Методика организации и проведения факультативного курса по теме «Симметрия в алгебраических задачах»

МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра алгебры, геометрии иметодики их преподавания Дипломная работа По теме Методика организации и проведения факультативного курса по теме: «симметрия в алгебраических задачах»

Москва, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ математика факультативный курс Введение ГЛАВА 1. Методика организации факультативных занятий по математике

§ 1. Из истории возникновения факультативных занятий по математике

§ 2. Требования к организации факультативных занятий по математике

§ 3.Психологические особенности старшеклассников ГЛАВА 2. Факультативный курс «Симметрия в алгебраических задачах»

§ 1. О факультативном курсе в целом

§ 2. Методические разработки занятий факультативного курса Заключение Приложение Библиография

ВВЕДЕНИЕ

Процесс преподавания математики в школе в настоящее время переживает период глубоких преобразований. Перед школой ставятся задачи повышения качества образования и воспитания, прочного овладения основами наук, обеспечения более высокого научного уровня преподавания каждого предмета.

Реальностью, обуславливающей необходимость дифференцированного обучения математике, являются объективно существующие различия учащихся в темпах овладения учебным материалом, в способностях самостоятельного применения усвоенных знаний и умений.

Факультативные курсы — наиболее массовая и эффективная форма дифференцированного обучения, позволяющая углублять знания учащихся по данному предмету, учитывать интересы и развивать способности каждого учащегося в рамках классно-урочной системы школьного образования.

Целью данной дипломной работы является составление факультативного курса по теме «симметрия в алгебраических задачах». Этот факультативный курс призван научить детей решать некоторые алгебраические задачи при помощи свойств симметрических многочленов и рассчитан на 10 классы с математическим уклоном. Занятия можно проводить также в 8, 9 и 10 общеобразовательных классах, достаточно лишь убрать из курса некоторые наиболее сложные доказательства и задачи. Более подробно об этом написано в 1-м параграфе 2-й главы.

Актуальность данной темы подтверждается тем, что школьники осваивают еще один довольно общий метод решения уравнений и систем уравнений высших степеней, который, в отличие от метода исключения неизвестных, не повышает, а понижает степень уравнений. Хотя этот метод не столь универсален, он применим к большинству систем, с которыми сталкивается школьник.

Метод, о котором идет речь, основан на использовании теории симметрических многочленов. Основы этой теории достаточно просты и позволяют работать с учащимися разных уровней и решать большое количество уравнений и их систем. Мы использовали теорию симметрических многочленов от 2-х переменных, поскольку редкие уравнения в школе содержат 3 и более переменных.

Кроме этого, умение решать задачи данным методом может серьезно помочь одиннадцатиклассникам при поступлении в вузы, некоторые из разобранных задач взяты из вступительных испытаний.

Задачи, возникшие при написании данной работы, таковы: 1). Выявить особенности отбора материала для факультативного курса и осмыслить методику организации курса.2). Отобрать теоретический материал и задачи.3). Разработать факультативный курс «симметрия в алгебраических задачах».

Для решения поставленных задач использовались следующие методы:1). Анализ методической и математической литературы.2). Педагогическое наблюденное.3). Беседы с преподавателями математики.4). Анализ контрольных работ учащихся.

Работа состоит из введения, двух глав, заключения, приложения и библиографии.

Во введении рассказывается о дипломной работе в целом, о ее целях, актуальности, задачах и методах. Кроме этого, введение содержит краткое описание других глав.

Первая глава посвящена общей методике организации факультативных занятий по математике. В ней описываются факультативные курсы как форма учебной работы, приведены примеры из истории развития факультативных занятий и сказано о тенденции их современного развития. Кроме того, в данной главе можно найти информацию о методике проведения факультативный занятий по математике и о психологии старшеклассников, на которых и рассчитан курс.

Первая глава делится на 3 параграфа. Первый из них вводит читателя в историю зарождения и развития факультатива как формы учебной работы. Также здесь говорится о людях, внесших значительный вклад в развитие факультативных занятий, например такие видные ученые, как академик А. Н. Колмогоров, академик Б. В. Гнеденко, А. И. Маркушевич, И. М. Гельфанд, В. Г. Болтянский.

Также первый параграф говорит о целях и задачах первых факультативов и о том, какие предметы на них изучали. Особенностью первых программ факультативных занятий было включение в них важнейших тем проекта программы школьного курса, не изучавшихся в то время в школе. К этим темам относятся следующие: «Множество и операции над ними» (7−9 классы), «Начала дифференциального и интегрального исчислений» (9 и 10 классы), «Геометрические преобразования» (7−9 классы), «Элементы комбинаторики и теории вероятностей» (10 класс), «Метод координат» (8 класс), «Принцип математической индукции (9 класс).

Второй параграф описывает методические требования к организации и проведению факультативных занятий по математике. На факультативных занятиях имеются наиболее благоприятные условия для индивидуализированного обучения. Во-первых, потому что для факультативных занятий не установлен обязательный минимум знаний и умений, которыми должны овладеть учащиеся, программы факультативных курсов не являются жесткими, стабильными и допускают значительные вариации; во-вторых, потому, что факультативные занятия, по сравнению с обязательными классными занятиями, имеют больше возможностей для осуществления индивидуализированного подхода к учащимся, так как факультативная группа должна состоять из 10−15 человек, а в такой группе можно реально ставить вопрос об индивидуальном темпе и уровне изучения материала. В данном параграфе выделены основные особенности и рекомендации к проведению факультатива по математике. Вот они вкратце:

а) Факультативный курс по математике должен быть направлен на воспитание математической культуры учащихся.

