Очевидно, что, чем больше известно о каком-либо процессе, тем выше возможность его технологизации[34].

В данное время в педагогических науках, в частности в методике обучения математике, известны многие закономерности процесса обучения, поэтому правомерно говорить о технологии этого процесса. Ясно, что теоретическое осмысление явления, процесса невозможно вне построения его модели. В зависимости от конкретных целей исследования ученые выбирают разные модели исследуемого процесса.

Конструирование модели непременно требует отвлечения от некоторых атрибутов изучаемого феномена. Так, исследуя процесс обучения, авторы его моделей отвлекаются от личности конкретного учителя, которая имеет большое значение в реализации учебного процесса. Процесс обучения математике чаще моделируется системой, компонентами которой являются цели обучения математике, содержание математического образования, методы, формы и средства обучения математике. Закономерные связи между компонентами системы, а также между компонентами и внешней средой образуют теорию обучения математике, обусловленную избирательной моделью процесса обучения и его внешней средой. В данной контексте методику обучения (в узком смысле) можно рассматривать как приложение теории. Цель методики в узком смысле заключается в «переводе» теоретических положений в плоскость конкретных явлений. Технологии обучения, выстроить его этапы, выделить условия их реализации, соотнести с возможностями школьников и т. п. Можно сказать, что теория обучения математике выявляет закономерности функционирования методической системы обучения математике, методика строит их приложения, а технология разрабатывает способы реализации модели этой системы. При таком подходе технология предполагает диагностируемость целей и выявление условий (методов, средств, форм, зависимостей), т. е. проектирование процесса обучения математике, осуществление которого призвано достичь намеченных целей обучения. Таким образом, технология основывается на теории обучения математике и ее приложениях и ее эффективность зависит от уровня их развития.

Технологизация обучения предполагает диагностику, в частности диагностику целей обучения. Последнее предполагает постановку целей обучения так, чтобы можно было проверить их выполнимость.

Технология обучения позволяет эффективно выстраивать процесс обучения, управлять им, получать результаты в соответствии с запланированными целями.

Обобщая все выше сказанное, отметим, что педагогическую технологию отличает два принципиальных момента:

1) технология гарантирует конечный результат;

2) технология является проектом будущего учебного процесса.

Итак, педагогическая технология — это иерархинизированная и упорядоченная система процедур, неукоснительное выполнение которых гарантирует достижение определенного планируемого результата, в рамках нашей темы — это проект программы двенадцатилетней школы.

Второй вывод: педагогическая технология — это набор технологических процедур, обновляющих профессиональную деятельность учителя и гарантирующих конечный планируемый результат.

Очевидно, что приход технологии на смену традиционной методике должен безусловно способствовать большей эффективности учебного процесса. В этом плане устойчивость показателей учебного процесса следует рассматривать как характерологическое качество именно технологии. Тогда неустойчивость показателей вряд ли можно отнести к технологии.

Важно заметить, что выход на технологический уровень проектирования учебного процесса и реализации этого проекта выступает альтернативой формального образования, учитывает значительное усиление роли обучаемого.

Педагогическая технология позволяет создать проект учебно-познавательного процесса, определяющий структуру и содержание учебно-познавательной деятельности самого учащегося.

Главное в проекте, во-первых, структура и содержание учебно-познавательной деятельности учащегося, а не педагогические воздействия учителя, во-вторых, методология технологического целеобразования (целеполагания) как центральная проблема технологизации.

Цель является основой функционирования любой технологии и основой управления учебным процессом. Главное в технологии — это достигается или не достигается цель, отсюда и эффективность технологии.

1.2 Принципы и сущность технологии академика В.М. Монахова

Педагогическая технология академика В. М. Монахова скрупулезно учитывает проекты Государственных образовательных стандарта как школьного, так и вузовского. Перечислю некоторые принципы, которые, по моему мнению, позволят гарантировать достижение запланированного результата.

1. Принцип параметризации учебного процесса.

Выбранные параметры образуют модель учебного процесса, которая и становится основой педагогической технологии. В педагогической технологии академика В. М. Монахова принято параметрическое задание информационной модели учебного процесса. Выделяются пять параметров: целеполагание, диагностика, дозирование, логическая структура, коррекция.

1) «ЦЕЛЕПОЛАГАНИЕ»

Представляет информацию о цели и направленности учебно-воспитательного процесса в виде системы микроцелей.

Микроцели формируются в форме: «знать…», «уметь…», «понимать…», «иметь представление о…». В основе этой деятельности учителя лежат государственные документы стандарта и программ. Язык микроцелей должен быть понятен ученику.

