Методика обучения школьников приемам решения текстовых арифметических задач

• ВВЕДЕНИЕ
• 1. ХАРАКТЕРИСТИКА ТЕКСТОВОЙ ЗАДАЧИ И МЕТОДИКА РАБОТЫ С НЕЙ
• 1.1 Понятие тестовой задачи
• 1.2 Роль задачи в начальном курсе математики
• 1.3 Виды арифметических задач
• Выводы по главе 1
• 2. ОБУЧЕНИЕ ШКОЛЬНИКОВ ПРИЕМАМ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
• 2.1 Решение задач на совместное движение
• 2.2. Задачи, решаемые с помощью таблиц
• 2.3 Решение задач на нахождение части числа и числа по части
• 2.4 Задачи на проценты
• 2.5 Задачи на совместную работу
• Выводы по главе
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Ребенок с первых дней занятий в школе встречается с задачей. Сначала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения. Текстовые задачи — традиционно трудный для значительной части школьников материал. Однако, в школьном курсе математики ему придается большое значение, так как такие задачи способствуют развитию логического мышления, речи и других качеств продуктивной деятельности обучающихся.

Как обучать детей нахождению способа решения текстовой задачи? Этот вопрос — центральный в методике обучению решения задач. Для ответа на него в литературе предложено немало практических приемов, облегчающих поиск способа решения задачи. Однако теоретические положения относительного нахождения пути решения задачи остаются мало разработанными.

Особенности текста задачи могут определить ход мыслительного процесса при ее решении. Как сориентировать детей на эти особенности? Знание ответов на них составляют теоретико-методические положения, на основе которых можно строить конкретную методику обучения; они помогут определить методические приемы поиска способов решения задачи, в том числе решения различными способами.

Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических (или правдоподобных) задач.

Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть, развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.

Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, то есть, формировать и развивать важные общеучебные умения.

Арифметические способы решения текстовых задач приучают детей к первым абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи (красивое решение) и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету.

Использование исторических задач и разнообразных старинных (арифметических) способов их решения не только обогащают опыт мыслительной деятельности учащихся, но и позволяют им осваивать важное культурно-историческое наследие человечества, связанный с поиском решения задач. Это важный внутренний (связанный с предметом), а не внешний (связанный с отметками, поощрениями и т. п.) стимул к поиску решений задач и изучению математики.

Первоначальные математические знания усваиваются детьми в определенной, приспособленной к их пониманию системе, в которой отдельные положения логически связаны одно с другим, вытекают одно из другого. При сознательном усвоении математических знаний учащиеся пользуются основными операциями мышления в доступном для них виде: анализом и синтезом, сравнением, абстрагированием и конкретизацией, обобщением; ученики делают индуктивные выводы, проводят дедуктивные рассуждения. Сознательное усвоение учащимися математических знаний развивает математическое мышление учащихся. Овладение мыслительными операциями в свою очередь помогает учащимся успешнее усваивать новые знания.

Поэтому, объектом моего исследования является методика обучения решению текстовых задач на уроках математики.

Предметом исследования является процесс решения текстовых задач арифметическим методом.

Цель — исследовать методику работы над текстовой задачей, выявить новые подходы к решению текстовых арифметических задач.

Задачи:

1. Анализ литературы по данной проблеме.

2. Выявить роль текстовых задач в процессе обучения.

3. Изучить методику работы над текстовой задачей.

4. Анализ нетрадиционных подходов в методике работы над текстовой арифметической задачей.

Гипотеза: Я предполагаю, что новые подходы, формы, направления работы над задачей более успешно позволяют организовать процесс решения текстовых задач.

1. ХАРАКТЕРИСТИКА ТЕКСТОВОЙ ЗАДАЧИ И МЕТОДИКА РАБОТЫ С НЕЙ

1.1 Понятие тестовой задачи

В обучении математике велика роль текстовых задач.

Решая задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию их логического мышления. Большое значение имеет решение задач и в воспитании личности учащихся. Поэтому важно, чтобы учитель имел глубокие представления о текстовой задаче, о её структуре, умел решать такие задачи различными способами.

Текстовая задача — есть описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами или определить вид этого отношения.

Решение задач — это работа несколько необычная, а именно умственная работа. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придётся работать, те инструменты, с помощью которых выполняется эта работа.

Значит, для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач.

