Введение. 
Происхождение, развитие и применение алгебры

Данная исследовательская работа рассматривает происхождение, развитие и применение человеком алгебры. Актуальность моей работы заключается в том, что в школе каждый ученик думает, что в жизни алгебра не нужна, и нужно только сдать экзамен по математике. В своей работе я хочу узнать о происхождении алгебры на земле, узнать, как со временем она развивалась в разных странах, и, наконец, узнать, для чего нужна алгебра, как она применяется в жизни человека.

Происхождение алгебры

арифметика алгебра математика жизнь Алгебра (от араб.— восполнение) — раздел математики, который можно грубо охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. Слово «алгебра» также употребляется в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множества произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел.

Происхождение термина «алгебра»

Происхождение самого слова «алгебра» не вполне выяснено. По мнению большинства исследователей этого вопроса, слово «алгебра» произошло от названия труда арабского математика Ал-Хорезми (от самого имени которого согласно большинству исследователей происходит популярное слово «алгоритм») «Аль-джабр-аль-мукабалла», то есть «учение о перестановках, отношениях и решениях», но некоторые авторы производят слово «алгебра» от имени математика Гебера, однако само существование такого математика подвержено сомнению.

Алгебра в разных странах:

Вавилон. Истоки алгебры восходят к глубокой древности. Уже около 4000 лет назад вавилонские учёные владели решением квадратного уравнения и решали системы двух уравнений, из которых одно — второй степени. С помощью таких уравнений решались разнообразные задачи землемерия, строительного искусства и военного дела. Буквенные обозначения, применяемые нами в алгебре, не употреблялись вавилонянами; уравнения записывались в словесной форме.

Греция. Первые сокращённые обозначения для неизвестных величин встречаются у древнегреческого математика Диофанта (2—3 века нашей эры). Первое дошедшее до нас сочинение, содержащее исследование алгебраических вопросов, есть трактат Диофанта. В этом трактате мы встречаем, например, правило знаков (минус на минус дает плюс), исследование степеней чисел, и решение множества неопределенных вопросов, которые в настоящее время относятся к теории чисел. Из 13 книг, составлявших полное сочинение Диофанта, до нас дошло только 6, в которых решаются уже довольно трудные алгебраические задачи. Нам неизвестно о каких бы то ни было иных сочинениях об алгебре в древности, кроме утерянного сочинения знаменитой дочери Теона, Гипатии.

Отметим ещё, что греческие математики умели находить приближённые значения корней, но в алгебре старались избегать иррациональностей.

Китай. За 2000 лет до нашего времени китайские учёные решали уравнения первой степени и их системы, а также квадратные уравнения. Им были знакомы отрицательные и иррациональные числа. Так как в китайском письме каждый знак изображает некоторое понятие, то в китайской алгебре не могло быть сокращённых обозначений.

В последующие эпохи китайская математика обогатилась новыми достижениями. Так, в конце 13 века китайцы знали закон образования биноминальных коэффициентов, известный под именем «треугольника Паскаля». В Западной Европе этот закон был открыт на 250 лет позднее.

Индия. Индийские учёные широко применяли сокращённые обозначения неизвестных величин и их степеней. Эти обозначения являются начальными буквами соответствующих. Индийские авторы широко употребляли иррациональные и отрицательные числа. Вместе с отрицательными числами в числовую семью вошёл нуль, который прежде означал отсутствие числа.

Страны арабского языка. Узбекистан. Таджикистан. Основоположником алгебры, как особой науки, нужно считать узбекского учёного Мухаммеда из Хорезма, известного под арабским прозвищем аль-Хваризми. Его алгебраический труд, составленный в 9 веке нашей эры, носит название «Книга восстановления и противопоставления». «Восстановлением» Мухаммед называет перенос вычитаемого из одной части уравнения в другую, где оно становится слагаемым; «противопоставлением» — собирание неизвестных в одну сторону уравнения, а известных — в другую сторону. По-арабски «восстановление» называется «ал-джебр». Отсюда название «алгебра».