2) «ДИАГНОСТИКА» .

Доставляет управленческую информацию о факте достижения микроцели или о факте недостижения микроцели.

3) «ДОЗИРОВАНИЕ» .

Формирует содержательную и количественную информацию об объеме, характере, особенностях самостоятельной деятельности учащихся, достаточную для гарантированного успешного прохождения диагностики.

4) «ЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА» .

Это информация о переводе методического замысла учителя в целостную и логически наглядную модель учебного процесса. Этот параметр несет в себе многоаспектную информацию об учебном процессе. Этот параметр не просто фотография логической структуры учебного процесса, а специально формируемое рабочее поле, где все представляется в технологическом виде и может быть существенно улучшено и оптимизировано по определенным технологическим процедурам. Структура представляется цепочкой уроков, которые разбиваются на группы по числу микроцелей. Каждая микроцель — это некая группа уроков, на которых, во-первых, дожна быть достигнута микроцель, во-вторых, это программа развития мышления, памяти, речи, внимания, интереса.

5) «КОРРЕКЦИЯ» .

Предоставляет информацию о педагогическом браке, т. е. об учащихся, не прошедших диагностику, и о содержании методического пути коррекции.

2. Принцип целостности и цикличности модели учебного процесса.

Результатом многолетних исследований явилось установление нетривиального факта, что основным объектом технологизации учебного процесса должна быть учебная тема любого предмета. Причем, объем учебной темы был канонизирован: минимальный объем — 6−8 уроков, максимальный объем — 22−24 урока. Именно в проекте учебной темы целостно задается будущий учебный процесс с помощью пяти параметров и именно такая учебная тема обеспечивает цикличность технологизации и проектирование в виде одних и тех же универсальных технологических процедур, позволяющих проектировать учебный процесс по любым учебным предметам.

3. Принцип технологизации информационной модели учебного процесса.

В педагогической технологии академика В. М. Монахова технологизация информационной модели учебного процесса завершилась после многолетних поисков созданием технологической карты проекта учебного процесса в границах одной учебной темы — ТК, в которой в технологически продуманном виде представлены все пять параметров учебного процесса. Технология вооружает учителя системой технологических процедур для проектирования всех пяти соответствующих компонентов технологической карты. Сама технологическая карта выступает паспортом проекта учебного процесса по учебной теме. Дальнейшая конкретизация такого проекта учебного процесса осуществляется в виде информационных карт урока — ИКУ. Например, в технологической карте указано 17 уроков, следовательно, конструируется 17 информационных карт урока.

4. Принцип технологизации профессиональной деятельности учителя.

Этот принцип касается в первую очередь следующих инновационных компонентов профессиональной деятельности учителя.

· Умение выражать педагогический замысел проекта учебного процесса на весь учебный год в виде последовательности микроцелей, сконструированных учителем на основании своего методического опыта, содержания учебной программы и требований Государственного образовательного стандарта, последовательное выполнение которых приводит класс к безусловной реализации стандарта. Эта система микроцелей может быть представлена в более наглядном виде, как лестница, ступеньками которой являются микроцели, ведущая к стандарту. Другими словами — это технологическая процедура перевода требований стандарта на язык микроцелей, где микроцель — это ступенька познания и развития учащихся.

· Второй компонент требует от учителя — автора проекта высокого уровня мастерства и творчества, так как связан со сложнейшим методическим действом — переструктурированием традиционных учебных тем. Действительно, система микроцелей на весь учебный год как бы «растворяет» границы между учебными темами, и учитель-мастер получает возможность, исходя из своего опыта и технологических процедур, установить свою авторскую структуру. Каждый цикл — это учебная тема (в новой трактовке), совокупность циклов обеспечивает целостность и полноту проекта учебного процесса.

· Третий компонент — это профессиональное умение проектировать технологическую карту — ТК. Фактически — это верх педагогического мастерства, когда свое видение будущего учебного процесса, свой замысел учитель представляет в канонической форме технологической карты. Надо заметить, что это профессиональное умение достаточно сложное, многокомпонентное, интегративное по своей сущности, требующее от учителя хорошо развитых рефлективных способностей.

· Четвертый компонент профессиональной деятельности учителя — это профессиональное умение конструировать информационную карту урока, ибо совокупность ИКУ для данной учебной темы является конкретизированным проектом будущего учебного процесса.

· Пятый инновационный компонент — это профессиональное умение сравнивать два педагогических объекта: проект учебного процесса в виде ТК и системы ИКУ и результаты реального учебного процесса в данном классе, причем, сравнение необходимо проводить по определенным параметрам и технологическим процедурам. В основе сравнительной процедуры лежит специальный мониторинг, фиксирующий динамику учебно-воспитательной деятельности в данном классе и результаты диагностики.