Каждая задача — это единство условия и цели. Если нет одного из этих компонентов, то нет и задачи. Это очень важно иметь в виду, чтобы проводить анализ текста задачи с соблюдением такого единства. Это означает, что анализ условия задачи необходимо соотносить с вопросом задачи и, наоборот, вопрос задачи анализировать направленно с условием. Их нельзя разрывать, так как они составляют одно целое.

Математическая задача — это связанный лаконический рассказ, в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии.

Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса).

В условии соблюдаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекта, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними.

Требования задачи — это указание того, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной или вопросительной форме («Найти площадь треугольника.» или «Чему равна площадь прямоугольника?»).

Рассмотрим задачу: На тракторе «Кировец» колхозное поле можно вспахать за 10 дней, а на тракторе «Казахстан» — за 15 дней. На вспашку поставлены оба трактора. За сколько дней будет вспахано это поле?

В задаче пять неизвестных значений величин, одно из которых заключено в требовании задачи. Это значение величины называется искомым.

Иногда задачи формируются таким образом, что часть условия или всё условие включено в одно предложение с требованием задачи.

В реальной жизни довольно часто возникают самые разнообразные задачные ситуации. Сформулированные на их основе задачи могут содержать избыточную информацию, то есть, такую, которая не нужна для выполнения требования задачи.

На основе возникающих в жизни задачных ситуаций могут быть сформулированы и задачи, в которых недостаточно информации для выполнения требований. Так в задаче: «Найти длину и ширину участка прямоугольной формы, если известно, что длина больше ширины на 3 метра» — недостаточно данных для ответа на её вопрос. Чтобы выполнить эту задачу, необходимо её дополнить недостающими данными.

Одна и та же задача может рассматриваться как задача с достаточным числом данных в зависимости от имеющихся и решающих значений.

Рассматривая задачу в узком смысле этого понятия, в ней можно выделить следующие составные элементы:

Словесное изложение сюжета, в котором явно или в завуалированной форме указана функциональная зависимость между величинами, числовые значения которых входят в задачу.

Числовые значения величин или числовые данные, о которых говорится в тексте задачи.

Задание, обычно сформулированное в виде вопроса, в котором предлагается узнать неизвестные значения одной или нескольких величин. Эти значения называют искомыми.

Задачи и решение их занимают в обучении школьников весьма существенное место и по времени, и по их влиянию на умственное развитие ребенка.

Понимая роль задачи и её место в обучении и воспитании ученика, учитель должен подходить к подбору задачи и выбору способов решения обоснованно и чётко знать, что должна дать ученику работа при решении данной им задачи.

1.2 Роль задачи в начальном курсе математики

Начальный курс математики раскрывается на системе целесообразно подобранных задач. Значительное место занимают в этой системе текстовые задачи. При рассмотрении смысла арифметических действий, связи существующей между действиями, и взаимосвязи между компонентами и результатами действий непременно используются соответствующие простые текстовые задачи (задачи, решаемые одним арифметическим действием). Текстовые задачи служат также одним из важнейших средств ознакомления детей с математическими отношениями, выражаемыми словами «быть на столько-то больше (меньше)», «быть на столько-то раз больше (меньше)». Они используются и в целях уяснения понятия доли (задачи на нахождение доли величины и искомого значения величины по доле). Текстовые задачи помогают и при формировании ряда геометрических понятий, а также при рассмотрении элементов алгебры.

Если мы хотим сформировать у школьников правильное понятие о сложении, необходимо, чтобы дети решили достаточное количество простых задач на нахождение суммы, практически выполняя каждый раз операцию объединения множеств без общих элементов. Выступая в роли конкретного материала для формирования знаний, задачи дают возможность связать теорию с практикой, обучение с жизнью. Решение задач формирует у детей практические умения, необходимые каждому человеку в повседневной жизни. Например, подсчитать стоимость покупки, вычислить в какое время надо выйти, чтобы не опоздать на поезд и т. п.

Использование задач в качестве конкретной основы для ознакомления с новыми знаниями и для применения уже имеющихся у детей знаний играет исключительно важную роль в формировании у детей элементов материалистического мировоззрения. Решая задачи, ученик убеждается, что многие математические понятия, имеют корни в реальной жизни, в практике людей.

Через решение задач дети знакомятся с важными в познавательном и воспитательном отношении фактами. Так, содержание многих задач, решаемых в начальных классах, отражает труд детей и взрослых, достижения нашей страны в области народного хозяйства, техники, науки, культуры.