б) Факультативный курс должен быть построен так, чтобы способствовать формированию самостоятельной, творческой и мыслительной деятельности учащихся.

в) Факультативный курс должен быть связан с практикой.

г) Факультативный курс должен быть построен так, чтобы возбудить интерес учащихся, как к содержанию факультатива, так и к самому процессу обучения.

д) Процесс изучения факультативного курса должен быть индивидуализирован на всех его этапах.

е) Факультативный курс должен быть разработан с учетомвозрастных особенностей учащихся, которым он адресован.

ж) Решающая роль в факультативном курсе должна быть отведена упражнениям.

з) При разработке факультативного курса следует предусмотреть повторение и углубление возможных разделов обязательной программы.

и) При разработке системы упражнений факультативного курса должна быть поставлена цель обеспечить текущий контроль ее со стороны учителя за процессом обучения, его результатами и максимально облегчить его.

Не менее важно учитывать возрастные особенности учащихся при разработке факультативного курса. Подробнее об этом сказано в следующем параграфе.

Третий и последний параграф говорит о психологических особенностях старшеклассников. Старшие школьники оценивают учебный процесс с точки зрения того, что он дает для их будущего, насколько он отвечает собственным представлениям о будущей деятельности. Также они начинают в большей степени интересоваться теми предметами, которые им нужны в связи с выбранной профессией, их интерес к обучению носит избирательный характер.

Вот основные выводы, которые можно сделать о психологии старшеклассников из данного параграфа:

В старшем школьном возрасте формируются все необходимыепредпосылки для успешного решения образовательных, воспитательных иразвивающих задач обучения.

Эти предпосылки не только подкрепляют цели и задачи обучения поформированию всесторонне развитой личности, но и создают условия, прикоторых успешное решение образовательных задач обучение невозможно вотрыве от решения задач воспитания и развития.

Для решения этих задач необходим комплексный подход к обучению, основанный на единстве образовательных, воспитательных и развивающихзадач обучения.

Необходимо совершенствовать формы и методы обучения, ориентированные на комплексное решение образовательных, воспитательныхи развивающих задач обучения, в частности, исследовать возможность такогоподхода при проведении факультативных занятий.

В итоге можно сделать вывод о том, что факультативные занятия по алгебре с учащимися старших классов обладают всеми необходимыми возможностями для комплексного подхода к образованию, воспитанию и развитию школьников на этих занятиях.

Перейдем к описанию второй главы, которая является важнейшей в данной работе, поскольку именно в ней реализуется цель всего диплома — разработка факультативного курса «симметрия в алгебраических задачах».

В этой главе 2 параграфа, и первый из них повествует обо всем курсе в целом и содержит план факультатива. Курс рассчитан на 10 классы с математическим уклоном, но при удалении из курса некоторых задач и теорем может быть использован в 8 — 10 общеобразовательных классах. Каждое занятие рассчитано по продолжительности на 2 урока. Достаточно подробно описана последовательность работы учителя на каждом занятии, выделены примеры и задачи, которые учитель объясняет сам, и какие предполагаются для самостоятельной работы учащихся.

После плана идут подробные пояснения к каждому занятию.

Второй параграф второй главы представляет собой непосредственно разработку факультативного курса, который состоит из 9 занятий.

На первом занятии даются базовые понятия из теории симметрических многочленов и доказывается основная теорема, необходимые для дальнейшего изучения материала курса. Второе занятие содержит теорему единственности и теорема Безу, а также рассказывает о делении многочлена на многочлен «уголком». Третье занятие опирается на теоретический материал первых двух и посвящено решению систем уравнений. На четвертом занятии разбираются более сложные уравнения и системы уравнений, требующие для решения метод введения вспомогательных неизвестных. Пятое занятие дает информацию о задачах, связанных с квадратными уравнениями, которые решаются при помощи теории симметрических многочленов. Из шестого занятия можно узнать о применении свойств симметрических многочленов для доказательства неравенств. Седьмое занятие содержит теорему о возвратных многочленах и учит решать с ее помощью возвратные уравнения. На восьмом занятии учащиеся учатся разложению симметрических многочленов на множители. На девятом, и последнем, занятии разбираются различные задачи, не вошедшие в первые восемь. Эти задачи также используют свойства симметрических многочленов. Девятым занятием заканчивается вторая глава. За ним идет заключение, где еще раз вспоминаются цели, задачи и методы, и говорится о степени успешности их реализации в данной дипломной работе.

В приложение вынесены теоремы, используемые на занятиях, с доказательствами. Кроме этого, в приложении приведены дополнительные упражнения к различным занятиям с ответами к ним.

ГЛАВА 1. МЕТОДИКА ОРГАНИЗАЦИИ ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ

§ 1. ИЗ ИСТОРИИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЙ Новая форма учебной работы — факультативные занятия — была введена постановлением от 10 ноября 1966 г. в целях углубления знаний по физико-математическим, естественным и гуманитарным наукам, развития разносторонних интересов и способностей учащихся.

Введение

факультативных занятий по выбору учащихся явилось важным шагом в деле дальнейшего совершенствования системы всеобщего среднего образования.

За десятилетия, прошедшие со времени введения факультативных занятий в школах, они получили значительное развитие. Миллионы учащихся 7−11 классов углубили свои знания основ наук, расширили кругозор, проверили способности и с учетом опыта факультативного изучения тех или иных предметов выбрали свой жизненный путь.

Изучая состояние факультативов по математике, нельзя не обратить внимания на особую роль, которую они сыграли в деле перестройки среднего математического образования. Они явились фактически широким и естественным каналом проникновения в школу нового содержания курса математики.