5. Принцип нормирования проекта учебного процесса.

После того, как проект учебного процесса готов в виде технологической карты, необходимо провести расчеты:

— учебного времени Т;

— объема дидактической информации V;

— интенсивности освоения дидактической информации;

— времени, выделяемого на методические программы развития учащихся в границах данной учебной темы (после того, как в «ЛОГИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЕ» спроектированы необходимые, по мнению учителя, методические программы развития речи, памяти, внимания, мышления, интереса, мотивации и т. д. необходимо найти время на реализацию таких программ и органически встроить их в ткань учебного процесса);

— времени на изменение понятийной структуры учебной темы после технологической процедуры оптимизации структуры понятийного аппарата учебной темы.

6. Принцип формирования рабочего поля, в котором нормально функционирует педагогическая технология, гарантируя конечный результат при нормальных и комфортных условиях обучения.

В основе технологических процедур, инструментов, норм и технологических регулятивов мы закладываем, в первую очередь, объективные и глубинные закономерности процесса познания, процесса и механизма формирования знаний у детей разных возрастных групп, особенности организации мышления человека, возрастные особенности памяти и внимания ребенка. А затем уже конструируем то дидактическое содержание, которое наиболее рационально и эффективно позволяет выстроить траекторию достижения микроцели.

1.3 Дидактические принципы Для более эффективного развития учащихся и успешного усвоения ими материала, необходимо определенно организованное обучение. Соблюдая принцип создания рабочего поля, необходимо придерживаться дидактических принципов обучения.

Учет возрастных особенностей. Это один из основополагающих принципов.

Если объективно существуют этапы биологического созревания организма, его нервной системы и органов, а также связанное с ним развитие познавательных сил, то разумно организованное воспитание должно приспосабливаться к возрастным особенностям, основываться на них. Игнорирование или отрицание природных ступеней неизбежно приводит к ошибочному утверждению возможности усвоить любой социальный опыт, любые знания, практические навыки и умения в любом возрасте, при подборе и применении соответствующей методики. Возможности человека в связи с ускорением темпов социального развития, широким доступом к разнообразным информационным источникам несколько возрастают, но далеко не беспредельно. Возраст цепко удерживает развитие и диктует свою волю. Закономерности, действующие в этой области, жестко лимитируют возможности развития.

" Все подлежащее усвоению должно быть распределено сообразно ступеням возраста так, чтобы предлагалось для изучения только то, что доступно восприятию в каждом возрасте" , — писал Я. А. Коменский.

Доступность обучения. В основе принципа доступности лежит закон тезауруса: доступным для человека является лишь то, что соответствует его тезаурусу, т. е. объему накопленных человеком знаний, умений, способов мышления.

Можно указать и на другие закономерности, лежащие в основе принципа доступности: доступность обучения определяется возрастными особенностями школьников и зависит от их индивидуальных особенностей. Доступность обучения зависит от организации учебного процесса, применяемых учителем методов обучения и связана с условиями протекания процесса обучения. Доступность обучения определяется его предысторией; чем выше уровень умственного развития школьников и имеющийся у них запас представлений и понятий, тем успешнее они могут продвинуться вперед при изучении новых знаний. Постепенное нарастание трудностей обучения и приучение к их преодолению положительно влияют на развитие учащихся и формирование их моральных качеств. Обучение на оптимальном уровне трудности положительно влияет на темпы и эффективность обучения, качество знаний.

Научность обучения. В основе принципа научности лежит ряд положений, играющих роль закономерных начал: мир познаваем, и человеческие знания, проверенные практикой, дают объективно верную картину развития мира; наука в жизни человека играет все более важную роль, поэтому школьное образование направлено на усвоение научных знаний, вооружение подрастающих поколений системой знаний об объективной действительности. Научность обучения обеспечивается прежде всего содержанием школьного образования, строгим соблюдением принципов его формирования. Научность обучения зависит от реализации учителем принятого содержания. Научность обучения, действенность приобретенных знаний зависят от соответствия учебных планов и программ уровню социального и научно-технического прогресса, подкрепления приобретенных знаний практикой, от межпредметных связей.