Сам процесс решения задач при определенной методике оказывает весьма положительное влияние на умственное развитие школьников, поскольку он требует выполнения умственных операций: анализа и синтеза, конкретизации и абстрагирования, сравнения, обобщения. Так, при решении любой задачи ученик выполняет анализ: отделяет вопрос от условия, выделяет данные и искомые числа; намечая план решения, он выполняет синтез, пользуясь при этом конкретизацией (мысленно рисует условие задачи), а затем абстрагированием (отвлекаясь от конкретной ситуации, выбирает арифметические действия); в результате многократного решения задач какого-либо вида ученик обобщает знания связей между данными и искомым в задачах этого вида, в результате чего обобщается способ решения задач этого вида.

Задачи выполняют очень важную функцию в начальном курсе математики — они являются полезным средством развития у детей логического мышления, умения проводить анализ и синтез, обобщать, абстрагировать и конкретизировать, раскрывать связи, существующие между рассматриваемыми явлениями.

Решение задач — упражнения, развивающие мышление. Мало того, решение задач способствует воспитанию терпения, настойчивости, воли, способствует пробуждению интереса к самому процессу поиска решения, дает возможность испытать глубокое удовлетворение, связанное с удачным решением.

Овладение основами математики немыслимо без решения и разбора задачи, что является одним из важных звеньев в цепи познания математики, этот вид занятий не только активизирует изучение математики, но и прокладывает пути к глубокому пониманию её. Работа по осознанию хода решения той или иной математической задачи даёт импульс к развитию мышления ребенка. Решение задач нельзя считать самоцелью, в них следует видеть средство к углублённому изучению теоретических положений и вместе с тем средство развития мышления, путь осознания окружающей действительности, тропинку к пониманию мира.

Кроме того, нельзя забывать, что решение задач воспитывает у детей многие положительные качества характера и развивает их эстетически.

1.3 Виды арифметических задач

Все арифметические задачи по числу действий, выполняемых для их решения, делятся на простые и составные. Задача, для решения которой надо выполнить один раз арифметическое действие, называется простой. Задача, для решения которой надо выполнить несколько действий называется составной.

Простые задачи в системе обучения математике играют чрезвычайно важную роль. С помощью решения простых задач формируется одно из центральных понятий начального курса математики — понятие об арифметических действиях и ряд других понятий. Умение решать простые задачи является подготовительной ступенью овладения учащимися умением решать составные задачи, так как решение составной задачи сводится к решению ряда простых задач. При решении простых задач происходит первое знакомство с задачей и её составными частями.

В связи с решением простых задач дети овладевают основными приемами работы над задачей.

На первом этапе знакомства детей с простой задачей перед учителем возникает одновременно несколько довольно сложных проблем:

Нужно, чтобы в сознание детей вошли и укрепились вторичные сигналы к определенным понятиям, связанным с задачей.

Выработать умение видеть в задаче данные числа и искомое число.

Научить сознательно выбирать действия и определять компоненты этих действий. Разрешение указанных проблем нельзя расположить в определенной последовательности. В занятиях с детьми довольно часто приходится добиваться результатов не одного за другим, а идти к достижению нескольких целей одновременно, постепенно развивая и расширяя достигнутые успехи в нескольких направлениях.

При знакомстве с задачами и их решением нельзя избежать специфических терминов, но дети должны их понимать, чтобы осознавать смысл задачи. Работа с детьми по усвоению ими терминологии начинается с первых дней занятий в школе и ведётся систематически на протяжении всех лет обучения.

Составная задача включает в себя ряд простых задач, связанных между собой так, что искомые одних простых задач служат данными других. Решение составной задачи сводится к расчленению её на ряд простых задач и к последовательному их решению. Таким образом, для решения составной задачи надо установить систему связей между данными и искомым, в соответствии с которой выбрать, а затем выполнить арифметические действия.

Рассмотрим в качестве примера задачу: «В школе дежурили 8 девочек, а мальчиков на 2 больше. Сколько детей дежурило в школе?».

Эта задача включает 2 простых:

1. В школе дежурили 8 девочек, а мальчиков на 2 больше. Сколько мальчиков дежурило в школе?

2. В школе дежурили 8 девочек и 10 мальчиков. Сколько всего детей дежурило в школе?

Как видим, число, которое было искомым в первой задаче, стало данным во второй.

Последовательное решение этих задач является решением составной задачи: 1) 8 + 2 = 10; 2) 8 + 10 = 18.

Запись решения составной задачи с помощью составления по ней выражения позволяет сосредоточить внимание учащихся на логической стороне работы над задачей, видеть ход решения её в целом. В то же время дети учатся записывать план решения задачи и экономить время.