Ни он, ни другие математики, писавшие по-арабски, не употребляли никаких сокращённых обозначений. Они не признавали и отрицательных чисел: учение об отрицательных числах, знакомое им из индийских источников, они считали плохо обоснованным.

Узбекские, таджикские, персидские и арабские математики обогатили алгебру рядом новых достижений. Для уравнений высших степеней они умели находить приближённые значения корней с очень большой точностью. Так, знаменитый узбекский философ, астроном и математик аль-Бируни (973—1048), родом тоже из Хорезма, свёл задачу о вычислении стороны правильного 9-угольника, вписанного в данную окружность, к кубическому уравнению х = 1 + 3x и нашёл (в 60-ричных дробях) приближённое значение х = 1,52'45`'47`''13`''', то есть одна целая, 52 шестидесятых, 45 три тысячи шестисотых и так далее (с точностью до 1/60⁴; в десятичных дробях это даёт семь верных десятичных знаков).

Средневековая Европа. В 12 веке «Алгебра» аль-Хваризми стала известна в Европе и была переведена на латинский язык. С этого времени начинается развитие алгебры в европейских странах. Появляются сокращённые обозначения неизвестных, решается ряд новых задач, связанных с потребностями торговли. Но существенного сдвига не было до 16 века. В первой трети 16 века итальянцы дель-Ферро и Тарталья нашли правила для решения кубических уравнений вида х = px + q; x + px = q; x + q = px, а Кардано в 1545 году показал, что всякое кубическое уравнение сводится к одному из этих трёх.

Первым сочинением, появившимся в Европе после продолжительного пробела со времен Диофанта, считается трактат итальянского купца Леонардо, который, путешествуя по своим коммерческим делам на Востоке, ознакомился там с индийскими (арабскими) цифрами, и с алгеброй арабов. По возвращении в Италию, он написал сочинение, охватывающее одновременно арифметику и алгебру и отчасти геометрию. Однако сочинение это не имело большого значения в истории науки, ибо осталось мало известным и было открыто вновь только в середине 18-го века в одной Флорентийской библиотеке. Между тем сочинения арабов стали проникать в Европу и переводиться на европейские языки. Первым известным печатным трактатом об алгебре является «Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita», написанное итальянцем Лукасом дэ Бурго. Первое издание его вышло в 1494 г. И второе в 1523 г. Оно указывает нам, в каком состоянии находилась алгебра в начале XVI века в Европе. Здесь нельзя видеть больших успехов по сравнению с тем, что уже было известно арабам или Диофанту. Кроме решения отдельных частных вопросов высшей арифметики, только уравнения первой и второй степени решаются автором, и притом вследствие отсутствия символического обозначения, все задачи и способы их решения приходится излагать словами, чрезвычайно пространно. Наконец нет общих решений даже квадратного уравнения, а отдельные случаи рассматриваются отдельно, и для каждого случая выводится особый метод решения, так что самая существенная черта современной алгебры — общность даваемых ею решений — еще совершенно отсутствует в начале XVI века.

Алгебру можно грубо разделить на следующие категории:

• — Элементарная алгебра, которая изучает свойства операций с вещественными числами, где символами обозначаются постоянные и переменные, а также правила преобразования математических выражений и уравнений с использованием этих символов.
• — Общая алгебра, иногда называемая современной алгеброй или абстрактной алгеброй, где алгебраические структуры, такие как группы, кольца и поля аксиоматизируются и изучаются.
• — Линейная алгебра, в которой изучаются свойства векторных пространств.
• — Универсальная алгебра, в которой изучаются свойства, общие для всех алгебраических структур (считается подразделом общей алгебры).
• — Алгебраическая теория чисел изучает свойства чисел в различных алгебраических системах.
• — Алгебраическая геометрия применяет достижения алгебры для решения проблем геометрии.
• — Алгебраическая комбинаторика, в которой методы абстрактной алгебры используются для изучения вопросов комбинаторики.