Систематичность и последовательность обучения. Принцип опирается на следующие научные положения, играющие роль закономерных начал: человек только тогда обладает настоящим и действенным знанием, когда в его мозгу отражается четкая картина внешнего мира, представляющая систему взаимосвязанных понятий. Универсальным средством и главным способом формирования системы научных знаний является определенным образом организованное обучение. Система научных знаний создается в той последовательности, которая определяется внутренней логикой учебного материала и познавательными возможностями учащихся. Процесс обучения, состоящий из отдельных шагов, протекает тем успешнее и приносит тем большие результаты, чем меньше в нем перерывов, нарушений последовательности, неуправляемых моментов. Если систематически не упражнять навыки, то они утрачиваются. Если не приучать учащихся к логическому мышлению, то они постоянно будут испытывать затруднения в своей мыслительной деятельности. Если не соблюдать системы и последовательности в обучении, то процесс развития учащихся замедляется.

Требования систематичности и последовательности в обучении нацелено на сохранении преемственности содержательной и процессуальной сторон обучения, при которой каждый урок — это логическое продолжение предыдущего, как по содержанию изучаемого материала, так и по характеру, способам выполняемой учениками учебно-познавательной деятельности.

Наглядность обучения. Один из старейших и важнейших принципов в дидактике. Принцип наглядности означает, что эффективность обучения зависит от целесообразного привлечения органов чувств к восприятию и переработке учебного материала. «Помните — дитя мыслит формами, красками, звуками, ощущениями вообще: отсюда необходимость наглядного обучения, которое строится не на отвлеченных понятиях и словах, а на конкретных образах непосредственно воспринимаемых ребенком» .

Однако использование наглядности должно быть в той мере, в какой она способствует формированию знаний и умений, развитию мышления. Демонстрация и работа с предметами должны вести к очередной ступени развития, стимулировать переход от конкретно-образного и наглядно-действенного мышления к абстрактному, словесно-логическому.

Прочность усвоения учебного материала. Прочность усвоения учащимися учебного материала зависит не только от объективных факторов: содержания и структуры этого материала, но также и от субъективного отношения учащихся к данному учебному материалу, обучению, учителю. Прочное усвоение происходит, если ученик проявляет интеллектуальную, познавательную активность. Прочность усвоения знаний учащимися обуславливается организацией обучения, использованием различных видов и методов обучения, а также зависит от времени обучения. Память учащихся носит избирательный характер: чем важнее и интереснее для них тот или иной учебный материал, тем прочнее этот материал закрепляется и дольше сохраняется.

Принцип сознательности и активности учащихся в обучении — один из главных принципов современной дидактической системы, согласно которой обучение эффективно тогда, когда ученики проявляют познавательную активность. Это выражается в том, что учащиеся осознают цели учения, планируют и организуют свою работу, умеют себя проверить, проявляют интерес к знаниям, ставят проблемы и умеют искать их решения.

Реализация рассматриваемого принципа способствует не только формированию знаний и развитию детей, но и их социальному росту и воспитанию.

Но самый главный принцип обучения и отбора содержания — это принцип преемственности. Он заключается в том, что существующую программу нет необходимости полностью менять, т.к. «традиционное содержание обучения математике, сложившееся в течение последних десятилетий отражает тот объем математических знаний, который, с одной стороны, является фундаментом математической науки, а с другой доступен большинству учащихся». Поэтому в имеющуюся программу достаточно будет добавить дополнительный материал.

1.4 Возрастные особенности подростков Мною предполагается начать пропедевтику темы «Теорема Безу» в 7 классе и ее изучение в 7−9 классах. В этой связи рассмотрим возрастные особенности учащихся 7−9 классов (подростков).

Подростковый возраст — это возраст от 10−11 до 15 лет, что соответствует возрасту учащихся 5−9 классов. Ученики 5 класса еще во многом напоминают младших школьников, а учащиеся 9 класса уже имеют многие черты, свойственные ранней юности.

С переходом из младших классов в средние и далее в старшие классы школы изменяется положение детей в системе деловых и личных взаимоотношений с окружающими людьми. Учителя и родители начинают переходить на новый стиль общения с подростками, больше апеллируя к их разуму и логике, чем к чувствам, и рассчитывая, в свою очередь на аналогичное ответное обращение.

В подростковом и юношеском возрасте активно идет процесс познавательного развития. Подростки и юноши уже могут мыслить логически, заниматься теоретическими рассуждениями и самоанализом. Особенно заметным в эти годы становиться рост сознания и самосознания детей. Развитие самосознания ребенка находит свое выражение в изменении мотивации основных видов деятельности: учения, общения и труда. Прежние «детские» мотивы, характерные для младшего школьного возраста, теряют свою побудительную силу. На их месте появляются и закрепляются новые, «взрослые» мотивы, приводящие к переосмыслению содержания, целей и задач деятельности. Те виды деятельности, которые выполняли ведущую роль, например игра, начинают себя изживать и отодвигаться на второй план. Возникают новые виды деятельности, меняется иерархия старых, начинается новая стадия психического развития.