Запись решения многих составных задач и составление по ним выражения связаны с использованием скобок. Скобки — математический знак, употребляемый для порядка действий. В скобки заключается то действие, которое нужно выполнить раньше.

В решении составной задачи появилось существенно новое сравнительно с решением простой задачи: здесь устанавливается не одна связь, а несколько, в соответствии с которым вырабатываются арифметические действия. Поэтому проводится специальная работа по ознакомлению детей с составной задачей, а также по формированию у них умений решать составные задачи.

Выводы по главе 1

И все-таки, почему же этот материал труден для учащихся? Разрозненные указания учителей по решению задач быстро забываются учениками, они не приобретают навыков решения текстовых задач. Без конкретной программы деятельности учащихся, без алгоритмов, системы приемов поиска решения задачи трудно организовать процесс решения задач. Поэтому необходимы «ускорители» для приобретения навыков решения: иллюстрация, схемы, таблицы, дополнительные символы, условные знаки, стрелки, способствующие более конкретному наглядному представлению об отношениях между частями задачи, связях между величинами, порядке этих связей. Это позволяет стимулировать у учащихся развитие наглядно-действенного мышления и на основе его в дальнейшем — образного мышления. Поиск решения текстовой задачи путем составления таблицы дает возможность охватить взором отношения между элементами всей задачи.

Можно выделить основные причины, вызывающие у учащихся затруднения при поиске решения:

1. Неумение выделить величины, о которых идет речь в задаче.

2. Неумение установить функциональную зависимость в математических символах.

3. Неумение выразить эту зависимость в математических символах.

4. Слабые навыки схематической и символической записи условия, способствующей анализу задачи, выражению зависимостей между величинами, входящими в задачу.

2. ОБУЧЕНИЕ ШКОЛЬНИКОВ ПРИЕМАМ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

2.1 Решение задач на совместное движение

Начиная с 5-го класса, ученики часто встречаются с этими задачами. Еще в начальной школе учащимся дается понятие «общей скорости». В результате у них формируются не совсем правильные представления о скорости сближения и скорости удаления (данной терминологии в начальной школе нет). Чаще всего, решая задачу, учащиеся находят сумму. Начинать решать эти задачи лучше всего с введения понятий: «скорость сближения», «скорость удаления». Для наглядности можно использовать движение рук, объясняя, что тела могут двигаться в одном направлении и в разном. В обоих случаях может быть и скорость сближения и скорость удаления, но в разных случаях они находятся по-разному. После этого ученики записывают следующую таблицу:

Таблица 1.

Методы нахождения скорости сближения и скорости удаления

При разборе задачи даются следующие вопросы.

1. С помощью движения рук выясняем, как двигаются тела относительно друг друга (в одном направлении, в разных).

2. Выясняем, каким действием находится скорость (сложением, вычитанием)

3. Определяем, какая это скорость (сближения, удаления). Записываем решение задачи.

Пример № 1. Из городов, А и В, расстояние между которыми 600 км, одновременно, навстречу друг другу вышли грузовая и легковая машины. Скорость легковой 100 км/ч, а грузовой — 50 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Учащиеся движением рук показывают, как движутся машины и делают следующие выводы:

а. машины движутся в разных направлениях;

б. скорость будет находиться сложением;

в. так как они движутся на встречу друг другу, то это скорость сближения.

Решение:

1. 100+50=150 (км/ч) — скорость сближения.

2. 600:150=4 (ч) — время движения до встречи.

Ответ: через 4 часа

Пример № 2. Мужчина и мальчик вышли из совхоза в огород одновременно и идут одной и той же дорогой. Скорость мужчины 5 км/ч, а скорость мальчика 3 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

С помощью движения рук, выясняем:

а. мальчик и мужчина движутся в одном направлении;

б. скорость находится разностью;

в. мужчина идет быстрее, т. е., удаляется от мальчика (скорость удаления).

Решение:

1. 5 — 3 =2 (км/ч) — скорость удаления.

2. 2*2=4 (км) — расстояние между мужчиной и мальчиком через 2ч.

Ответ: 4 км.

2.2. Задачи, решаемые с помощью таблиц

При подготовке к решению таких задач можно удачно использовать карты сигналы (см. рис. 1).

Рис. 1. Карты сигналы

Устный счет следует проводить с использованием данных карт, которые должны быть у каждого учащегося, что позволяет привлечь к работе весь класс.