Непосредственной разработкой содержания и методики факультативных занятий по математике занимались такие видные ученые, как академик А. Н. Колмогоров, академик Б. В. Гнеденко, А. И. Маркушевич, И. М. Гельфанд, В. Г. Болтянский.

Факультативные занятия появились в советской школе в момент осуществления коренной реформы математического образования, затрагивающей весь курс математики с 1 по 11 класс. С самого начала было ясно, что факультативные курсы по математике в этот период будут носить временный характер, поскольку последовательно вводились новые программы. Поэтому в первый период организации факультативных занятий по математике им сознательно была придана цель служить естественной массовой лабораторией разработки методики и содержания нового курса математики; т. е. программы факультативов были ориентированы на новую школьную программу по математике.

Учитывая эту особенность, все исследования в области теории и практики факультативных занятий можно условно разделить на две группы. К первой из них относятся работы, направленные на решение актуальных методических задач начального периода развития математических факультативов, как-то: разработка содержания и методики проведения факультативных занятий, создание научно-методического обеспечения математического факультатива, изучение и обобщение опыта факультативных занятий. Работы этой группы были ориентированы на исследование проблем преподавания общего курса математики. Работы второй группы направлены на выявление специфики собственно факультативных занятий, разработку теории этой формы обучения, исследование перспектив развития факультативных занятий по математике и разработку нового содержания и методики обучения.

Особенностью первых программ факультативных занятий было включение в них важнейших тем проекта программы школьного курса, не изучавшихся в то время в школе. К этим темам относятся следующие: «Множество и операции над ними» (7−9 классы), «Начала дифференциального и интегрального исчислений» (9 и 10 классы), «Геометрические преобразования» (7−9 классы), «Элементы комбинаторики и теории вероятностей» (10 класс), «Метод координат» (8 класс), «Принцип математической индукции (9 класс).

Это позволило учителям к моменту введения новых программ уже приобрести некоторый опыт в изложении новых программных вопросов, что должно было облегчить дальнейший переход школы на новое содержание математического образования.

§ 2. ТРЕБОВАНИЯ К ОРГАНИЗАЦИИ ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ Основные задачи факультативных занятий по математике в средней школе — это углубление математических знаний учащихся; развитие способностей и познавательных интересов школьников. Факультативные занятия призваны вырабатывать у учащихся стремление самостоятельно добывать знания, формировать навык работы с дополнительной литературой.

Индивидуализация обучения в процессе факультативных занятий приобретает особую значимость в связи с тем, что на факультативе изучается материал более высокого уровня трудности, а индивидуальные различия учащихся в характере мыслительной деятельности, степени подготовленности остаются, так как посещать факультатив могут все желающие, независимо от успеваемости.

На факультативных занятиях имеются наиболее благоприятные условия для индивидуализированного обучения. Во-первых, потому что для факультативных занятий не установлен обязательный минимум знаний и умений, которыми должны овладеть учащиеся, программы факультативных курсов не являются жесткими, стабильными и допускают значительные вариации; во-вторых, потому, что факультативные занятия, по сравнению с обязательными классными занятиями, имеют больше возможностей для осуществления индивидуализированного подхода к учащимся, так как факультативная группа должна состоять из 10−15 человек, а в такой группе можно реально ставить вопрос об индивидуальном темпе и уровне изучения материала. Без ориентации на индивидуализацию процесса изучения факультативного курса сильные учащиеся искусственно задерживаются в своем развитии и теряют интерес к занятиям; более слабые ученики также теряют интерес к факультативу, так как от них требуется непосильное умственное напряжение. При разработке методики изучения факультативного курса главный акцент должен быть сделан на индивидуализацию процесса обучения. «Эффективность учебного процесса, в ходе которого формируется умственный и нравственный облик человека, во многом зависит от успешного усвоения одинакового, обязательного для всех членов общества содержания образования и всемерного удовлетворения и развития духовных запросов, интересов и способностей каждого школьника в отдельности. Без факультативных занятий такой подход осуществить крайне трудно».

Факультативные курсы — наиболее массовая и эффективная форма дифференцированного обучения, позволяющая учитывать интересы и развивать способности каждого учащегося в рамках классно-урочной системы школьного образования.

Можно выделить некоторые особенности постановки факультативных курсов по математике:

а) Факультативный курс по математике должен быть направлен на воспитание математической культуры учащихся.

Современный этап развития науки, техники, культуры, производства выдвинул перед обществом задачу воспитания творчески мыслящей личности; человека, умеющего решать научные и производственные задачи. Развитие науки в последнее время характеризуется тенденцией к математизации. Все это выдвигает перед школой задачу всемирного развития у учащихся математических способностей, склонностей и интересов, задачу повышения уровня математической культуры, уровня математического развития школьников.

Владение элементарными приемами логического мышления является принципиальным, необходимым компонентом общей культуры человека. К логическим умениям, которыми должны овладевать школьники, относят умение опровергать ложные предложения удачно подобранным частным примером (контрпримером), умение доказывать существование вводимых математических понятий, умение определять правдоподобие предложений, полученных при попытках обобщить условие теоремы или задачи, проверять правильность обратного утверждения.

Именно на факультативных занятиях открываются значительные возможности для выработки таких умений в силу малочисленности факультативных групп, широкого применения индивидуальных методов обучения, наличия некоторого интереса к математике у участников факультатива.

Факультативные курсы должны знакомить учащихся с важнейшими идеями и методами современной математики.

В факультативный курс должны быть включены исторические сведения, поскольку история науки, в частности математики, является частью общей культуры.

б) Факультативный курс должен быть построен так, чтобыспособствовать формированию самостоятельной, творческой имыслительной деятельности учащихся.

