Затухание гравитационных волн

Рассмотрим колебательное движение у поверхности жидкости (Н-р, гравитационные волны). Предположим, что выполняются условия:

(заметим, что число Reпри этом отнюдь не должно быть малым). Действительно, оценим член. Т.к. вблизи поверхности тела скорость направлена в основном по касательной и тогда она меняется заметно лишь на протяжении размеров тела, тогда и сравним их. Оказывается, при.

В роль размеров играет длина волны :

(- амплитуда волны, — ее частота). Тогда можно утверждать, что решение будет вихревым лишь в тонком слое у поверхности жидкости, а в основном ее объеме движение будет потенциальным — таким, каким оно было бы у идеальной жидкости.

Чтобы исчезли определенные комбинации производных от скорости по координатам надо потребовать, чтобы движение вязкой жидкости удовлетворяло у свободной поверхности граничными условиями Где — тензор напряжений, а — тензор вязких напряжений, — единичный вектор нормали.

Движение же, получающееся в результате решения уравнений гидродинамики идеальной жидкости, этому условию не удовлетворяет. Для скорости в тонком слое у поверхности жидкости соответствующие производные скорости будут быстро убывать. Важно отметить, что градиент скорости не будет при этом аномально большим, как было это вблизи твердой поверхности.

Вычислим диссипацию энергии в гравитационной волне. Будем говорить о диссипации не кинетической энергии, а о диссипации механической энергии .

Очевидно, что диссипацию энергии не может влиять факт наличия или отсутствия поля тяжести, поэтому определяется:

При вычислении данного интеграла для гравитационных волн надо воспользоваться тем фактом, что в поверхностном слое:

• · градиент скорости не аномально велик
• · объем этого слоя достаточно мал

Следовательно, интегрирование должно производиться по всему объему жидкости, в котором жидкость движется как идеальная. Но движение в гравитационной волне в идеальной жидкости потенциально:

И потому:

Потенциал имеет вид, где :

Сразу выясним, чему равна производная :

Среднее по времени для sin (x) или cos (x)равны ?. Доказательство дано ниже:

Итого:

Физически измеряются только средние значения:

Воспользуемся тем фактом, что при малых колебаниях в механике средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной. Поэтому полная средняя механическая энергия равна удвоенной кинетической энергии: :

Используя и, получаем упрощенную формулу:

Затухание волн удобно характеризовать коэффициентом затухания, определенным как отношение.

Со временем энергия волны спадает как, а интенсивность спадает как.

Благодаря и выражение для коэффициента затухания:

Воспользовавшись явным видом закона дисперсии гравитационных волн для глубокого водоема, при:

Получим коэффициент затухания:

В общем случае же используя закон дисперсии получаем зависимость. Аналитически нельзя представить в виде, но благодаря численным методам это удалось.

Результат представлен на рисунке 3.

Рис 3. Зависимость для глубокого и мелкого водоема