Пример № 1. У первого мальчика на 5 марок больше, чем у второго. Как найти сколько у второго?

Учащиеся поднимают карту № 1 и объясняют, что к числу первого нужно прибавить 5, так как у него на 5 больше, выделяя интонацией «на … больше».

Пример № 2. У второго 30 марок, а у первого в 3 раза меньше. Сколько марок у первого?

Учащиеся должны поднять карту № 4 и ответить: 10 марок, так как 30: 3 = 10. Опорные слова — «в…меньше».

Подбор задач на устный счет должен быть разнообразным, но каждый раз ученик должен давать объяснение, называя опорные слова. В таблице опорные слова лучше подчеркивать.

Пример № 3. Всадник проехал 80 км за 5 часов. Сколько времени потратит на этот путь велосипедист, если его скорость на 24 км/ч больше скорости всадника?

Таблица 2

Таблица для решения задачи из примера № 3

При заполнении таблицы ученик должен подчеркнуть опорные слова и объяснить, что скорость всадника находится путем сложения 16 км/ч и 24 км/ч. Затем, устанавливая функциональную зависимость между величинами, учащиеся заполняют все строки и столбцы таблицы. После этого, в зависимости от поставленной задачи, ученик или отвечает на вопрос, или оформляет решение. Работая с таблицей, учащийся должен понимать, что при решении задачи все строки и столбцы должны быть заполнены данными задачи, и данными, которые получаются в результате использования функциональной зависимости между величинами.

2.3 Решение задач на нахождение части числа и числа по части

Для подготовки к решению данных задач проводится работа по усвоению понятия дроби. При устном счете нужно добиться, чтобы каждый учащийся знал:

а. какое действие обозначает дробная черта;

б. что обозначает дробь.

Дробная черта обозначает действие деления, а дробь обозначает, что данное разделили на 4 равных части и взяли 3. Для этого хорошо использовать конверты, которые готовят все учащиеся с помощью родителей. В конверты вложены круги: целые, разрезанные пополам, на 3 равные части, на 4; 6; 8 частей. Каждые доли одного круга имеют одинаковый цвет. Используя этот материал, учащиеся наглядно видят, как получаются дроби.

Например. Выложить фигуру, изображающую дробь. Зная цвета долей, учитель видит ошибки, допускаемые учащимися, и разбирает задание. При ответе ученик говорит, что круг разделили на 6 равных частей и взяли 5 таких частей.

Наличие подобных конвертов дает возможность наглядного представления о сложении дробей с одинаковыми знаменателями и о вычитании из единицы дроби. Так как к работе привлечены все учащиеся и сложение видно наглядно, после двух примеров учащиеся сами формулируют правило сложении дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим вычитание.

Из 1 вычтем. Учащиеся кладут на стол круг, но замечают, что из него пока убрать ничего не возможно. Тогда они предлагают круг разрезать на 4 равные части и убрать одну. Делаем вывод, что 1 надо заменить дробью. После 2−3 примеров учащиеся сами делают вывод.

С использованием этого материала дается понятие об основном свойстве дроби, когда на дробь они выкладывают и т. д. Отработав этот материал, приступаем к решению задач.

Пример № 1. В саду 120 деревьев. Березы составляют всех деревьев, а остальные сосны. Сколько было сосен?

Изобразим число деревьев, начертив отрезок. Напишем данные, причем число частей ставим под отрезком, так как с этими числами нужно выполнять деление при решении задачи (см. рис.2).

Рис. 2. Графическое изображение задачи из примера № 1

Вопрос: Что означает дробь ?

Ответ: Все количество деревьев разделили на 3 равные части и березы составляют 2 части.

I способ:

120 / 3 = 40 (дер.) — составляют одну часть.

40*2 = 80 (дер.) — было берез.

120 — 80 = 40 (дер.) — было сосен.

II способ:

120 / 3 = 40 (дер.)

3 — 2 = 1 (часть) — составляют сосны.

40*1 = 40 (дер.) — составляют сосны.

Ответ: 40 сосен.

Пример № 2. 10 га занято свеклой, что составляет всего поля. Какова площадь поля?

Рис. 3. Графическое изображение задачи из примера № 2

Изобразим площадь поля отрезком. Выясняем, что обозначает дробь. Замечаем, что 10 га составляют 2 части, и находим, сколько составляет 1 часть.

10 / 2 = 5 (га) — составляет одна часть.

Так как все поле составляет 5 частей, находим площадь поля.

5*5 = 25 (га) — площадь поля.

