Оптимизация блочно-модульной структуры информационного базиса адаптивно — обучающих систем

Ранее уже отмечалась актуальность решения задачи оптимального дробления структуры информационного базиса УММ адаптивно-обучающих систем на модули. Далее покажем, как мы можем определить оптимальные характеристики ИБ при дроблении его на модули. Для дальнейшего анализа структуры ИБ УММ, сделаем следующие дополнительные предположения:

• -Материал базиса достаточно однородный, что позволяет дробить егона модули произвольного объема.
• -Вероятность успешного выполнения контрольных мероприятий зависит от объема информационного модуля базиса, и при его увеличении она уменьшается.

Следуя часто используемой дидактической модели процесса интерактивного освоения ИБ УММ, можно принять гипотезу об экспоненциальном характере зависимости вероятности успешного прохождения контрольных мероприятии от объема базиса. Если объем информационного материала (УМИ в целом по курсу) некоторого базиса составляет часов, то вероятность успешного выполнении контрольных мероприятий может быть представлена в виде [22]:

(2.8).

где (1/час) — константа, показывающая скорость снижения вероятности успешного завершения процесса освоения материала информационного базиса УММ в зависимости от его объема.

Зависимость (2.8) соответствует интуитивному представлению обосвоения стремится к нулю.

Величина зависит от вида (содержательного, структурного и т. п.) базиса, она может быть оценена экспертно или экспериментально на основе опыта работы с определенным видом информационно-терминологических базисов. Остановимся на оценке этого параметра.

В простейшем случае достаточно одного эксперимента. Пусть процессследует, что.

(2.9).

Если число экспериментов больше одного, то эту задачу можно решить с использованием метода наименьших квадратов. Предположим, проведено m экспериментов по прохождению базиса объемом часов и получены вероятности успешного завершения этого процесса pl,…, pm. Тогда оценка параметра может быть получена по формуле:

Здесь не рассматриваются статистические оценки достоверности полученных результате. Они могут быть получены на основе стандартных методик.

Рассмотрим цепь Маркова, описывающую вероятностный процесс изучения отдельного модуля информационного базиса УММ.

В данной модели выделены следующие состояния:

S1 — изучение теоретического материала ИБ УММ;

S2 — получение справок и консультаций при изучении теоретического материала,.

S3 — выполнение контрольных мероприятий;

S4-завершение изучения модуля ИБ УММ.

Зададим вероятности переходов из одного состояния в другое:

r-вероятность обращения за справками или консультациями при изучении УММ интерактивного курcа;

s — вероятность перехода к контрольным мероприятиям;

р — вероятность успешного выполнения контрольных мероприятий и завершения освоения модуля курса;

q — вероятность неудачи при выполнении контрольных мероприятий и повторного изучения модуля.

В рассматриваемой схеме выполняются очевидные соотношения:

r+s=1, p+q=1 (2.11).

Матрица вероятностей переходов между состояниями:

s1 s2 s3 s4.

s1 0 r s 0s2 1 0 0 0 P=s3 q 0 0 ps4 1 0 0 0 (2.12).

Выделим в Р матрицу вероятностей переходов между состояниями невозвратного множества, которая обозначается Q.

s1 s2 s3 s1 0 r s Q = s2 1 0 0 s3 q 0 0 (2.13).

Тогда матрица среднего числа пребываний процесса и состояниях невозвратного множества определяется по формуле (2.14):

N= (I-Q)= 1 -rs.

• -1 1 0 (2.14)
• -q 0 1

где I — единичная матрица размерности 3×3.

Поскольку процесс всегда стартует из состояния Si, нам достаточно определить только первую строчку матрицы N; ее элементы обозначим п1,., п4. Проделав вычисления обратной матрицы (I-Q), получим оценки среднего числа попыток изучения всех компонентов информационного базиса УММ — среднее число пребываний процесса соответственно в состояниях {S1,…, S4} при старте из состояния Si:

(2.15).

при этом здесь n1 — среднее число попыток изучения информационно материала; п2 — среднее число обращений за справками и консультации при изучении информационного материала; n3 — среднее число попыток выполнения контрольных мероприятий.

Обозначим трудоемкости изучения всех компонентов информационного базиса УММ (в часах):

• -трудоемкость изучения информационного материала (состояние S1);
• 1 -трудоемкость получения справок и консультаций при изучении информационного материала (состояние S2);
• 2- трудоемкость выполнения контрольных мероприятий (состояние S3);

Суммарная трудоемкость прохождения информационного базиса УММ с учетом (2.15) определяется выражением:

(2.16).

Рассмотрим оценки параметров: входящих в формулу (2.16).

Вероятность r определяются экспертно или на основе обработки протоколов прохождения интерактивных учебных курсов. Вероятность р определяется формулой (2.11). Трудоемкость определяется объемом учебного курса, для которого формируется ИБ УММ, трудоемкость 1 может быть взята как некоторая доля величины :

(2.17).

где — доля затрат ид получение справок и консультаций, определяемая экспертно или на основе статистики.

Трудоемкость 2 может быть представлена как сумма постоянной и переменной составляющих:

(2.18).

где т (часов) — трудоемкость работы по выполнению контрольных мероприятий и не зависящая от размеров ИБ УMM; - доля затрат на выполнение контрольных мероприятий.

В результате подстановки значений параметров (2.17), (2.18) формула (2.16) приобретет вид:

(2.19).

• — затраты на изучение ИБ УММ.
• — затраты времени на выполнение контрольных мероприятий. Обозначим:

(2.20).

С учетом (2.20) выражение для суммарной трудоемкости (2.19) упростится.

(2.21).

Ниже рассмотрим задачу разбивки некоторого информационного базиса УММ с общим объемом материала часов на п модулей, каждый из которых имеет объем часов, так что.

(2.22).

Трудоемкость изучения каждого модуля в соответствие с (2.21) составит:

(2.23).

а общая трудоемкость освоения базиса.

(2.24).

Рассмотрим предельные случаи. При n=1 получаем формулу (2.21). При.

и из (2.24) следует, что. Таким образом, функция R имеет, по крайней мере, один минимум.

Выбирая количество модулей n и их объем, можно добиться наименьшей общей трудоемкости освоения модульной структуры ИБ УММ.

Математически эта задача формулируется следующим образом: задан критерий (2.24) при условиях (2.22). Требуется найти такие n и, чтобы обеспечить оптимальные значения критерия (2.24):

(2.25).

Задача (2.25) представляет собой задачу оптимизации нелинейного критерия при ограничениях на переменные. В аналитическом виде эта задача решается достаточно сложно, а численно может быть решена путем перебора вариантов разбивки базиса УММ на модули, если дополнительно задать процедуру формирования таких вариантов.

Наличие экспоненциальных множителей в выражении (2.24) свидетельствует о том, что наилучших результатов следует ожидать, если величины и будут равны между собой.