Только в результате самостоятельной мыслительной деятельности учащегося, в результате напряженной умственной работы, особенно при решении самостоятельных, творческих задач, образуется многообразие связей, которое даст тот высокий уровень системности умственной деятельности, который обеспечивает ее динамичность, Многочисленные исследования психологов показали, что наибольшая эффективность запоминания наблюдается тогда, когда оно происходит в активной деятельности. Высокий эффект может дать лишь то обучение, которое рассчитано на продуктивную познавательную деятельность учеников, а не на простое восприятие и запоминание знаний.

Основой обучения должно быть не запоминание информации, которой в изобилии снабжает учитель, а активное участие самих школьников в процессе приобретения этой информации, их самостоятельное мышление, постепенное формирование способностей самостоятельно приобретать знания. Факультативные занятия предоставляют широкие возможности для воспитания творческих, познавательных способностей учащихся, так как состав факультативной группы немногочислен, а принцип формирования еедобровольность — обеспечивает наличие некоторого интереса со стороны учащихся к данному разделу математики.

в) Факультативный курс должен быть связан с практикой. Важнейший принцип психологии — единство сознания и деятельности.

Сознательность усвоенных знаний лучше всего проверяется на практике.

Практика понимается в двух аспектах: во-первых, как основа для усвоения теоретического курса, так как только в процессе решения задач применения изученной теории к условиям конкретной задачи можно добиться действительного усвоения этой теории, так как формирование понятия идет через попытку его употребить и регулируется результатами этих попыток; во-вторых, как практическая деятельность человека, поэтому необходимо указывать, где это возможно, на применение изучаемой теории. Учащиеся должны отчетливо понимать, что изучение в школьном курсе каждого раздела математики вызвано либо потребностью практических приложений, либо потребностями развития самой математики и смежных наук. Факультативные курсы призваны решать также вопросы профессиональной ориентации учащихся.

г) Факультативный курс должен быть построен так, чтобывозбудить интерес учащихся, как к содержанию факультатива, так и ксамому процессу обучения.

Только одно абстрактное понимание необходимости учения в школе нередко является для старшеклассника недостаточно действенным стимулом к работе. Изучаемый материал должен вызывать интерес у учащихся. '

Часто недооценивают роль эмоций в обучении, взывают к разуму детей и порой совсем не затрагивают из чувств, а под влиянием интереса значительно активизируется мышление. Никакая техника, никакие методические ухищрения не могут повысить эффективность обучения, если используемый метод обучения не вызывает у обучающихся интереса к учебному материалу. Психологи считают положительные эмоции могучими побудителями и вдохновителями человеческой деятельности Для зарождения интереса решающую роль играет успех, ощущение продвижения. Удовлетворение, испытанное при правильном ответе, является положительным подкреплением, последовательность же неправильных ответов оказывает то же действие, что и отрицательное подкрепление в схеме образования условного рефлекса. Если подкрепляющие стимулы исключаются, то реакция затухает.

д) Процесс изучения факультативного курса должен бытьиндивидуализирован на всех его этапах.

Интересным может быть лишь тот материал, который находится в допустимой зоне трудности учащегося: как слишком легкий, так и непосильно трудный материал не может быть интересным для обучающихся. Поэтому необходимым условием для того, чтобы изучаемый материал был интересен каждому учащемуся, является индивидуализация процесса обучения.

Поскольку процесс изучения нового материала требует не менее активной умственной деятельности учащихся, чем процесс закрепления знаний, то индивидуализированы должны быть эти обе составляющие учебного процесса; процесс изучения нового материала — по уровню содержания, а процесс закрепления знаний также и по темпу. Процесс изучения факультативного курса должен быть организован так, чтобы каждый учащийся в данный отрезок времени овладел одним и тем же объемом теоретического материала, выбрав такой уровень изложения этого материала, который соответствует его индивидуальным особенностям. При закреплении нового материала каждый учащийся должен иметь возможность выбрать и индивидуальный темп работы: за одно и то же время разные учащиеся могут выполнить различное число упражнений, разного уровня трудности.

е) Факультативный курс должен быть разработан с учетомвозрастных особенностей учащихся, которым он адресован.

Если у подростка учебные интересы определяют выбор профессии, то у старшего школьника наблюдается и обратное: выбор профессии способствует формированию учебных интересов. Учение для старших школьников приобретает конкретный жизненный смысл, так как усвоение учебных знаний, умений и навыков становится важным условием их предстоящего полноценного участия в жизни общества.

Мышление старшего школьника приобретает все более активный, самостоятельный, творческий характер: если подросток хочет знать, что собой представляет то или иное явление, то старшие школьники стремятся разобраться в разных точках зрения на этот вопрос и составить собственное мнение.

Если учесть еще и то, что факультативные занятия проходят обычно на 6−7 уроках, т. е. в конце школьного рабочего дня, когда утомляемость учащих особенно высока, становится очевидным необходимость включения в факультативный курс задач, решение которых предполагает некоторую двигательную и игровую активность.

Форма проведения занятий должны отличаться большим разнообразием. При разработке системы упражнений нельзя недооценивать занимательные задачи, задачи-игры.

ж) Решающая роль в факультативном курсе должна быть отведена упражнениям.

Одной из целей изучения математических факультативов является развитие логического мышления учащихся, важное средство для достижения этой цели — работа учащихся при решении задач.

Только в процессе решения задач возможно действительное, неформальное усвоение теоретического материала. Доказательства теорем, их формулировки довольно скоро забудутся учащимися (особенно теми, которые выберут себе профессию, далекую от математики), а логические приемы, примененные многократно в процессе решения задач, останутся навсегда, станут базой для развития логической культуры человека.

