Основные формулы и понятия

Силы.

1. Сила трения скольжения.

где коэффициент трения скольжения; абсолютная величина силы нормального давления; единичный вектор в направлении скорости тела.

Сила упругости

где коэффициентами жесткости;

— коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин с коэффициент жесткости и соответственно;

=+.

коэффициент жесткости при параллельном соединении пружин с коэффициентами жесткости и соответственно; координата незакрепленного конца пружины; она же для нерастянутой пружины. Знак минус показывает, что сила направлена в сторону, обратную деформации.

Сила гравитационного взаимодействия (закон всемирного тяготения)

.

где Нм/кг² — гравитационная постоянная;; радиус вектор тела 2 относительно тела 1. Знак минус указывает на притяжение тел.

Сила тяжести

.

где ускорение свободного падения (вблизи поверхности Земли); м/с²;

.

где масса и радиус Земли (планеты, звезды) соответственно; высота над поверхностью Земли.

5. Принцип независимости действия сил: если на материальную точку действуют одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было. Согласно этому принципу, силы и ускорения можно разлагать на составляющие. Сила, действующая на материальную точку, движущуюся по кривой, может быть разложена на две составляющие — тангенциальную и нормальную.

Тангенциальная (или касательная) сила.

.

где единичный вектор направленный по касательной к траектории.

Нормальная (или центростремительная) сила.

.

где радиус кривизны траектории; единичный вектор, направленный по нормали к траектории.

Импульс.

1. Импульс материальной точки.

.

где — скорость материальной точки.

2. Импульс системы материальных точек.

.

где — массаой частицы, — её скорость в инерциальной системе отсчета.

Второй закон Ньютона.

1. ,.

где геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку; - её импульс; - число сил, действующих на точку.

2. Если масса постоянна, то второй закон Ньютона классической механики может быть выражен формулой.

.

3. Если не известен точный закон, по которому изменяется полная сила.

.

действующая на тело, то можно использовать понятие средней силы за какой-то промежуток времени от момента до :

.

Тогда уравнение второго закона Ньютона можно записать в виде.

.

где — изменение импульса за тот же промежуток времени; иногда произведение называют средним импульсом силы.

4. Второй закон Ньютона в координатной (скалярной) форме.

, ,.

или.

,.

.

где под знаком суммы стоят проекции сил на соответствующие оси координат.

Третий закон Ньютона.

.

где — сила, действующая на i-ую материальную точку со стороны k-ой материальной точки; - сила, действующая на k-ую материальную точку со стороны i-ой материальной точки. Силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, приложены к разным материальным точкам, противоположно направлены, всегда действуют парами и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки.

2. Классификация задач и рекомендации по методам их решения Задачи на динамику прямолинейного движения материальной точки, исходя из методики их решения, можно разбить на следующие основные типы.

• 1) Все силы, действующие на тело совпадают с прямой, вдоль которой направлен вектор ускорения. В этом случае уравнение второго закона Ньютона в векторном виде и решение в скалярной форме проводится с учетом направления сил.
• 2) Если действующие на тело силы разнонаправлены (а тем более некоторые из них не совпадают по направлению с, например, движение тела по наклонной плоскости):
  • · выбрать две произвольные оси ОХ и OY (для упрощения решения желательно одну из них направить вдоль вектора ускорения);
  • · спроецировать все действующие силы на оси ОХ и OY;
  • · записать второй закон Ньютона соответственно для осей ОХ:

OY: ;

• · решить систему уравнений совместно (при необходимости дополнить соответствующими кинематическими уравнениями движения).
• 3) Движение нескольких сил, связанных невесомыми и нерастяжимыми нитями (движение нескольких тел по горизонтальной и наклонной плоскостях; задачи на блоки, через которые перекинута нить — веревка, канат, шнур и т. д.).

Основные закономерности при решении задач на блоки можно сформулировать следующим образом:

• · блок считать невесомым (или его массой можно пренебречь);
• · нити между телами считать невесомыми и нерастяжимыми;
• · силы натяжения нити по обе стороны блока одинаковы;
• · второй закон Ньютона записывать для каждого тела в отдельности (с учетом выбранного направления движения системы тел);
• · если нить перекинута, например, через 2 невесомых блока (один — подвижный, второй — неподвижный), сила натяжения нити будет по всей длине одинакова, но ускорение грузов вследствие движения подвижного блока разные.
• 3. Примеры решения типовых задач

Пример 1.