Ответ: 25 га.

Пример № 3. Около дома стояло 7 машин. Из них — 2 белые. Какую часть всех машин составляют белые?

Рис. 4. Графическое изображение задачи из примера № 3

Одна машина составляет всех машин, а так как белых 2, то белые составляют .

На основе этой задачи нужно отработать такие вопросы: Какую часть составляют 15 мин. от часа? Какую часть составляют 300 г? От килограмма? — и т. д.

Пример № 4. Пионерский отряд решил собрать 12 кг макулатуры, собрал этого количества. Сколько килограммов собрал отряд?

Рис. 5. Графическое изображение задачи из примера № 4

В процессе решения задач нужно отметить, что плановое задание всегда принимается за 1 и поэтому 12 кг принимаем как. Но так как учащиеся собрали, то изображенный отрезок продолжим еще на. Далее идет решение задачи обычным способом.

На основе опорных чертежей можно решать и более сложные задачи.

Пример № 5. Покупатель израсходовал в первом магазине всех денег, а во втором — остатка. Сколько денег у него было, если во втором он израсходовал 60 рублей?

Решая эту задачу, нужно учитывать, что мы находим часть числа не от одной суммы, и поэтому чертеж следует дополнить.

Решая подобные задачи, учащиеся должны постоянно работать с чертежом.

Рис. 6. Графическое изображение задачи из примера № 5

Объяснение .

Так как 60 рублей составляют остатка, то найдем, сколько составляет 1 часть остатка.

60 / 3 = 20 (руб.) — составляет 1 часть остатка

Весь остаток составляет пять таких частей. Найдем остаток.

20*5 = 100 (руб.) — остаток после первого магазина

Полученное число 100 ставим в верхней части чертежа.

Замечаем, что 100 рублей составляет лишь 5 частей всех денег, так как по условию частей 7, а в первом магазине покупатель израсходовал 2.

7 — 2 = 5 (частей) — составляют 100 рублей.

Найдем, сколько составляет 1 часть всех денег.

100 / 5 = 20 (руб.) — составляет 1 часть всех денег.

Так как все деньги составляют 7 частей, найдем их количество.

20*7 = 140 (руб.) — было у покупателя.

При устном счете учащиеся должны уметь составлять задачи по готовым чертежам. Например (рис 7.):

а)

б)

Рис. 7. Решение задач по готовым чертежам

В пятом классе после изучения деления и умножения дробей формулируем правило, позволяющее перейти к решению задач без помощи чертежей.

а. известна часть, находим целое — действие деления;

б. известно целое, находим часть — действие умножение.

2.4 Задачи на проценты

Процент — это сотая часть. наглядная иллюстрация процента может быть продемонстрирована на метровой школьной линейке с делениями по 1 см. В данном случае 1 см является сотой частью линейки, т. е. 1%. Можно дать следующие задания:

а. показать на линейке 25%, 40% и т. д.

б. назвать число процентов, которые показываются на линейке.

Затем работу можно продолжить на отрезках, задавая вопросы, например:

Как показать 1% отрезка?

Ответ: отрезок нужно разделить на 100 равных частей и взять одну часть.

Или: покажите 5% и т. д. (см. рис. 8).

Рис. 8. Метод отложения на отрезке

Условимся, что деление отрезка на 100 равных частей делаем словно. Приступая к решению задач, их нужно сравнить с задачами предыдущего пункта, что ускорит усвоение приемов решения.

Пример № 1. Ученик прочитал 138 страниц, что составило 23% всех страниц книги. Сколько страниц в книге?

Рис. 9. Графическое изображение задачи из примера № 1

Объяснение: Число страниц в Кинге неизвестно. Ставим знак вопроса. Но число страниц составляет 100%. Показываем это на отрезке, выполняя деление на условные 100 равных частей (для слабоуспевающих детей внизу отрезка можно ставить еще и число 100). Затем отмечаем число 138 и показываем, что оно составляет 23%.

При решении задач предыдущего раздела и задач на проценты следует объяснить учащимся, что прежде всего нужно выяснить, сколько составляет 1 часть или 1%.

Так как 138 страниц составляют 23%, то находим, сколько приходится на 1%.

138 / 23 = 6 (стр.) — составляет 1%.

Так как число страниц в книге составляет 100%, то

6*100% = 600 (стр.) — в книге.

Ответ: В книге 600 страниц.

Пример № 2. Мальчик истратил на покупку 40% имевшихся у него денег, а на оставшиеся 30 копеек купил билет в кино. Сколько денег было у мальчика?

