Матричный метод решения систем линейных уравнений

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.

Метод удобен для решения систем невысокого порядка.

Метод основан на применении свойств умножения матриц.

Пусть дана система уравнений:

Составим матрицы: A =; B =; X = .

Систему уравнений можно записать: AX = B.

Сделаем следующее преобразование: A^-1AX = A^-1B, т.к. А^-1А = Е, то ЕХ = А^-1В Х = А^-1В Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.

Пример. Решить систему уравнений:

Х =, B =, A =.

Найдем обратную матрицу А^-1.

= det A = 5(4−9) + 1(2 — 12) — 1(3 — 8) = -25 — 10 +5 = -30.

M₁₁ = = -5; M₂₁ = = 1; M₃₁ = = -1;

M₁₂ = M₂₂ = M₃₂ =.

M₁₃ = M₂₃ = M₃₃ =.

A^-1 = ;

Cделаем проверку:

AA^-1 = =E.

Находим матрицу Х.

Х = = А^-1В = = .

Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.

Несмотря на ограничения возможности применения данного метода и сложность вычислений при больших значениях коэффициентов, а также систем высокого порядка, метод может быть легко реализован на ЭВМ.

Метод Крамера. Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т. е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0. det A 0;

Действительно, если какоелибо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какойлибо строки прибавить элементы другой, умноженные на какоелибо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю. матрица алгебраический уравнение.