Именно в процессе решения задач начинается творчество учащихся. Работа над математическим упражнением (задачей) предполагает 3 этапа: составление задачи, решение ее, контроль. Учебная работа ограничивается чаще всего лишь вторым этапом, решением готовых задач. Однако, согласно данным психологов, всевозможные задачи по составлению задач резко улучшает сохранение материала в памяти. Самостоятельно составленная и решенная задача запоминается полнее и прочнее.

К сожалению, процесс составления задач специально не изучался и применяется, в основном, в начальной школе. Однако, опыт учителей подтверждает, что ни один вид работы не заставляет учащихся так активно мыслить, как составление задач.

Число упражнений, необходимых для образования навыка, зависит от индивидуально-психологических особенностей ученика, упражнения должны составлять правильную последовательность постепенно усложняющихся задач.

В факультативном курсе система упражнений должна носить пропедевтическую направленность, должна быть построена по принципу опережающего развития понятия, чтобы подготовить учащихся к восприятию важнейших понятий современной математики, с которой учащиеся встретятся в процессе дальнейшего обучения.

з) При разработке факультативного курса следует предусмотреть повторение и углубление возможных разделов обязательной программы.

Факультативные курсы основаны на обязательном курсе, они призваны углублять и расширять знания, предусмотренные обязательной школьной программой.

Занятия на факультативе, где у учащихся развивается интерес к математике, формируются приемы самостоятельной творческой работы, развивается логическое мышление, благоприятно сказывается на общем развитии учащегося, и, следовательно, на его успехах в изучении обязательного курса. Учащиеся выбирают тот или иной факультативный курс по желанию, которое, по-видимому, основано на некотором интересе к данному разделу математики. Кроме того, на факультативе, как это было указано, шире возможности применения индивидуальных методов обучения, поэтому, нередко содержание факультативного курса усваивается лучше, чем обязательная программа.

и) При разработке системы упражнений факультативного курса должна быть поставлена цель обеспечить текущий контроль ее со стороны учителя за процессом обучения, его результатами и максимально облегчить его.

Для эффективного руководства процессом обучения учитель должен постоянно получать информацию о ходе усвоения материала, так как эффективный процесс управления характеризуется наличием у учителя оперативной и достаточно полной информации о состоянии знаний учеников и проходящих в них изменениях. В обучении же, существующие способы обратной связи не экономны, весьма трудоемки (проверка контрольных работ, тетрадей с домашним заданием и т. д.), а главное, контроль не постоянен, отдален от момента сообщения новых знаний.

Многие зарубежные психологи подчеркивают необходимость немедленного подкрепления в процессе обучения. Чем чаще проверяется и оценивается работа школьника, тем интереснее ему работать. Положительный эффект правильного ответа, ощущения продвижения, успеха оказывают существенное влияние на эмоциональное состояние учащегося, на его работоспособность, а значит и эффективность процесса обучения. Насущным является также вопрос о том, как разгрузить учителя, как снизить трудоемкость проверки контрольных работ, индивидуальных заданий. Поэтому при разработке системы упражнений факультативного курса необходимо заботиться о том, чтобы контроль учителя за учебной деятельностью учащегося был максимально облегчен.

Как уже говорилось выше, важно учитывать возрастные особенности учащихся при разработке факультативного курса. Остановимся на этом подробнее.

§ 3. ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ СТАРШЕГО ШКОЛЬНИКА Старший школьник стоит на пороге вступления в самостоятельную жизнь. Перед ним возникает необходимость самоопределения, выбора своего жизненного пути как задача первостепенной важности.

Новая социальная позиция старшеклассника изменяет для него и значимость учения, его задач, содержания, форм и методов. Старшие школьники оценивают учебный процесс с точки зрения того, что он дает для их будущего, насколько он отвечает собственным представлениям о будущей деятельности. В этом возрасте устанавливается довольно прочная связь между профессиональными и учебными интересами.

Если у подростка учебные интересы определяют выбор профессии, то у старшего школьника наблюдается и обратное: выбор профессии способствует формированию учебных интересов. Учение для старших школьников приобретает конкретный жизненный смысл, так как усвоение учебных знаний, умений и навыков становится важным условием их предстоящего полноценного участия в жизни общества.

Старшие школьники начинают в большей степени интересоваться теми предметами, которые им нужны в связи с выбранной профессией, их интерес к обучению носит избирательный характер. Интересуясь тем или иным предметом, старшие школьники выделяют, по их мнению, самое нужное для их будущей профессии и ставят цель — глубоко познать и изучить именно эти вопросы, подчас неоправданно исключая из своего поля зрения другие не менее важные вопросы, считая их несущественными и не имеющими значения для познания существа избранной области знания.

Другой характерной особенностью учебной деятельности старшеклассника является ее активизация и до известной степени самостоятельность. Мышление старшего школьника приобретает все более активный, самостоятельный, творческий характер. Если подросток хочет знать, что собой представляет то или иное явление, то старшие школьники стремятся разобраться в разных точках зрения на этом вопрос и составить собственное мнение. Старших школьников привлекает сам ход анализа, способы доказательства не меньше, чем конкретные сведения. Многим из них нравится, когда преподаватель предлагает им самим выбрать одну из точек зрения, требуя обоснования тех или иных утверждений, и они с готовностью вступают в спор и упорно защищают свою позицию.

Следующей важной особенностью, отличающей старшего школьника от подростка, является развитие мышления и формирование научного мировоззрения старшеклассника. Старшие школьники уже умеют абстрагироваться и обобщать изучаемый материал. На основе этой способности мыслительной деятельности у школьников старших классов формируется теоретическое мышление, направленное на познание общих законов окружающего мира, законов природы и общественного развития.