Аэростат массой m250 кг начал опускаться с ускорением 0,2м/с². Определить массу балласта, который следует сбросить, чтобы аэростат получил такое же ускорение, но направленное вверх. Ускорение свободного падения 9,8 м/с². Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано:

• 250 кг;
• 0,2м/с²;
• 9,8 м/с².

m?

Решение: Так как аэростат опускается с ускорением, меньшим ускорения свободного падения, и по условию задачи сопротивление воздуха отсутствует, то это означает, что на него кроме силы тяжести действует подъемная сила, направленная вертикально вверх.

Действующие на аэростат силы направлены вертикально, следовательно, уравнение движения.

достаточно спроецировать только на одну ось системы координат OY:

.

Откуда подъемная сила.

.

Если сбросить балласт массой, то уравнение движения можно записать в виде.

.

или с учетом полученного выражения для подъемной силы.

Следовательно, масса сброшенного балласта равна.

10 кг.

Пример 2.

Автомобиль, трогаясь с места, за время 5с равноускоренно набирает скорость 72 км/ч.

Найти минимально возможный коэффициент трения между колесами автомобиля и дорогой при таком движении.

Какой наименьший тормозной путь автомобиля, набравшего эту скорость?

Дано:

5с;

• 72 км/ч20 м/с;
• 9,8 м/с².

? ?

Решение: При движении автомобиля, как при разгоне, так и при торможении, на него действуют три силы: сила тяжести, сила нормальной реакции со стороны дороги и сила трения.

а) При ускоренном движении автомобиля сила трения препятствует проскальзыванию ведущих колес по поверхности дороги, поэтому, она направлена в сторону движения и является силой трения покоя. Именно сила трения покоя в данном случае будет являться движущей силой. Исходя из выбранной системы координат XOY, уравнение движения имеет вид.

В проекциях на оси системы координат:

ОХ,.

ОY:.

Выразив силу трения через силу реакции и коэффициент трения между колесами и дорогой.

.

из уравнения движения определим ускорение автомобиля:

.

С другой стороны, так как по условию задачи автомобиль двигаясь равноускоренно за время приобрел скорость, то его ускорение равно.

.

Из выражения имеем 0,41. Следовательно,.

• 0,41.
• б) При торможении сила трения направлена в сторону, противоположную движению и является силой трения скольжения. Уравнение движения автомобиля в этом случае в проекциях на оси координат

Рис. 2.3.

ОХ,.

ОY:.

Учитывая, что, ускорение автомобиля при торможении.

.

Путь, пройденный автомобилем, движущимся равнозамедленно с начальной скоростью равен.

Время движения до остановки можно определить из условия, что конечная скорость автомобиля.

следовательно,.

Тогда.

Учитывая выражения для коэффициента трения (7), получаем.

50 м.

Пример 3.

На гладкой наклонной плоскости с углом при основании лежит доска массой М, а на доске — брусок массой m. На доску действует сила, направленная вверх по склону. При какой величине этой силы, груз начнёт соскальзывать? Коэффициент трения между доской и бруском. Ускорение свободного падения .

Дано:

;

М;

m;

;

.

F ?

Решение: Силы, действующие на каждое из тел, в инерциальной системе отсчета XOY указаны на Рис. 2.4.

На брусок действует сила тяжести, сила трения, сила и сила реакции; на доску действует сила тяжести, сила реакции, сила трения и вес бруска равный по величине. Учтём, что.

.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси выбранной системы координат при условии, что брусок по доске не скользит:

.

Решая систему уравнений, получим .

Используем условие: .

Следовательно, при брусок будет соскальзывать с доски.

Пример 4.

На наклонной плоскости с углом при основании неподвижно лежит кубик. Коэффициент трения между клином и кубиком равен. Наклонная плоскость движется с ускорением в направлении, показанном на рис. 2.5. При каком минимальном значении этого ускорения кубик начнет соскальзывать?

Дано:

;

;

.

Решение: Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси ОХ и ОY инерциальной системы отсчета, связанной с Землей, считая, что кубик относительно клина покоится:

Откуда.

Так как кубик покоится относительно клина, то и связаны соотношением, т. е.

Откуда получим.

.

Следовательно, при кубик начнёт соскальзывать при ускорении клина, равном.

.

Если, то тело начнет соскальзывать при любом сколь угодно малом ускорении.