В подростковом возрасте активно совершенствуется самоконтроль деятельности, являясь вначале контролем по результату или заданному образцу, а затем — процессуальным контролем, то есть способностью выбирать и избирательно контролировать любой момент и шаг в деятельности. Вплоть до юношеского возраста у многих детей еще отсутствует способность к предварительному планированию В подростковом возрасте происходят важные процессы, связанные с перестройкой памяти. Активно начинает развиваться логическая память и скоро достигает такого уровня, что ребенок переходит к преимущественному использованию этого вида памяти, а также произвольной и опосредствованной памяти. Как реакция на более частое практическое употребление в жизни логической памяти замедляется развитие механической памяти. Вследствие появления в школе многих новых учебных предметов значительно увеличивается количество информации, которую должен запоминать подросток, в то числе механически. У него возникают проблемы с памятью, и жалобы на плохую память в этом возрасте встречаются намного чаще, чем у младших школьников. Наряду с этим появляется интерес подростков к способам улучшения запоминания.

А. Н. Леонтьев исследовал, как идет развитие двух основных видов памяти — непосредственной и опосредственной — в течение детства и установил особенности их преобразования в старшем школьном возрасте. Он показал, что с увеличением возраста идет постепенное улучшение непосредственного запоминания, причем быстрее, чем опосредствованного. Одновременно с этим от дошкольного к младшему школьному возрасту увеличивается разрыв, существующий между продуктивностью непосредственного и опосредствованного запоминания. Затем — уже в подростковом и юношеском возрасте — прирост продуктивности непосредственного запоминания замедляется, и одновременно с этим увеличивается продуктивность опосредствованного запоминания.

С возрастом меняются и отношения между памятью и мышлением. В раннем детском возрасте память является одной из основных психических функций, и в зависимости от нее строятся все остальные психические процессы. Мышление ребенка этого возраста во многом определяется его памятью: мыслить — значит вспоминать. В младшем школьном возрасте мышление обнаруживает высокую корреляцию с памятью и развивается в непосредственной зависимости от нее. Решающий сдвиг в отношения между памятью и другими психическими функциями происходит в подростковом возрасте. Исследования памяти детей данного возраста показали, что для подростка вспоминать — значить мыслить. Его процесс запоминания сводится к мышлению, к установлению логических отношений внутри запоминаемого материала, а припоминание заключается в восстановлении материала по этим отношениям.

В подростковом и раннем юношеском возрасте активное развитие получает чтение, монологическая и письменная речь. С V по IX классы чтение развивается в направлении от умения читать правильно, бегло и выразительно до способности декларирования наизусть. Монологическая речь преобразуется иначе: от умения пересказывать небольшое произведение или отрывок текста до способности самостоятельно готовить устное выступление, вести рассуждения, высказывать мысли и аргументировать их. Письменная речь улучшается в направлении от способности к письменному изложению до самостоятельного сочинения на заданную или произвольную тему.

Особую линию в речевом развитии образует та, которая связана с соединением и взаимопроникновением мышления и речи. В V-VI классах эта линия развития проявляется в умении составлять план устного или письменного текста, а IX-X классах — план речи, выступления и следовать ему.

В учении формируются общие интеллектуальные способности, особенно понятийное теоретическое мышление. Это происходит за счет усвоения понятий, совершенствования умения пользоваться ими, рассуждать логически и абстрактно. Значительный прирост предметных знаний создает хорошую базу для последующего развития умений и навыков в тех видах деятельности, где эти знания практически необходимы.

В общении формируются и развиваются коммуникативные способности учащихся, включающие умение вступать в контакт с незнакомыми людьми, добиваться их расположения и взаимопонимания, достигать поставленных целей.

В труде идет активный процесс становления тех практических умений и навыков, которые в будущем могут понадобиться для совершенствования профессиональных способностей.

Подростковый и ранний юношеский возраст являются достаточно сензитивными для развития всего этого комплекса разнообразных способностей, и степень практического использования имеющихся здесь возможностей влияет на индивидуальные различия, которые к концу этого возраста, как правило, усиливаются.

Характерной особенностью подросткового возраста является готовность и способность ко многим различным видам обучения, причем как в практическом плане (трудовые умения и навыки), так и в теоретическом (умение мыслить, рассуждать, пользоваться понятиями). Еще одной чертой, которая впервые полностью раскрывается именно в подростковом возрасте, является склонность к экспериментированию, проявляющаяся, в частности, в нежелании все принимать на веру. Подростки обнаруживают широкие познавательные интересы, связанные со стремлением все самостоятельно перепроверить, лично удостовериться в истинности. К началу юношеского возраста такое желание несколько уменьшается, и вместо него появляется больше доверия к чужому опыту, основанного на разумном отношении к его источнику.