Интерес к учебным предметам постепенно перерастает в интерес к науке, к вопросам теории, к определенным отраслям знания. У старшеклассника возникает интерес к причинному объяснению явлений, развивается умение аргументировать суждения, доказывать истинность или ложность отдельных положений, появляется практичность мышления.

Развивающееся мировоззрение старшеклассников накладывает отпечаток на характер познавательной деятельности юношей и девушек — они интересуются вопросами истории развития науки, увлеченно следят за новыми открытиями, применением результатов научных исследований в практике. Задача учителя воспитывать и поощрять у старших школьников желание познавать и объяснять окружающие явления, предпринимать целенаправленные усилия для того, чтобы научные знания, которые приобретает школьник, становились бы его убеждениями, формировали бы его научное мировоззрение.

Особое значение в старшем школьном возрасте имеет развитие личности. Это возраст формирования собственных взглядов и отношений, роста самосознания.

Уровень самосознания определяет и уровень требований старшеклассников к окружающим людям и к самим себе. Они становятся более критичными и самокритичными.

Для старшего школьного возраста характерно усиление роли нравственных убеждений, сознания в поведении. Если поведение подроста еще во многом носит импульсивный характер, диктуется непосредственными побуждениями, определяется требованиями и указаниями взрослых, то поведение старших школьников в гораздо большей степени определяется их моральными представлениями и понятиями, системой их взглядов на жизнь. Именно в старшем школьном возрасте формируется способность выбирать правильную линию поведения в различных обстоятельствах. Подводя итог, можно сделать следующие выводы:

В старшем школьном возрасте формируются все необходимыепредпосылки для успешного решения образовательных, воспитательных и развивающих задач обучения.

Эти предпосылки не только подкрепляют цели и задачи обучения поформированию всесторонне развитой личности, но и создают условия, прикоторых успешное решение образовательных задач обучение невозможно вотрыве от решения задач воспитания и развития.

Для решения этих задач необходим комплексный подход к обучению, основанный на единстве образовательных, воспитательных и развивающихзадач обучения.

Необходимо совершенствовать формы и методы обучения, ориентированные на комплексное решение образовательных, воспитательныхи развивающих задач обучения, в частности, исследовать возможность такогоподхода при проведении факультативных занятий.

Анализируя возможности алгебры в образовании, воспитании и развитии школьников, возрастные и индивидуальные особенности развития старшеклассников, особенности факультативной формы проведения занятий, мы приходим к выводу о том, что факультативные занятия по алгебре с учащимися старших классов обладают всеми необходимыми возможностями для комплексного подхода к образованию, воспитанию и развитию школьников на этих занятиях. Такой подход к постановке факультативных занятий, с одной стороны, диктуется требованиями общественного развития по формированию всесторонне развитой личности школьника, а с другой, подкрепляется возрастными особенностями старшеклассников, возможностями факультативной формы обучения.

Глава II. ФАКУЛЬТАТИВНЫЙ КУРС «СИММЕТРИЯ В АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ»

§ 1. О ФАКУЛЬТАТИВНОМ КУРСЕ В ЦЕЛОМ В данном параграфе дается общая информация о факультативном курсе, а также более подробная информация о каждом занятии в отдельности.

Факультативный курс рассчитан на 10 классы с математическим уклоном, так как в некоторых заданиях используется индукция и метод неопределенных коэффициентов, которые в общеобразовательных классах не изучают. Хотя, если убрать несколько сложных примеров из некоторых занятий, то данный курс можно проводить не только в общеобразовательном 10 классе, но и в 8−9 классах. В 11 классе данный факультатив проводить не рекомендуется, так как учащиеся обычно загружены курсами для поступающих в вузы.

Все занятия данного курса построены примерно одинаково: сначала проверка д/з или повторение, затем теоретическая часть, и далее — упражнения, переходящие в домашнее задание. Если учащиеся не справились с некоторыми упражнениями на уроке, можно оставить их на дом, и наоборот, на уроке можно решать упражнения из домашнего задания. Какие задания и когда их решать, определяет учитель в зависимости от возможностей учащихся.

Примеры, которые разобраны в каждом занятии, предполагают, что учитель сам будет их объяснять. Упражнения, идущие после слова «ЗАДАНИЕ:», а также домашнее задание, рассчитаны на самостоятельную деятельность учащихся, учитель лишь немного помогает и направляет их. Доказательства теорем вынесены в приложение.

Все занятия факультативного курса используют теорию симметрических многочленов от 2-х переменных, поскольку эта теория достаточно проста, и нет надобности вводить симметрические многочлены от 3-х и более переменных. Для простоты изложения мы будем опускать фразу «от 2-х переменных», хотя будем иметь в виду именно это.

Далее приведен план занятий факультативного курса, а затем пояснения к каждому занятию: какие примеры и доказательства в каких классах следует приводить, а какие нет.

План занятий

1. Симметрические многочлены, элементарные симметрические многочлены, степенные суммы: определения и примеры. Основная теорема о симметрических многочленах.

2. Теорема единственности, теорема Безу. Арифметические действия с многочленами, деление многочлена на многочлен «уголком».

3. Решение систем уравнений с помощью симметрических многочленов.

4. Решение уравнений и систем уравнений методом введения вспомогательных неизвестных.

5. Задачи о квадратных уравнениях, решаемые с помощью симметрических многочленов.

6. Применение свойств симметрических многочленов для доказательства неравенств.

7. Применение свойств симметрических многочленов для решения возвратных уравнений.

8. Разложение симметрических многочленов на множители.

9. Прочие задачи, при решении которых используются свойства симметрических многочленов.