Рис. 10. Графическое изображение задачи из примера № 2

Объяснение: Количество всех денег неизвестно, ставим знак вопроса. Все деньги составляют 100%, поэтому разделим отрезок условно на 100 равных частей. Найдем, сколько процентов составляют 30 копеек.

100%-40% = 60% - составляют 30 копеек.

Обозначаем 60% на чертеже. Найдем, сколько составляет 1% далее объяснение аналогичное.

Пример № 3. В школе 700 учащихся. Среди них 357 мальчиков. Сколько процентов учащихся этой школы составляют девочки?

Рис. 11. Графическое изображение задачи из примера № 3

Объяснение: Число учащихся 700 человек, что составляет 100%. Отрезок условно делим на сто равных частей. (Само выполнение чертежа подсказывает ученику первое действие).

700 / 100 = 7 (чел.) — составляют 1%.

Узнаем, сколько процентов составляют мальчики. Для этого:

357 / 7 = 51%

(Можно сказать и так: «Сколько раз в 357 содержится по 7%?»)

Работаем с чертежом. Узнаем, сколько процентов составляют девочки.

100%-51%=49%

Ответ 49%

При решении задачи чертеж должен быть постоянно в поле зрения учащихся, так как является наглядной иллюстрацией задачи.

Пример № 4. По плану рабочий должен был сделать 35 деталей. Однако он сделал 14 деталей сверх плана. На сколько процентов он перевыполнил план?

Рис.12. Графическое изображение задачи из примера № 4

Решая задачу, нужно объяснить, что план всегда составляет 100% и поэтому 35 деталей составляют 100%. Чтобы узнать, сколько составляет 1% нужно:

35 / 100 = 0,35 (дет.)

Узнаем, сколько процентов составляют 14 деталей (сколько раз в 14 содержится по 0,35).

После изучения обыкновенных дробей и правил нахождения части числа и числа по части большинство задач лучше решать, переходя от процентов к дроби.

Пример № 1. Ученик прочитал 138 страниц, что составило 23% всех страниц книги. Сколько страниц в книге?

23% составляет 0,23. Так как известна часть количества страниц, а нужно найти все количество, то выполняем действие деления (по правилу, записанному выше):

138 / 0,23 = 13 800: 23=600 (стр.)

Пример № 2. Покупатель израсходовал в первом магазине 40% всех денег, а остальные — во втором. Сколько денег он израсходовал во втором магазин, если у него было 160 рублей?

40% составляют 0,4. так как известно все количество денег, а находим их часть, то выполняем действие умножения.

160*0,4 = 64 (руб.) — израсходовал покупатель в первом магазине.

Находим, сколько израсходовал покупатель во втором магазине.

160 — 64=96 (руб.)

Записываем ответ.

2.5 Задачи на совместную работу

При решении этих задач нужно выяснить с учащимися, что возможны два случая:

а. объем выполненной работы известен;

б. объем выполненной работы неизвестен.

Первые задачи удобно решать, используя таблицы.

Пример. Два токаря вместе изготовили 350 деталей. Первый токарь делал в день 40 деталей и работал 5 дней, второй работал на 2 дня меньше. Сколько деталей в день делал второй токарь?

Составим таблицу (см. табл.3).

Таблица 3

Условие задачи

Объяснение. Так как известны производительность и время работы первого токаря, найдем количество деталей, изготовленных первым токарем.

40*5 = 200 (дет.) — изготовил первый токарь.

Работая с таблицей, делаем вывод, что можно найти, сколько деталей изготовил второй токарь.

350 — 200 = 150 (дет.) — изготовил второй токарь.

Обратив внимание на опорные слова «на…меньше», делаем вывод, что можно найти, сколько дней работал второй.

5 — 2 = 3 (дня) — работал второй токарь.

Зная количество и время работы второго токаря, находим его производительность:

150 / 3 = 50 (дет.) — изготовлял второй токарь в день.

Уже при решении первых задач, нужно приучать детей к правильной терминологии.

Для решения задач второго типа, текст задачи можно проиллюстрировать чертежами, что помогает учащимся зрительно видеть задачу.

Пример 1. Новая машина может выкопать канаву за 8 часов, а старая — за 12. Новая работала 3 часа, а старая — 5 часов. Какую часть канавы осталось выкопать?