Подростковый возраст отличается повышенной интеллектуальной активностью, которая стимулируется не только естественной возрастной любознательностью подростков, но и желанием развить, продемонстрировать окружающим свои способности, получить высокую оценку с из стороны. В этой связи подростки на людях стремятся брать на себя наиболее сложные и престижные задачи, нередко проявляют не только высокоразвитый интеллект, но и незаурядные способности. Для них характерна эмоционально-отрицательная аффективная реакция на слишком простые задачи. Такие задачи их не привлекают, и они отказываются их выполнять из-за соображений престижности.

В основе повышенной интеллектуальной и трудовой активности подростков лежат не только указанные выше мотивы. За всем этим можно усмотреть и естественный интерес, повышенную любознательность детей данного возраста. Вопросы, которые задает подросток взрослым детям, учителям и родителям, нередко достаточно глубоки и касаются самой сути вещей.

Важнейшее интеллектуальное приобретение подросткового возраста — это умение оперировать гипотезами. Подростки могут формулировать гипотезы, рассуждать предположительно, исследовать и сравнивать между собой различные альтернативы при решении одних и тех же задач. Сфера познавательных, в том числе учебных, интересов подростков выходит за пределы школы и приобретает форму познавательной самодеятельности — стремления к поиску и приобретению знаний, к формированию полезных умений и навыков. Подростки находят занятия и книги, соответствующие их интересам, способные дать интеллектуальное удовлетворение. Стремление к самообразованию — характерная особенность и подросткового, и раннего юношеского возраста.

Мышление подростка характеризуется стремлением к широким обобщениям. Одновременно с этим складывается новое отношение к учению, особенно в последних классах школы. Ее выпускников привлекают предметы и виды знаний, где они могут лучше узнать себя, проявить самостоятельность, и к таким знаниям у них вырабатывается особенно благоприятное отношение. Вместе с теоретическим отношением к миру, предметам и явлениям у подростка и юноши возникает особое познавательное отношение к самому себе, выступающее в виде желания и умения анализировать и оценивать собственные поступки, а также способность вставать на точку зрения другого человека, видеть и воспринимать мир с иных позиций, чем свои собственные.

Самостоятельность мышления проявляется в независимости выбора способа поведения. Подростки и особенно юноши принимают лить то, что лично им кажется разумным, целесообразным и полезным.

Для лучшего развития всех психических качеств ученика, таких как его внимания, мышления, воображения, памяти, наблюдательности, необходимо привить устойчивый интерес учащихся к учению.

Итак подростковый возраст отличается повышенной интеллектуальной активностью, в учении формируются общие интеллектуальные способности, особенно понятийное теоретическое мышление. Важнейшим интеллектуальным приобретением подросткового возраста является умение строить и оперировать гипотезами. Подросток уже может мыслить логически, может рассуждать не связывая себя с конкретной ситуацией; он может ориентироваться на одни лишь общие посылы независимо от воспринимаемой реальности. Иными словами: подросток может действовать в логике рассуждений. Подростковый возраст является наиболее удачным и для формирования алгоритмического стиля мышления.

ГЛАВА II. Методические особенности изучения Теоремы Безу в 7−9 классах

2.1 Принципы отбора содержания Отберем весь необходимый объем материала с точки зрения целей обучения математики.

Начинаем отбор материала с точки зрения общеобразовательной значимости. Главной целью изучения многочленов исторически было решение целых алгебраических уравнений. Из школьной практики известно, что для решения уравнений вида f (x)=0 очень полезно разложить f (x) на множители: если f (x)=g (x)h (x), то дальнейшее сводиться к решению двух более простых уравнений g (x)=0 и h (x)=0.

Однако, найдя даже несколько корней уравнения, мы далеко не всегда решим уравнение. Например, для уравнения x⁴ — x³ — 6x² — x + 3 = 0 легко подобрать корни -1 и 3, но что делать дальше, неясно.

Между тем небольшое продвижение в теории существенно поможет нам в решении уравнений. Дело в том, что понятие корня тесно связано с разложением многочленов на множители — точнее, с выделением в многочлене линейного множителя. Но если, решая уравнение f (x)=0, мы сможем разложить многочлен f на множители, то далее остается решать только уравнения меньших степеней.

Рассмотрим следующий пример: Решить уравнение х³+2х²+3х-22=0.