Каждое занятие рассчитано на 2 академических часа.

Пояснения к занятию 1.10 математический класс. Без изменений, доказательство основной теоремы приводить полностью.8, 9 и 10 общеобразовательный классы. Материал на занятии без изменений. На дом не надо знать доказательство теоремы, и можно не находить s₇ и s₈.

Пояснения к занятию 2.10 математический класс. Примеры и упражнения без изменений. Доказательство теоремы единственности можно не приводить полностью, а рассказать только план.8, 9 и 10 общеобразовательный классы. Примеры и упражнения без изменений. Доказательство теоремы единственности не приводить. Из домашнего задания убрать пункт 4.

Пояснение к занятию 3.10 математический класс. Без изменений.8, 9 и 10 общеобразовательный классы. Из упражнений и домашнего задания убрать по 1 примеру.

Пояснение к занятию 4.10 математический класс. Без изменений.8, 9 и 10 общеобразовательный классы. Из заданий в пункте 2 убрать номера 3 и 5. В домашнем задании дать только 2 номера.

Пояснение к занятию 5.10 математический класс. Без изменений.8, 9 и 10 общеобразовательный классы. Теорему 1 можно не доказывать, не рассматривать в повторении s₇ и s₈. Из упражнений убрать 3-ю задачу, и в домашнем задании не делать пример 2.

Пояснение к занятию 6.10 математический класс. Без изменений.8, 9 и 10 общеобразовательный классы. Теорему 2 взять без доказательства и убрать по 1 примеру из упражнений и домашнего задания.

Пояснение к занятию 7.10 математический класс. Рассмотреть только план доказательства теоремы. 8, 9 и 10 общеобразовательный классы. Теорему не доказывать. Из домашнего задания взять только пример 2.

Пояснение к занятию 8.10 математический класс. Без изменений.8, 9 и 10 общеобразовательный классы. Не рассматривать пункт 2 и убрать из домашнего задания 3-й пример.

Пояснение к занятию 9.10 математический класс. Без изменений.8, 9 и 10 общеобразовательный классы. Не рассматривать пример 3 и взять в упражнениях только 2 примера.

Если возникает необходимость в дополнительных упражнениях к какому — либо занятию, то их можно найти в приложении.

После проведения всех занятий по усмотрению учителя может быть проведена контрольная работа. В нее можно включить несколько примеров из не разобранных ранее и взять дополнительные упражнения из приложения.

§ 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ ЗАНЯТИЙ ФАКУЛЬТАТИВНГО КУРСА Занятие 1

Цель: Познакомить детей с понятиями симметрических многочленов, элементарных симметрических многочленов и степенных сумм. Доказать основную теорему о симметрических многочленах.

План занятия:

1. Симметрические многочлены: определение и примеры.

2. Степенные суммы и элементарные симметрические многочлены. Выражение степенных сумм через элементарные симметрические многочлены.

3. Основная теорема о симметрических многочленах от двух переменных.

4. Формула нахождения степенных сумм.

5. Домашнее задание.

1. СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ Введение ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Многочлен от x и y называется симметрическим, если он не изменяется при замене x на y, а y на x.

ПРИМЕРЫ: x²y + y²x — симметрический многочлен, так как x²y + y²x = y²x + x²y.5x² — y² — не симметрический многочлен, поскольку 5x² — y² не равен многочлену y² — 5x².

ЗАДАНИЕ: Какие из следующих многочленов являются симметрическими: а) xy — 2yx б) y² + 3x² в) x²y² + x + y г) x — y д) 3xy³ + 4x²y² — 3y³xе) (x³ — y³)² ж) (x + y)² — (x — y)² з) (x — y)³Ответы: (а), (в), (д), (е), (ж).

2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ И СТЕПЕННЫЕ СУММЫ ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Элементарными симметрическими многочленами называют многочлены x + y и xy.

Они так называются, поскольку на вид самые простые из симметрических многочленов. Для них используются специальные обозначения: у₁ = x + y и у₂ = xy (у — греческая буква «сигма»).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Степенные суммы — это многочлены вида x + y, x² + y², x³ + y³, …, xⁿ + yⁿ.

Для степенных сумм тоже приняты специальные обозначения: s₁ = x + y, s₂ = x² + y², …, s_n = xⁿ + yⁿ.

Несколько первых степенных сумм легко выражаются через элементарные симметрические многочлены: s₁ = x + y = у₁s₂ = x² + y² = (x + y)² — 2xy = у₁² — 2 у₂

ЗАДАНИЕ: Выразить s₃ и s₄ через элементарные симметрические многочлены. Решение: s₃ = x³ + y³ = (x + y)(x² — xy + y²) = у₁(у₁² — 3 у₂) s₄ = x⁴ + y⁴ =(x² + y²)² — 2 x² y² = (у₁² — 2 у₂)² — 2 у₂²

Степенные суммы — сами по себе являются симметрическими многочленами и могут быть выражены через элементарные симметрические многочлены. Но не только они, а вообще любой симметрический многочлен можно выразить через элементарный симметрический многочлен. Доказательством тому служит следующая теорема.

3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРЕМА: Любой симметрический многочлен от двух переменных x и y можно представить в виде многочлена от у₁ = x + y и у₂ = xy.

< ДОКАЗАТЕЛЬСТВО приведено в приложении >.