Рис.13. Графическое изображение задачи из примера № 1

Дадим наглядное представление этих задач. Условимся, что объем выполненной работы неизвестен, поэтому принимаем его за 1 и изображаем в виде отрезка, но отрезков будет три, так как возможны три случая:

а. работает одна старая машина;

б. работает одна новая машина;

в. работают вместе обе машины.

Выясним, почему отрезки равной длины (обе машины выполняют одну и ту же работу).

Разбор задачи. На сколько равных частей делим первый отрезок? На 8, так как работа выполняется за 8 часов. Что показывает 1 часть? Какую часть работы выполняет новая машина за 1 час, т. е. какова ее производительность?

Так как новая машина работала 3 часа, то выполнила части все работы. Отмечаем на третьем отрезке — .

Аналогичные рассуждения проводим, рассматривая старую машину, и отмечаем на третьем отрезке — .

Далее рассматривается третий нижний отрезок, и по нему выясняется, как найти оставшуюся часть, т. е., отрезок, обозначенный знаком вопроса.

В связи с экономией времени деление отрезков производится «на глаз», хотя очень полезно показать, как можно разделить быстро на 4 равные части (отрезок делится пополам, а затем каждая часть еще пополам). Аналогично деление на 8 и т. д. На 6 частей — сначала пополам, а потом каждую часть — на три.

Пример № 2. Два кузнеца, работая вместе, могут выполнить работу за 8 часов. За сколько часов может выполнить работу первый кузнец, если второй выполняет ее за 12 часов?

Изображая чертеж, мы проводим те же рассуждения, что и в предыдущей задаче.

Рис.14. Графическое изображение задачи из примера № 2

Разбор задачи. Первый отрезок делим на 8 равных частей, так как оба выполняют работу за 8 часов. Одна часть показывает, какую часть работы они выполняют вместе за 1 час, т. е., их совместную производительность. Аналогичные рассуждения проводим для расчета производительности второго кузнеца.

Зная их совместную производительность и производительность второго, можно найти производительность первого.

Результат показываем на чертеже.

Выясняем, сколько часов нужно первому кузнецу для выполнения работы (сколько раз в 1 содержится по).

Ответ: 24 часа.

Выводы по главе 2

Таким образом, использование алгоритмов, таблиц, рисунков, общих приемов дает возможность ликвидировать у большей части учащихся страх перед текстовой задачей, научить распознавать типы задач и правильно выбирать прием решения.

Нередко, некоторые ученики просто списывают задачу с доски, не пытаясь вникнуть в ее смысл. Таким ученикам можно предложить творческую работы, где они должны сами составить задачу и решить ее. Составляя задачу, ученик более осознанно поймет существование зависимости между величинами, почувствует, что числа берутся не произвольно: некоторые задаются, а другие получаются на основе выбранных. При составлении задачи большое значение имеют и обратные задачи. Для активного участия в поиске решения хорошо использовать опорные карты-сигналы, которые должны быть у всех учащихся.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выводы по работе (реальность достижения цели, реализация задач, выполнимость гипотезы…). О перспективах дальнейшей работы по теме. Где, кем и как может быть использована работа.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Алгебра: Учеб. для 7 кл. сред шк./ Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского. — М.: Просвещение, 1989. — 240 с.: ил.

2. Алгебра: Учеб. для 8 кл. сред шк./ Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 1991. — 239 с.: ил.

3. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений/ Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского. — 4-е изд. — М.: Просвещение, 1997. — 272 с.: ил.

4. Болтянский, В. Г. Как устроена теорема? [Текст] / В. Г. Болтянский // Математика в школе. — 1987. — № 1. — С. 41−49.

5. Обучение решению задач как средство развития учащихся: из опыта работы. Методическое пособие для учителя. — Киров, ИИУ. — 1999. — С.3−18.

6. Тоом А. Л. Между детством и математикой: Текстовые задачи в математическом образовании/ Математика, 2005, № 14

7. Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. Как научится решать задачи: Кн для учащихся ст. классов сред. шк. — 3-е изд., дораб. — М.: Просвещение, 1989. — 192 с.: ил.

8. Шевкин А. В. Материалы курса «Текстовые задачи в школьном курсе математики»: Лекции 1−4. — М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. 88 с.

9. Шевкин А. В. Материалы курса «Текстовые задачи в школьном курсе математики»: Лекции 5−8. — М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. 80 с.

10. Методика преподавания математики [Текст]: учебник для вузов / Е. С. Канин, А. Я. Блох [и др.]; под ред. Р. С. Черкасова. — М.: Просвещение, 1985. — 268 с.