Вещественный логарифм. Из истории логарифма

Логарифм вещественного числа log_ab имеет смысл при .

Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов.

• · Десятичные:, основание: число 10.
• · Натуральные:, основание: e (число Эйлера).
• · Двоичные: или, основание: число 2. Они применяются в теории информации и информатике.

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию, например:. Эта функция определена в правой части числовой прямой: x > 0, непрерывна и дифференцируема там (см. рис. 1).

По-видимому, правила, аналогичные правилам Штифеля, привели Дж. Непера к формальному введению первой системы логарифмов в сочинении Описание удивительной таблицы логарифмов, опубликованном в 1614 году; в нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1'. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке.

Но мысли Непера были заняты проблемой превращения произведений в суммы еще с тех пор, как более чем за десять лет до выхода своего сочинения Непер получил из Дании известие о том, что в обсерватории Тихо Браге его ассистенты располагают методом, позволяющим превращать произведения в суммы. Метод, о котором говорилось в полученном Непером сообщении, был основан на использовании тригонометрических формул типа.

.

поэтому таблицы Непера состояли главным образом из логарифмов тригонометрических функций. Хотя понятие основания не входило в явном виде в предложенное Непером определение, роль, эквивалентную основанию системы логарифмов, в его системе играло число (1 — 10-⁷)ґ10⁷, приближенно равное 1/e. логарифм вещественный комплексный Непер (понятия функции тогда ещё не было) определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение. В современной записи модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением:

dx/x = -dy/M.

где M — масштабный множитель, введенный для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = 10 000 000 = 10⁷.

Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом. Если обозначить его функцию LogNap (x), то она связана с натуральным логарифмом следующим образом:

^ LogNap (x) = M (ln M — ln x).

Очевидно, LogNap (M) = 0, то есть логарифм «полного синуса» есть нуль — этого и добивался Непер своим определением. LogNap (0) = ?.

Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую. Однако правила логарифмирования для неперовой функции отличались от правил для современного логарифма.

Например

^ LogNap (ab) = LogNap (a) + LogNap (b) — LogNap (1).

К сожалению, все значения таблицы Непера содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики, включая Кеплера.

Независимо от Непера и почти одновременно с ним система логарифмов, довольно близкая по типу, была изобретена и опубликована Й. Бюрги в Праге, издавшем в 1620 году Таблицы арифметической и геометрической прогрессий. Это были таблицы антилогарифмов по основанию (1 + 10-⁴) ґ10⁴, достаточно хорошему приближению числа e.

В системе Непера логарифм числа 10⁷ был принят за нуль, и по мере уменьшения чисел логарифмы возрастали. Когда Г. Бриггс (1561−1631) навестил Непера, оба согласились, что было бы удобнее использовать в качестве основания число 10 и считать логарифм единицы равным нулю. Тогда с увеличением чисел их логарифмы возрастали бы. Таким образом, мы получили современную систему десятичных логарифмов, таблицу которых Бриггс опубликовал в своем сочинении Логарифмическая арифметика (1620). Логарифмы по основанию e, хотя и не совсем те, которые были введены Непером, часто называют неперовыми. Термины «характеристика» и «мантисса» были предложены Бриггсом.

Первые логарифмы в силу исторических причин использовали приближения к числам 1/e и e. Несколько позднее идею натуральных логарифмов стали связывать с изучением площадей под гиперболой xy = 1. В 17 в. было показано, что площадь, ограниченная этой кривой, осью x и ординатами x = 1 и x = a (на рисунке эта область покрыта более жирными и редкими точками) возрастает в арифметической прогрессии, когда a возрастает в геометрической прогрессии. Именно такая зависимость возникает в правилах действий над экспонентами и логарифмами. Это дало основание называть неперовы логарифмы «гиперболическими логарифмами».

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов — незаменимый инструмент инженера.

Близкое к современному понимание логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке. В книге Введение в анализ бесконечных (1748) Эйлер дал современные определения как показательной, так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма. Таким образом, благодаря трудам Эйлера, сформировалась концепция логарифмической функции.

Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.