Нетрудно проверить, что многочлен f (x)= имеет корень 2. Поэтому по теореме Безу f (x) делится на х-2, т. е. имеет место равенство х³+2х²+3х-22 = (х-2) (х²+4х+11).

Остается, следовательно, решить квадратное уравнение х²+4х+11=0.

Это уравнение, очевидно, не имеет действительных корней, так что х =2 — единственный действительный корень исходного уравнения.

В этой задаче мы продемонстрировали общий факт: если известен хотя бы один корень алгебраического уравнения степени n, то с помощью теоремы Безу можно, как говорят, понизить степень, т. е. свести задачу к решению уравнения степени n-1.

Этот прием позволяет решить любое уравнение третьей степени, если, конечно, удастся подобрать какой-нибудь его корень.

При решении таких задач большую пользу приносит все та же схема Горнера. Напомним, что в конце второй строки этой схемы получается значение многочлена f при x=c. Однако на самом деле схема Горнера дает гораздо больше: числа, стоящие во второй строке (не считая последнего) — это коэффициенты частного от деления на x-c.

Построим схему Горнера для многочлена f=3x⁵-5x⁴-7x²+12 и с=1, -1,2:

Желающие могут самостоятельно убедится, что составив по каждой из трех «вторых» строк соответствующий многочлен степени 4, мы действительно получим частным:

f=(3x⁴-2x²-2x²-9x-9)(x-1)+3,

f=(3x⁴-8x³+8x²-15x +15)(x+1)-3,

f=(3x⁴+x³+2x²-3x-6)(x-2).

Решим в качестве примера рассмотренное выше уравнение

x⁴-x³-6x²-x+3=0.

Целые корни многочлена f= x⁴-x³-6x²-x+3 должны быть делителями свободного члена, так что это могут быть только числа 1 и 3. При этом 1 не является корнем многочлена f, поскольку сумма его коэффициентов, очевидно равна 0.

При х=-1: имеем схему

Мы видим, что -1 — корень f, и в частном получается многочлен

g=x³-2x²-4x+3.

Значение х=1 второй раз проверять незачем: если бы число 1 было корнем g, то оно было бы и корнем f, что неверно. Значение х=-1 проверить обязательно — ничто не мешает ему быть также и корнем частного g:

Следовательно, g (-1)0.

Составим схему Горнера для х=3:

обучение подросток алгебра теорема

Следовательно, g (3)=0, и при делении g на х-3 получается многочлен х²-х -1, корни которого (1)/2. Таким образом, многочлен f, а значит, и исходное уравнение имеет 4 корня: -1, 3 и (1)/2.

С помощью теоремы Безу можно частично ответить и на важный теоретический вопрос — «Сколько корней может иметь многочлен?» .

К числу ведущих принципов также относятся: принцип научности, принцип сознательности, принцип связи обучения с практикой, принцип систематичности и последовательности в овладении достижениями науки, культуры, принцип коллективного характера обучения и учета индивидуальных способностей учащихся. Указанные принципы имеют прямое отношение к мировоззренческой стороне обучения. Но в обучении имеется и техническая сторона, например, определенные приемы демонстрации предметов и явлений или их изображений, обеспечивающие наиболее благоприятные условия их восприятия школьниками.

К техническим процедурам обучения относятся принципы наглядности, прочности, сознательности и активности, принцип рационального сочетания коллективных и индивидуальных форм и способов учебной работы.

Принцип научности требует, чтобы содержание обучения знакомило учащихся с объективными научными фактами, теориями, законами, отражало бы современное состояние наук. Принцип научности воплощается в учебных программах и учебниках, в отборе изучаемого материала, а также в том, что школьников обучают элементам научного поиска, методам науки, способам организации учебного труда.

Содержание учебного материала должно знакомить учащихся с объективными научными фактами, законами, отражало бы современное состояние науки. Чтобы обеспечить овладение научными знаниями, включая и идеи современной науки, необходим тщательный отбор самого существенного содержания науки. Овладение научными знаниями определяется характером их усвоения, восприятием предметов и явлений реального мира и верным отражением в сознании школьников существенных связей и отношений между ними. Для этого необходимо, чтобы восприятие нового представляло собой процесс, в котором учащиеся рассматривали бы новое явление с различных сторон, устанавливая многообразие связей данного объекта с другими, как сходными с ними, так и резко отличными.

Введение

каждого научного понятия должно логически вытекать из поставленной познавательной задачи и в ходе учебного процесса получать дальнейшее развитие и применение. Следуя данному принципу для изучения и применения теоремы Безу необходимо изучить схему Горнера, теоремы о целых и дробных корнях многочлена и теорему о делении с остатком.