4. ФОРМУЛА НАХОЖДЕНИЯ СТЕПЕННЫХ СУММ При доказательстве основной теоремы мы столкнулись с формулой выражения степенных сумм через у₁ и у₂ :

s_k = у₁s_k-1 — у₂s_k-2

По этой формуле несложно найти любую нужную степенную сумму:

s₁ = у₁ s₂ = у₁² — 2 у₂s₃ = у₁ (у₁² — 2 у₂) — у₂ у₁ = у₁³ — 3 у₁ у₂s₄ = у₁(у₁³ — 3 у₁ у₂) — у₂ (у₁² — 2 у₂) = у₁⁴ — 4 у₁² у₂ + 2 у₂²

Сравним полученный результат с вычислениями, сделанными до рассмотрения теоремы. Мы посчитали s₃ и s₄ верно и без применения формулы, но степенные суммы более высоких степеней без нее уже трудно найти.

5. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

— Знать определения, формулировку теоремы и план ее доказательства.

— Самим посчитать

s₅, s₆, s₇ и s₈

Ответы:

s₅ = у₁⁵ — 5 у₁³ у₂ + 5 у₁ у₂² s₆ = у₁⁶ — 6 у₁⁴ у₂ + 9 у₁² у₂² — 2 у₂³

Занятие 2

Цель: Рассмотреть теорему единственности выражения симметрического многочлена через элементарные симметрические многочлены и теорему Безу. Научить детей делить многочлен на многочлен «уголком».

План занятия

1. Теорема единственности.

2. Теорема Безу.

3. Деление «уголком» многочлена на многочлен.

1. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ Разбор домашнего задания.

На прошлом занятии мы разобрали основную теорему о симметрических многочленах. В ее доказательстве содержится прием, позволяющий выразить симметрический многочлен через элементарные симметрические многочлены. Возникает вопрос: а можно ли сделать это другим способом? Ответ дает следующая

ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ: Если многочлены ц (у₁, у₂) и ш (у₁, у₂) при подстановке у₁ = x + y, у₂ = xy превращаются в один и тот же симметрический многочлен, то они совпадают.

< ДОКАЗАТЕЛЬСТВО приведено в приложении >.

Главное, что надо усвоить: каким бы путем мы не выражали симметрические многочлены через у₁ и у₂, всегда будет один и тот же результат.

2. ТЕОРЕМА БЕЗУ Для решения практических задач в дальнейшем нам понадобится ТЕОРЕМА БЕЗУ: Остаток от деления многочлена f (x) = a₀xⁿ + … + a_nна x — a равен значению этого многочлена при x = a, то есть равен числуа₀а_n + … + а_n .

< ДОКАЗАТЕЛЬСТВО приведено в приложении >.

Нам важна не сама теорема, а ее следствие: Если число a является корнем многочлена f (x), то этот многочлен без остатка делится на x — a.

3. ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН «УГОЛКОМ»

Следствие из теоремы Безу применяется для решения уравнений высоких степеней.

Пример 1: решим уравнение 2x³ + 3x² — 3x — 2 = 0. Решать уравнения 3-ей степени мы не умеем. Но часто один корень можно угадать, и в данном случае корень x = 1. По следствию из теоремы Безу многочлен 2x³ + 3x² — 3x — 2 делится на x — 1 без остатка. Давайте произведем деление, причем делать мы будем это столбиком:

2 x³ + 3 x² — 3x — 2 ¦ x — 1

2 x³ - 2x² ¦ 2x² + 5x + 2

5x² — 3x — 2

5x² - 5x

2x — 2

2x — 2

Итак, исходное уравнение можно записать в виде:

(x — 1)(2x² + 5x + 2) = 0

Корни найти теперь не сложно:

x = 1, x = -2, x = -½.

Умение делить многочлен на многочлен применяется не только для решения уравнений 3-ей степени, но и для решения множества других задач алгебры. Давайте потренируем этот навык.

Пример 2: разделить -2x⁵ + x +1 на x — 1.

Чтобы не наделать ошибок, многочлен -2x⁵ + x +1 надо записать в каноническом виде, то есть строго по убыванию степеней, а вместо отсутствующих степеней записывать нули.-2x⁵ + 0x⁴ + 0x³ + 0x² + x + 1 ¦ x — 1

-2x⁵ + 2x⁴ ¦ -2x⁴ — 2x³ -2x² -2x -1

— 2x⁴ + 0x³ + 0x² + x + 1

-2x⁴ + 2x³

— 2x³ + 0x² + x + 1

-2x³ + 2x²

— 2x² + x + 1

-2x² + 2x

— x + 1

-x + 1

0.Итак, -2x⁵ + x +1 = (-2x⁴ — 2x³ -2x² -2x -1)(x — 1).

ЗАДАНИЕ:1. Разделить -3x³ + 12x² — 9x на x² — 4x + 32. Разделить -2x³ + 6x + 4 наx² + x + 23. Разделить x⁴ + 6x³ — 3x² — x + 1 на x² — 2x +34. Придумать самим 2 примера на деление многочленов, причем делимый многочлен брать 5-й и выше степеней.

Ответы: 1. -3×2. 2x + 2 3. x² + 8x +10

Занятие 3

Цель: Научить детей решать некоторые системы уравнений с помощью симметрических многочленов.

План занятия:1. Повторение: симметрические многочлены, элементарные симметрические многочлены, степенные суммы, теоремы Безу и основную теорему (без доказательств).2. Решение систем уравнений.3. Домашнее задание.

1. ПОВТОРЕНИЕ Мы переходим к главной цели наших занятий — решению алгебраических примеров и задач с помощью симметрических многочленов. Но сначала необходимо повторить основные понятия.- Что называют симметрическими многочленами?- Что такое элементарные симметрические многочлены?- Вспомнить и записать s₃, s₄, s_5.— Сформулировать теоремы Безу и основную теорему.

2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ Теперь мы можем применять знания о симметрических многочленах при решении систем уравнений с 2-мя неизвестными.