Вообще, если говорить о принципе научности, то он целиком и полностью находится в единстве с принципом доступности.

Принцип доступности требует учета особенностей развития учащихся, анализа материала с точки зрения их реальных возможностей и такой организации обучения, чтобы они не испытывали интеллектуальных, моральных, физических перегрузок. Еще Я. А. Коменский дал несколько правил этого принципа:

— переходить от легкого к трудному, от известного к неизвестному;

— переходить от изучения того, что близко (история родного края), к тому, что далеко (всеобщая история).

Непосильный для данного возраста и уровня подготовленности учащихся учебный материал может вызывать их быстрое утомление, снижать мотивационный настрой на учение, работоспособность школьников. Поэтому материал, с учетом возрастных особенностей и уровнем подготовленности учащихся, был распределен на блоки по классам: схема Горнера и теоремы о целых и дробных корнях многочлена — 7 класс, теорема о делении с остатком — 8 класс, теорема Безу — 9 класс.

После того, как весь материал был проанализирован с точки зрения образовательной значимости, научности и доступности можно перейти к принципу систематичности. Требование систематичности обучения вытекает из принципа научности.

Данный принцип предполагает преподавание и усвоение знаний в определенном порядке, системе. Он требует логического построения как содержания, так и процесса обучения. Этот принцип нашел отражение в технологической карте.

2.2 Авторская программа

В данном параграфе представлена система включения материала в школьный курс алгебры.

Место включения материала и время на его изучение.

7 класс.

Содержание учебного материала.

1.Выражения, тождества, уравнения.

Числовые выражения.

Выражения с переменными.

Сравнения значений выражений.

Свойства действий над числами.

Тождества. Тождественные преобразования выражений.

Уравнение и его корни.

Линейное уравнение с одной переменной

Решение задач с помощью уравнений.

2.Функции.

Что такое функция. Вычисление значений функций по формуле.

График функции.

Линейная функция и ее график.

Прямая пропорциональность.

Взаимное расположение графиков линейных функций (начало).

Взаимное расположение графиков линейных функций (продолжение).

3. Степень с натуральным показателем.

Определение степени с натуральным показателем.

Умножение и деление степеней.

Возведение в степень произведения и степени.

Одночлен и его стандартный вид.

Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень.

Функции у=х², у=х³ и их графики.

Абсолютная и относительная погрешности.

4.Многочлены.

Многочлен и его стандартный вид.

Сложение и вычитание многочленов.

Умножение одночлена на многочлен. (Проверка делением)

Вынесение общего множителя за скобки.

Умножение многочлена на многочлен. (Проверка делением)

Разложение многочлена на множители способом группировки.

Схема Горнера. (2 часа)

Доказательство тождеств.

5.Формулы сокращенного умножения.

Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений.

Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности.

Умножение разности двух выражений на их сумму.

Разложение разности квадратов на множители.

Разложение на множители суммы и разности кубов.

Преобразование целого выражения в многочлен.

Применение различных способов для разложения на множители.

Применение преобразований целых выражений.

Целые и дробные корни многочлена. (2 часа)

5. Системы линейных уравнений.

Линейное уравнение с двумя переменными.

График линейного уравнения с двумя переменными.

Системы линейных уравнений с двумя переменными.

Способ подстановки.

Способ сложения. Решение задач с помощью систем уравнения.

Обобщающее итоговое повторение курса.

8 класс.

Содержание учебного материала.

1.Рациональные дроби и их свойства.

Рациональные выражения.

Основное свойство дроби. Сокращение дробей.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Умножение дробей. Возведение дроби в степень.

Деление дробей.

Преобразование рациональных выражений.

Теорема о делении с остатком. (2 часа)

2.Квадратные корни.

Рациональные и иррациональные числа.

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень.

Уравнение х²=а.

Нахождение приближенных значений квадратного корня.

Функция у=и ее график.

Квадратный корень из произведения, дроби, степени.

Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня.

Преобразование выражений, содержащих квадратные корни.

3.Квадратные уравнения.

Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения.

Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена.

Решение квадратных уравнений по формуле.

Решение задач с помощью квадратных уравнений.

Теорема Виета.

Решение дробных рациональных уравнений.

Решение задач с помощью рациональных уравнений.

4.Неравенства.

Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств.

Сложение и умножение числовых неравенств.

Числовые промежутки.

Решение неравенств с одной переменной.

Решение систем неравенств с одной переменной.

Решение систем неравенств с одной переменной (продолжение).

5.Степень с целым показателем.

Определение степени с целым отрицательным показателем.

Свойства степени с целым показателем.

Стандартный вид числа.

Запись приближенных значений.